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29 de dezembro de 2010

COMO FAZER CONTAS DE DIVIDIR

Depois de muito esforço, os alunos da EJA conseguiram entender um pouco sobre mínimo múltiplo comum.

O medo de números com vírgulas também diminuiu após elaborarmos uma técnica sobre multiplicação de números decimais. Lutamos muito para entender aquelas equações fracionárias de primeiro grau e aprendemos um pouco sobre elas. Após isso vencemos mais um desafio importante dentro da matemática, ou seja, da transformação de números decimais para fração.
Agora, a pedido, este estudo é dedicado aos alunos do ensino fundamental a partir da 5ª série (6º ano), da EJA, do ensino regular e enfim, a todos que possuem certa dificuldade em realizar contas de dividir. Após um bom aprendizado deste estudo tentaremos entender a divisão de números decimais.

É muito importante aprender a usar a calculadora como ferramenta de auxílio no trabalho, nas lojas,  nos supermercados, enfim, na vida cotidiana e no âmbito profissional. Você pode verificar como é útil  a calculadora neste artigo: Como tirar porcentagem na calculadora, porém, na sala de aula é muito importante que o aluno  faça e refaça as contas no caderno sem o uso da calculadora. Com o uso constante de celulares e calculadoras em sala de aula, a maioria dos alunos não querem mais saber de fazer contas de matemática em seu caderno e assim, perdem um tesouro do conhecimento muito importante em sua vida, que é fazer contas de dividir, um dos alicerces da matemática que vai garantir ao estudante amor e desempenho pela disciplina ao longo do tempo. Muitos alunos vão ignorando estas técnicas de conhecimentos a partir da 5ª série (6º ano), período ideal para o aprendizado de matemática.

Bom, vamos praticar as contas de dividir.

Calcule o quociente, passo a passo:

a)
O número 264 é chamado de dividendo. O número 22 é chamado de divisor e resultado desta divisão é chamado de quociente.
Como começar? Dos números do dividendo 264, qual é o número que podemos dividir por 22? Será o 2? Não, este é menor que 22. Será o 26? Sim. Este é imediatamente maior que 22. Portanto, vamos marcar o 26 com um tracinho, assim:
Pergunta-se: 26 dividido por 22? Não é 2, pois 2 X 22 = 44. Será o 1? Sim, é a resposta que mais se aproxima de 26, ou seja, 1 X 22 = 22. Nossa continha fica assim:
Multiplica-se 1 x 22 = 22. Pergunta-se: de 22 até 26 existem quantos números? 4 números. Basta subtrair: 26 – 22 = 4. Portanto, nossa conta fica assim:
Vamos jogar para baixo o 4, aquele que está após o tracinho, assim:
Pergunta-se: 44 dividido por 22? Dá exatamente 2. Nossa continha fica assim:
Multiplica-se 2 x 22 = 44. Pergunta-se: Pergunta-se: de 44 até 44 existem quantos números? Zero, basta subtrair: 44 – 44 = 0. Portanto, nossa conta fica assim:
 
O número 12 é o quociente. O número nulo 0 é o resto. Quando o resto equivale a zero, a divisão é exata.
Conclusão: 264:22 = 12, pois 12 X 22 = 264.
Calcule o quociente, passo a passo:
b)
Como começar? Dos números 3168, qual é o número que podemos dividir por 24? Será o 3? Não, este é menor que 24. Será o 31? Sim. Este é imediatamente maior que 24. Vamos marcar o 31 com o nosso tracinho, assim:
Pergunta-se: 31 dividido por 24? Não é 2, pois 2 X 24 = 48, que é maior que 31. Será o 1? Sim, é a resposta que mais se aproxima de 31, ou seja, 1 X 24 = 24. Nossa continha fica assim:
 
Multiplica-se 1 x 24 = 24. Pergunta-se: de 24 para 31 existem quantos números? 7 números, basta subtrair: 31 – 24 = 7. Portanto, nossa conta fica assim:
 
Vamos jogar para baixo o 6, aquele que está após o tracinho, assim:
 
Pergunta-se: 76 dividido por 24 é aproximadamente igual a quanto? Será 1? Não, pois 1 X 24 = 24. Dá 2? Não, pois 2 X 24 = 48. Dá 3? Sim, é o resultado mais próximo possível de 76, ou seja, 3 X 24 = 72. Nossa continha fica assim:
Multiplica-se 3 x 24 = 72. Pergunta-se: de 72 até 76 existem quantos números? 4 números, basta subtrair:
76 – 72 = 4. Portanto, nossa conta fica assim:
Vamos jogar para baixo o 8, assim: Pergunta-se: 48 dividido por 24 equivale a quanto? Dá exatamente 2, pois 2 X 24 = 48. Nossa conta fica assim:
  
Multiplica-se 2 x 24 = 48. Pergunta-se: de 48 até 48 existem quantos números? Zero, basta subtrair: 
48 – 48 = 0. Finalmente, nossa conta fica assim:
 
O número 132 é o quociente. O número nulo 0 é o resto. Quando o resto equivale a zero, a divisão é exata.
Conclusão: 3168:24 = 132, pois 132 X 24 = 3168.

Bom, você tem a base para continuar este estudo. Aplique a técnica e tentem fazer estas:
a) 2472:24 = 103; 
b) 8662:142 = 61; 
c) 1608:134 = 12;

Estas requerem mais atenção:

d) 40400:40 = 1010;
e) 500300:50 = 10006;
f) 4000200:40 = 100005.

Se você leu até aqui é porque teve interesse em aprender sobre divisão e certamente vai gostar do seguinte estudo:



Por hoje é só! Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá até o rodapé desta postagem, do lado direito do meu retrato, você clica em cima da palavra e-mail ou no lado direito do blog, onde está escrito "RECEBA POR E-MAIL OS NOSSOS ESTUDOS", você faz o cadastro. Após o cadastro você receberá um e-mail para confirmação. Após você receber e confirmar (não esqueça de confirmar) o e-mail, no momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre a próxima aula.

Espero ter ajudado. Muito grato. Obrigado pela sua paciência. Espero ter ajudado. Volte sempre. Se ajudei, comente (mas, identifique-se). Bons estudos!

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24 de dezembro de 2010

DILATAÇÃO LINEAR

Neste trabalho trataremos apenas a dilatação linear. As dilatações superficiais e volumétricas serão assuntos de um próximo tópico. Ao longo do texto o estudante de ciências exatas vai perceber que é indispensável os conhecimentos adquiridos sobre matemática básica, especialmente nos assuntos sobre transformação de unidades de comprimento, multiplicação de números decimais, regra de três simples, porcentagem e notação científica. As equações são escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas no navegador Firefox. Você pode estudar diante do computador e ao mesmo tempo rabiscar os exercícios em um caderno (ou borrão) e isso, pode se tornar prazeroso e enriquecedor para você. Bons estudos.

A DILATAÇÃO LINEAR

Quanto maior a temperatura de um corpo, maior será sua vibração molecular o que ocasiona o aumento da distância entre suas partículas e, consequentemente, o aumento (a dilatação), no tamanho desse corpo. Por exemplo, quando o dia está bem quente podemos notar que nos fios dos postes aparecem pequenas concavidades voltadas para cima ou "barrigas" ou "flechas". Estas "barrigas" (dilatações) são maiores em dias quentes e menores em dias frios.
Dilatações nos fios de postes.
A galera que trabalha em ferrovias, que já teve a chance de ver ou andar por sobre os trilhos, pode perceber que entre suas extremidades são deixados pequenos espaços (juntas de expansão ou de dilatação) com o objetivo de permitir sua dilatação, quando houver um aumento de temperatura, e sua contração, quando houver uma diminuição de temperatura. Isso evita a deformação dos trilhos.
Pequenos espaços entre trilhos
Na pontes feitas de concreto também são deixados espaços em intervalos regulares para suportar a dilatação e contração do concreto devido a variação (mudança) de temperatura ou, também, devido ao movimento das pontes. Isso evita a deformação das pontes.

A dilatação é muito usado no nosso cotidiano. Um outro exemplo é podermos retirar a tampa de metal de um vidro: mergulhando a tampa em água quente, a mesma dilata-se mais do que o recipiente de vidro, ou seja, fica um pouco mais folgada facilitando sua retirada.

Vamos exercitar sobre a dilatação linear, ou seja, vamos analisar a dilatação em uma única dimensão.

A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO DA BARRA

Na prática, sabemos que a dilatação ocorre nas três dimensões (largura, altura e comprimento), porém, nos exercícios seguintes analisaremos a dilatação em apenas uma dimensão, por isso o nome dilatação linear. Caderno e lápis nas mãos.

1ª) Um trilho de ferro, com comprimento inicial de 1000 m, ao passar de uma temperatura de 0°C para uma temperatura de 42°C, obteve quantos metros de aumento no seu comprimento, dado que seu coeficiente de dilatação linear é 

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

O fenômeno correlacionado a este problema é o seguinte:

- Antes da barra sofrer um aumento no seu comprimento, ela está a uma temperatura inicial $$(T_{I})$$ igual a 0°C e com um comprimento inicial $$ (L_{I} ) $$ igual a 1000 m.

- Depois de um certo tempo, o comprimento da barra fica maior $$ (\Delta L) $$, ou seja, ela sofre uma dilatação e esta, depende do coeficiente de dilatação linear $$ (\alpha ) $$ que está relacionado à natureza do seu material, no caso o ferro.

Dados:

O comprimento inicial (em metros) é dado por:

$$L_{I} =1000m = 10^{3}m$$;

A temperatura inicial equivale a:

$$T_{I} =0^\circ C $$;

A temperatura final equivale a:

$$T_{F} =42^\circ C$$;

A variação da temperatura é:

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =42^\circ C -0^\circ C= 42^\circ C$$;

O coeficiente de dilatação linear do ferro equivale a:

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

Eis a questão: quanto vale a variação do comprimento $$ (\Delta L) = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe}.\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos

$$\Delta_{L} = 10^3.12.10^{-6}.42 =12.10^{-3} =504.0,001=0,504m.$$

Portanto, o aumento (variação) do comprimento do trilho é

$$\Delta_{L} =0,504m.$$

Se o problema pedisse a variação do comprimento em cm?

No nosso minicurso sobre transformações de unidades de medidas de comprimento aprendemos a transformar metros para centímetros. Portanto, o resultado seria

$$\Delta_{L} =50,4cm.$$

Obs: como calcular o comprimento $$L_{F}$$ da barra? A diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial da barra é dado por

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I} \rightarrow 1000m=L_{F} -0,504m.$$

Portanto, 

$$L_{F} =1000m+0,504m=1000,504m.$$

O COMPRIMENTO DA BARRA

O fenômeno correlacionado ao problema seguinte é semelhante ao problema anterior. Porém, neste caso, pede-se o comprimento da barra $$(L_{F})$$ e não a variação do comprimento da barra $$(\Delta L).$$ Vamos à prática:

2ª) Uma barra de ferro apresenta, a 10°C, um comprimento de 100 cm. Calcule o comprimento da barra a 90°C, dado que 

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$


Dados:

$$L_{I} =100cm = 1m$$;

$$T_{I} =10^\circ C$$;

$$T_{F} =90^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =90^\circ C -10^\circ C= 80^\circ C$$;

$$\alpha _{Fe} =1,2.10^{-5}^{\circ}C^{-1} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}$$

$$\Delta L = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe} .\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$\Delta_{L} = 1.12.10^{-6}.80 =960.10^{-6} =96.10^{1}.10^{-6}$$

Portanto, 

$$\Delta_{L} =96.10^{-5}=96.0,00001.$$

Se o estudante se empenhou em nosso estudo, em forma de minicurso, sobre multiplicação de números decimais  não terá dificuldades em resolver esta última multiplicação. Portanto, a variação de comprimento que a barra sofreu foi bem pequena, ou seja, equivalente a

$$\Delta_{L} = 0,00096m.$$

Agora vamos calcular o comprimento $$L_{F}$$ ou $$L$$ da barra:

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I}\rightarrow 0,00096m=L_{F}-1m\rightarrow$$

$$L_{F} =0,00096m+1m=1,00096m.$$

O PERCENTUAL DE DILATAÇÃO

Como tirar percentualmente a dilatação sofrida pela barra? Vamos usar uma regra de três simples: A barra intacta sem dilatação equivale a 100%. A barra, após uma variação de comprimento, equivale a quantos por cento (que vamos chamar de x)?

3ª) O comprimento de uma barra de ferro aumenta quando ocorre uma variação de temperatura de 40°C para 140°C. Determine percentualmente a dilatação sofrida pela barra.

Dados:

$$T_{I} =40^\circ C$$;

$$T_{F} =140^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =140^\circ C -40^\circ C= 100^\circ C$$;

$$\alpha _{Fe} =1,2.10^{-5}^{\circ}C^{-1} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}$$;

$$\Delta L=?$$.

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe} .\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$\Delta_{L} = L_{I} .12.10^{-6}.10^{2}=12.10^{-4}.$$
 Portanto,

$$\Delta_{L} =12.0,0001=0,0012.L_{I}.$$

Usando os conhecimentos adquiridos no minicurso sobre regra de tres simples-exercícios resolvidos, o estudante não terá dificuldades em realizar esta operação:

$$L_{I}\rightarrow 100%$$

$$0,0012L_{I}\rightarrow x$$

Portanto,

$$x= \frac{100.0,0012L_{I}}{L_{I}} =0,12%.$$

Portanto, a dilatação sofrida pela barra foi em torno de 0,12%.

Usando os conhecimentos adquiridos no minicurso sobre porcentagem-exercícios resolvidos, o estudante percebe que houve pouco aumento percentual, ou seja, 0,12% = 0,12/100 = 0,0012.

O COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR

O coeficiente de dilatação linear é tabelado, está relacionado à natureza da substância que forma o corpo e nos permite comparar qual substância se dilata ou se contrai mais facilmente, ou seja, quanto maior for seu valor, mais facilidade terá o material para aumentar seu comprimento quando aquecido, ou diminuir seu comprimento, quando esfriado. Por exemplo, podemos citar duas substâncias, o chumbo e o alumínio, cujos coeficientes de dilatação linear são, respectivamente,

$$\alpha _{Pb} ={27.10^{-6}^\circ C$$

e

$$\alpha_{Al} = {22.10^{-6}^\circ C.$$

Percebemos que o chumbo, cujo símbolo é Pb, comparado com o alumínio, tem mais facilidade para aumentar seu comprimento quando aquecido, ou diminuir seu tamanho, quando esfriado.

4ª) O comprimento de uma barra feita de um determinado material equivale 10 m, em uma temperatura equivalente a 40°C. Após um determinado tempo, seu comprimento é de 10,004 m, em uma temperatura equivalente a 240°C. Determine o coeficiente de dilatação linear deste material.

Dados:

$$T_{I} =40^\circ C$$;

$$T_{F} =240^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =240^\circ C -40^\circ C= 200^\circ C = 2.10^{2}^\circ C$$;

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I} =10,004m-10m=0,004m=4.10^{-3}m$$;

$$\alpha _{Subst} = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Subst}.\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$4.10^{-3} = 10 .\alpha _{Subst}.2.10^{2} \rightarrow 4.10^{-3} =2.10^{3} .\alpha _{Subst}.$$

Portanto,

$$\alpha _{Subst}=\frac{4.10^{-3}}{2.10^{3}}=2.10^{-6}^\circ C,$$

ou, se o estudante se esforçou para prender os assuntos do nosso minicurso sobre notação científica e Exercícios resolvidos sobre notação científica não terá dificuldades em trabalhar a expressão

$$\alpha _{Subst}=2.10^{-6}^\circ C =0,2.10^{-5}^\circ C. $$

Estes são bons fundamentos para você poder se aprofundar neste assunto tão maravilhoso. Com esta sólida base de conhecimentos você pode estudar e encarar com mais tranquilidade exercícios mais complexos. sobre o assunto. Como fica pesado para o blog suportar tantas equações, este estudo sterá continuação em forma de minicurso. Se você tem interesse, escreva-me e solicite um exemplar. Espero ter ajudado você. Bons estudos!
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13 de dezembro de 2010

SOMA DE VETORES

Estudo dedicado aos alunos da EJA, do Fundamental (8ª série) e da 1ª série do nível médio.

Primeiro vamos aprender a representar graficamente a soma de vetores para em seguida, em outro estudo, acharmos o módulo da soma de vetores.

1ª) Use a regra do polígono e represente graficamente a soma dos vetores $$\vec{a}$$ e $$\vec{b}.$$


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26 de novembro de 2010

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

A pedido dos alunos do nível fundamental da 5ª série vamos calcular, mastigado, passo a passo, o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de alguns números utilizando o processo da decomposição simultânea. Posteriormente aplicaremos este conhecimento em operações com frações.

Portanto, lápis e papel nas mãos e bons estudos.

Observação importante: quando um número natural tem como divisores o número 1 e o próprio número,  ele é considerado primo. Exemplos: 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto é primo. Obs: 2 é o único número primo par. 13 tem apenas os divisores 1 e 13, portanto é primo; 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto é primo; 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10 , portanto não é primo; E o número 1, é primo? Não, pois ele possui apenas um divisor: ele mesmo (1). 


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14 de novembro de 2010

DEDUZINDO A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
Aos 19 anos Joseph Louis Lagrange (1736-1813) solucionou um dos problemas mais antigos da geometria, o Problema Isoperimétrico e, esta solução foi enviada para a apreciação de Leonhard Euler (1707-1783) em 12 agosto de 1755. Das constantes correspondências científicas entre Euler e Lagrange surgiu o cálculo das variações que foi introduzido no livro escrito por Lagrange, entre 1772 e 1788, intitulado Méchanique Analytique, ou seja, uma reformulação da mecânica clássica chamada de Mecânica Lagrangiana.
Albert Einstein em 1920. "A leitura após certa idade distrai excessivamente o espírito humano das suas reflexões criadoras. Todo o homem que lê de mais e usa o cérebro de menos adquire a preguiça de pensar." Albert Einstein.
Dando continuidade ao nosso estudo sobre funcionais, nesta etapa chegaremos à equação de Euler-Lagrange.

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5 de novembro de 2010

CÁLCULO VARIACIONAL PARA FÍSICA

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VARIACIONAL

Neste estudo precisaremos achar as condições de extremo de alguns funcionais. Mas antes, é necessário analisarmos a condição de extremo de uma função, pois seguiremos as mesmas etapas para os funcionais. Bom, agora lápis e papel nas mãos e mãos à obra.

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17 de outubro de 2010

INTEGRAL POR PARTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


Continuação sobre o método de integração por partes: 


12ª) Integre a expressão

$$dv=e^{-2x}dx.$$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{-2x}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=-2x\rightarrow du=-2dx\rightarrow dx=\frac{-du}{2}.$$

Vamos substituir -2x por u e dx por -du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int e^{-2x}dx=\int e^{u}\frac{(-du)}{2} =-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por -2x no resultado acima, temos que

$$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}+c.$$
Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.
 



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12 de outubro de 2010

O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Continuação sobre o método de integração por partes:


6ª) Integre a expressão

$$dv=e^{3x}dx. $$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

 $$\int dv=v=\int e^{3x}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:


$$\int e^{3x}dx=\int e^{u}\frac{du}{3} =\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

$$\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u} =\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$
Albert Einstein: “Triste época! É mais fácil desintegrar um átomo do que um preconceito”.


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11 de outubro de 2010

ESTUDO SOBRE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Integração por partes
Bem vindo ao nosso simples estudo sobre integrais por partes para iniciantes. A integração por partes é um método de integração muito utilizado e é aplicado em várias circunstâncias. É um método que pode ser utilizado para resolver integrais quando seus integrandos são, como exemplos, funções algébricas, exponenciais, trigonométricas e logarítmicas. A integração por partes é um estudo muito importante dentro de cálculo. Vamos aplicar a técnica, passo-a-passo com exemplos resolvidos. O objetivo deste estudo é resolver as integrais por partes, que envolvem exponenciais, do tipo:

$$\int x{e}^{x}dx,$$
$$\int x{e}^{2x}dx,$$
$$\int x{e}^{3x}dx,$$
$$\int x{e}^{4x}dx,$$
$$\int x{e}^{10x}dx,$$
$$\int x{e}^{nx}dx$$

e achar uma fórmula geral para estes formatos de integrais. Vamos, também, resolver integrais por partes que envolvem exponenciais do seguinte formato:

$$\int x{e}^{-x}dx,$$
$$\int x{e}^{-2x}dx,$$
$$\int x{e}^{-3x}dx,$$
$$\int x{e}^{-10x}dx,$$
.
.
.
$$\int x{e}^{-nx}dx$$

e achar uma fórmula geral para estes tipos de integrais. Bons estudos e boa sorte!


1ª) Para começar nosso estudo: Integre ambos os membros da expressão abaixo:

$$dv=e^xdx.$$

Sabemos que a integral da diferencial de uma variável (dv) é a própria variável (v) e que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:


$$\int dv=\int e^xdx\rightarrow v=\frac{e^x}{\frac{d(x)}{dx}}+c=e^x+c.$$

2ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{x}dx.$$

Passo ❶: achar dv.

Basta fazer
 
$$dv=e^xdx.$$
 
Passo ❷: achar v.

Integrando a expressão acima (desenvolvido na 1ª questão), temos

$$\int dv=\int e^xdx\rightarrow v=e^x.$$

Passo ❸: achar u.

Fazer
 u = x.

Passo ❹: achar du.

Derivando a expressão acima, temos
  
du = dx.

Passo ❺: de posse dos valores de dv, v, u e du, substituí-los na fórmula de integração por partes:


$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$
Portanto,


$$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+c=( x-1)e^x+c.$$

3ª) Integre a expressão

$$dv=e^{2x}dx.$$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{2x}dx.$$

Vamos resolver a integral acima. Sabemos que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:

$$\int dv=\int e^{2x}dx\rightarrow v=\frac{e^{2x}}{\frac{d(2x)}{dx}}=\frac{e^{2x}}{2} +c=\frac{1}{2} e^{2x} +c,$$
ou usaremos outro método: basta fazer

$$u=2x\rightarrow du=2dx\rightarrow dx=\frac{du}{2}.$$

Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la:

$$\int e^{2x}dx=\int e^{u}\frac{du}{2} =\frac{1}{2} \int e^{u}du=\frac{1}{2} e^{u}.$$

Vamos substituir o valor de u por 2x no resultado acima, ou seja,

$$\int e^{u}\frac{du}{2}=\frac{1}{2} e^{u} =\frac{1}{2} e^{2x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2} e^{2x} +c.$$

4ª) Integre a expressão

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx. $$

Para resolver a integral faremos

$$u=2x\rightarrow du=2dx\rightarrow dx=\frac{du}{2}.$$

Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx=\int \frac{e^{u}}{2} \frac{du}{2} =\frac{1}{4} \int e^{u}du=\frac{1}{4} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 2x no resultado acima, temos que

$$\int \frac{e^{u}}{2} \frac{du}{2} =\frac{1}{4} \int e^{u}du=\frac{1}{4} e^{2x}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx=\frac{1}{4} e^{2x}.$$

5ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{2x}dx. $$

Passo ❶: achar dv.


Basta fazer
$$dv=e^{2x}dx. $$

Passo ❷: achar v.

Integramos a expressão acima (desenvolvido na 3ª questão), e achamos que

$$v=\frac{1}{2} e^{2x}.$$
Passo ❸: achar u.

Basta fazer

 u = x.

Passo ❹: achar du.

Derivando a expressão acima, temos
  
du = dx.

Passo ❺: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,
 $$\int x{e}^{2x}dx=x\frac{e^{2x}}{2} -\int \frac{e^{2x}}{2} dx+c.$$

A integral do segundo membro já foi trabalhada na 4ª questão e resultou que

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx=\frac{1}{4} e^{2x}.$$ 

Finalmente o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{2x}dx=x\frac{e^{2x}}{2} -\frac{1}{4} e^{2x}+c=\left( \frac{x}{2}-\frac{1}{4} \right)e^{2x}+c$$

ou

$$\int x{e}^{2x}dx=x\frac{e^{2x}}{2} -\frac{1}{4} e^{2x}+c=\frac{1}{4} e^{2x}\left( 2x-1\right)+c.$$

Use o programa abaixo para calcular integrais usando o método (por partes) desta postagem:



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17 de setembro de 2010

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


RAÍZES REAIS E IGUAIS

Vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre equações diferenciais com coeficientes constantes resolvendo alguns exemplos, agora em poucos passos, cujas raízes de suas equações características são reais e iguais.
Já sabemos que a forma padrão de uma equação diferencial ordinária de ordem 2, homogênea e com coeficientes constantes é a seguinte:

$$a\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+b\frac{dy}{dx}+cy = 0$$

ou

ay" + by' + cy = 0.


1º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0. $$ 

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial. A equação diferencial pode ser escrita como

y'' - 4y' + 4y = 0 

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12 de setembro de 2010

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES CONSTANTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


RAÍZES REAIS E DISTINTAS

Muitos fenômenos físicos são descritos por algum tipo de equação diferencial, por exemplo, na física clássica com o oscilador harmônico simples, oscilador harmônico amortecido, oscilador harmônico forçado, no eletromagnetismo com o circuito RLC, circuito RLC subcrítico e circuito LC. Assim, são inúmeras as aplicações das equações diferenciais, por isso, é muito útil conhecer alguns métodos de resolução dessas equações.

Vamos resolver algumas equações diferenciais com coeficientes constantes, cujas raízes de suas equações características são reais e distintas.

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5 de setembro de 2010

MOMENTO LINEAR - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

momento
Neste tópico vamos aprender as noções sobre o momento lineart. A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e o mesmo sentido da velocidade. Sua unidade de medida no S.I é dado em kg.m/s. Não devemos confundir momento linear com momento (momento físico ou torque). O momento físico é uma grandeza que representa a intensidade de uma força (F) aplicada a um sistema rotacional a uma determinada distância (d) de seu eixo, ou seja, M = F.d. A unidade no SI para o momento físico é newton vezes metro (Nm).

Este estudo está no disco virtual Scribd, portanto para visualizá-lo é necessário que no seu computador esteje instalado o Adobe Flash Player. As equações foram feitas no Word. Se você quiser posso disponibilizar este estudo para download, é só pedir lá em comentários.

Issac Newtou elaborou suas três leis do movimento e o matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) aperfeiçoou e apresentou a segunda lei do movimento de Newton na seguinte forma:

PARA VISUALIZAR MELHOR ESTE ESTUDO CLIQUE NO FULLSCREEN E DEPOIS NO ZOOM. BONS ESTUDOS.


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31 de agosto de 2010

SÉRIE DE TAYLOR PARTE III - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS


Série Taylor
Existem idéias importantes contidas no Methodus incrementorum directa et inversa de 1715, que não foram reconhecidas na época, como exemplos, uma discussão sobre cordas vibrantes (um interesse que certamente vem do amor precoce de Taylor pela música), soluções singulares para equações diferenciais e uma maneira de relacionar a derivada de uma função com a derivada da função inversa. Taylor, em seus estudos de cordas vibrantes não estava tentando estabelecer uma equação do movimento, mas estava considerando a oscilação de uma corda flexível em termos de isocronismo de um pêndulo. Ele tentou encontrar a forma de vibração da corda e do comprimento do pêndulo isócrono em vez de encontrar suas equações de movimento.

Daremos continuidade ao nosso estudo sobre expansão em séries de Taylor. Lembrando que o estudo anterior está aqui: TAYLOR - PARTE II.

Dando continuidade ao estudo anterior trataremos a nossa lista de exercícios a partir da 7ª questão:

7) Dada a função
$$f(x)=senx,$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de xo = 0 (ou a = 0).

- Primeiro passo: calcular f(xo) = f(0).

Substituindo 0 na função f(x)=senx, temos que

$$f(0)=sen0=0.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=senx,$$

obteremos

$$f'(x)=cosx.$$

Portanto,

$$f'(0)=cos0=1.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=cosx,$$

vamos obter

$$f''(x)=-senx.$$
Portanto,

$$f''(0)=-sen0=0.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=-senx.$$

temos que

$$f'''(x)=-cosx.$$

Portanto,

$$f'''(0)=-cos0=-1.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e xo = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(x_{0} )+\frac{f'(x_{0})(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(x_{0})(x-a)^{2} }{2!}$$

$$+\frac{f'''(x_{0})(x-a)^{3} }{3!},$$

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$

$$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=0+\frac{1(x-0)^{1} }{1!}+\frac{0(x-0)^{2} }{2!} -\frac{1(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=0+x +0 -\frac{x^{3} }{3!} =x -\frac{x^{3} }{3!}.$$

Portanto,

$$f(x)=senx =x -\frac{x^{3} }{3!}.$$

Se a expansão for com aproximação até quinta ordem, teremos

$$senx =x -\frac{x^{3} }{3!}+\frac{x^{5} }{5!} -\cdots$$

com x em radianos. Esta expansão é muito usada na Física.

Observação:quando x for muito menor que 1, podemos aproximar senx pela expressão

$$senx \simeq x -\frac{x^{3} }{3!}.$$

Se x for maior que 1, serão necessários mais termos na série.

8) Dada a função

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}},$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 (ou xo=0).

- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{{(1+x)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+x)}}$$


temos que

$$f(0)=\frac{1}{\sqrt{(1+0)}}=\frac{1}{1} =1.$$

 - Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$

obteremos

$$f'(x)=-\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot \frac{d(1+x)}{dx}=$$

$$-\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}.1=-\frac{1}{2(1+x)^{ \frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2(\sqrt{1+x})^{3}}.$$
Portanto,

$$f'(0)=-\frac{1}{2(\sqrt{1+0})^{3}}=-\frac{1}{2(\sqrt{1})^{3}}=-\frac{1}{2}.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=-\frac{1}{2} (1+x)^{-\frac{3}{2}},$$

vamos obter

$$f''(x)=-\frac{3}{2}.(-\frac{1}{2} )(1+x)^{-\frac{3}{2}-1}\cdot \frac{d(1+x)}{dx}$$

$$=\frac{3}{4} (1+x)^{-\frac{5}{2}}.1=\frac{3}{4(1+x)^{ \frac{5}{2}}}$$

$$ =\frac{3}{4(\sqrt{1+x})^{5}}.$$

Portanto,

$$f''(0)=\frac{3}{4(\sqrt{1+0})^{5}}=\frac{3}{4(\sqrt{1})^{5}}$$

$$=\frac{3}{4.1}}}=\frac{3}{4}.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=\frac{3}{4} (1+x)^{-\frac{5}{2}},$$

temos que

$$f'''(x)=(-\frac{5}{2}).\frac{3}{4} (1+x)^{-\frac{5}{2}-1}\cdot \frac{d(1+x)}{dx}=$$

$$-\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac{7}{2}}.1=-\frac{15}{8(1+x)^{ \frac{7}{2}}}=-\frac{15}{8(\sqrt{1+x})^{7}}.$$

Portanto,

$$f'''(0)=-\frac{15}{8(\sqrt{1+0})^{7}}=-\frac{15}{8(\sqrt{1})^{7}}$$

$$=-\frac{15}{8.1}}}=-\frac{15}{8}.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1}}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2!}$$
$$+\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{3!}$$,

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1}}{1!}+\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$
$$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3}}{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=1-\frac{\frac{1}{2} (x-0)^{1}}{1!}+\frac{\frac{3}{4}(x-0)^{2}}{2!}-\frac{\frac{15}{8} (x-0)^{3}}{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^{2} }{8}-\frac{15x^{3} }{48}$$

$$=1-\frac{x}{2} +\frac{3x^{2} }{8}-\frac{5x^{3} }{16}.$$

Na Física, geralmente, usa-se apenas

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{x}{2},$$

que dá uma boa aproximação.

9) Mostre que a equação

$$E(r)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0} }\left( 1-\frac{Z}{\sqrt{Z^{2}+R^{2}}}\right),$$

para o campo de um disco carregado, em pontos sobre o seu eixo, reduz-se ao campo de uma carga pontual para Z>>R.

A equação acima, torna-se

$$E(r)=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left [ 1-\frac{Z}{Z{(1+\frac{R^{2}}{Z{^2}})}^{\frac{1}{2}}} \right]=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left [ 1-{(1+\frac{R^{2}}{Z{^2}})}^{-\frac{1}{2}} \right ]$$

Para fazer a expansão do termo

$$(1+\frac{R^{2}}{Z{^2}})}^{-\frac{1}{2}},$$

Usaremos a mesma feita na questão anterior, ou seja,

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{x}{2}.$$

Substituindo o valor de

$$x=\frac{R^{2} }{Z^{2}}$$

nesta expansão, temos que

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{1}{2}.x=1-\frac{1}{2}.\frac{R^{2} }{Z^{2}}$$

Portanto,

$$E(r)=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left [ 1-(1-\frac{1}{2}.\frac{R^{2} }{Z^{2} })+\cdots \right]=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}.\frac{1}{2}\frac{R^{2}}{Z^{2}}$$
$$=\frac{\sigma }{4\varepsilon_{0}}.\frac{R^{2} }{Z^{2}}.$$

Substituindo

$$\sigma =\frac{Q}{A}$$
e

$$A=\pi R^{2}$$

na equacão acima, teremos

$$E(r)=\frac{1}{4\varepsilon_{0}}.\frac{Q}{\pi R^{2}}.\frac{R^{2} }{Z^{2}}=\frac{1}{4\varepsilon_{0}\pi }.\frac{Q}{Z^{2}}=\frac{KQ}{Z^{2}}$$

ou vetorialmente,

$$\vec{E}(r)=\frac{KQ}{Z^{2}}\vec{z},$$

que é o campo elétrico de uma carga pontual e, a uma distância Z da mesma.

10) Desafio para você: pelo método acima exposto, faça a expansão do teorema binomial

$$(1+x)^{n},$$

faça a expansão logarítmica

$$ln(1+x)$$
e a expansão trigonométrica

$$tgx.$$

Bons estudos e boa sorte!
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22 de agosto de 2010

JAMES WATSON FALA COMO DESCOBRIU O DNA

James Dewey Watson, nascido em 6 de abril de 1928, dividiu o Prêmio Nobel de medicina de 1962 com Francis Crick e Maurice Wilkins. De 1968 a 1993, Watson dirigiu o laboratório Cold Spring Harbor (Nova York), que preside desde 2003. Foi o primeiro diretor do programa de sequenciamento do genoma humano. É um dos autores do “modelo de dupla hélice” para a estrutura de DNA.
Neste vídeo vamos perceber que a pretensão de James Dewey Watson, era ser um naturalista longe da agitação urbana da cidade onde crescera. Quando cursava o 3º ano na Universidade de Chicago houve uma mudança de suas intenções inspirada pelo livro O que é vida, do Físico austríaco, pai da mecânica ondulatória, Erwin Schrödinger. O livro O que é vida, publicado em 1944, era o resultado de diversas palestras proferidas por Schrödinger no Instituto de Estudos Avançados de Dublin. 
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21 de agosto de 2010

CURSOS ONLINE GRATUITOS


Cursos gratuitos
Os cursos oferecidos pelo Sebrae estão divididos por perfis, são gratuitos e estão listados da seguinte maneira: Aprender a Empreender, Análise e Planejamento Financeiro, Como Vender Mais e Melhor, D-Olho na Qualidade, Gestão de Cooperativas de Crédito, Atendimento ao Cliente, Boas práticas nos serviços de alimentação: gestão da segurança, Empreendedor Individual e Iniciando um Pequeno e Grande Negócio. Ao final do curso o aluno tem o certificado de participação.

Se você tem interesse nestes cursos, cadastre-se e matricule-se no endereço:


Aproveite e Boa sorte!

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Aproveite e boa sorte!

ATENÇÃO ALUNOS-PÚBLICO, VEJA ESTA OPORTUNIDADE: vagas para cursos gratuitos em categorias profissionais de níveis básico. Provas: Língua Portuguesa, Matemática e Raciocínio Lógico. Serão oferecidas 27.915 vagas, em 13 estados. Como principal financiadora do Prominp, a Petrobras poderá realizar pagamento de bolsa-auxílio diretamente ao aluno público. Não perca esta oportunidade. Inscrições abertas:17 de agosto de 2010 a 12 de setembro de 2010. Informe-se, dê uma espiadinha nos sites:

http://www.prominp.com.br/data/pages/8A9548882A73B911012A772768AE0D7A.htm

http://www.cesgranrio.org.br/eventos/concursos/prominp0110/prominp0110.html

Aproveite e boa sorte!

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27 de julho de 2010

TEOREMA DE TAYLOR (PARTE II) - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Taylor
Entre 1712 e 1724 Taylor publicou treze artigos sobre diversos temas: a descrição de experiências de ação capilar, magnetismo e termômetros, relatou experiência para descobrir a lei da atração magnética (1715) e um método melhorado para aproximar as raízes de uma equação, dando um novo método de logaritmos computação (1717). Taylor acrescentou um novo ramo da matemática chamado atualmente de "cálculo de diferenças finitas", inventou a integração por partes e descobriu a célebre série conhecido como a expansão de Taylor. Essas idéias aparecem em seu livro Methodus incrementorum directa et inversa de 1715. Na verdade, a primeira menção de Taylor de uma versão do que é hoje chamado Teorema de Taylor aparece em uma carta que ele escreveu para Machin em 26 de julho de 1712. O termo "a série de Taylor" parece ter usado pela primeira vez por Lhuilier em 1786.

O nosso primeiro estudo está aqui: Taylor - Parte I.

Os objetivos da segunda parte deste estudo são os mesmos do nosso primeiro estudo, ou seja,
  •  Pesquisar sobre a vida de  Brook Taylor enfatizando seu interesse pela Física;
  •  Expandir funções em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;
  •  Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas sobre derivadas;
  •  Expandir funções trigonométricas e exponenciais em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;
  •  Usar a expansão em série de Taylor para calcular o cosseno de um número muito menor que 1, comparar com o resultado da calculadora e calcular o erro percentual;
  •  Usar a expansão em série de Taylor em um problema no eletromagnetismo.
Brook Taylor foi um matemático Inglês que acrescentou um novo ramo da matemática chamado “cálculo de diferenças finitas”, inventou a integração por partes e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de Taylor.
Foto – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Taylor.html
Dando continuação ao estudo anterior trataremos a nossa lista de exercícios a partir da 4ª questão:


4 ) Dada a função

$$f(x)=cosx,$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

- Primeiro passo: calcular $$f(x_{0})$$ = f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=cosx$$, 

temos que

$$f(0)=cos0=1.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=cosx,$$

obteremos

$$f'(x)=-senx.$$

Portanto,

$$f'(0)=-sen0=0.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=-senx,$$

vamos obter

$$f''(x)=-cosx.$$

Portanto,

$$f''(0)=-cos0=-1.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=-cosx.$$

temos que

$$f'''(x)=-(-senx)=senx.$$

Portanto,

$$f'''(0)=sen0=0.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e $$x_{0} =0$$ na fórmula de Taylor, no caso:

$$f (x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})(x-a)^{1} }{1!}+\frac{f''(x_{0})(x-a)^{2}}{2!}+$$
$$\frac{f'''(x_{0})(x-a)^{3} }{3!},$$

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f (x)=1+\frac{0(x-0)^{1} }{1!} -\frac{1(x-0)^{2} }{2!} +\frac{0(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$
$$f(x)=1+0 -\frac{x^{2} }{2!} +0=1-\frac{x^{2} }{2.1} =1-\frac{1}{2}x^{2}.$$

Portanto,

$$f(x)=cosx =1-\frac{1}{2}x^{2}.$$

Para a expansão for com aproximação até a quarta ordem, teremos

$$cosx =1 -\frac{x^{2} }{2!}+\frac{x^{4} }{4!} - . . ..$$

com x em radianos. Esta expansão é muito usada na Física. Observação:quando x for muito menor que 1, podemos aproximar cosx pela expressão acima, ou seja,

$$cosx \simeq 1-\frac{1}{2}x^{2}.$$

Se x for maior que 1, serão necessários mais termos na série.

5) Usando a expansão em série de Taylor da questão anterior, calcule o cosseno de 0,01 (muito menor que 1) e compare com o resultado da calculadora.

Substituindo x = 0,01 na série:

$$cosx \simeq 1-\frac{1}{2}x^{2}=1-\frac{1}{2} (0,01)^{2}=$$
$$1-\frac{1}{2} (10^{-2})^{2}=1-\frac{10^{-4}}{2} =1-0,00005=0,999995.$$

Portanto, pela série, temos que

$$cos(0,01) \simeq 0,999995.$$

Como x deve ser medido em radianos, coloque sua calculadora no modo radianos (rad) e calcule o cosseno de 0,01. Você achará o valor igual a 0,999995.

6) Usando a expansão em série de Taylor da questão anterior, calcule o cosseno de 0,1 (muito menor que 1), compare com o resultado da calculadora e calcule o erro percentual.

Substituindo x = 0,1 na série:

$$cosx \simeq 1-\frac{1}{2}x^{2}=1-\frac{1}{2} (0,1)^{2}=$$
$$1-\frac{1}{2} (10^{-1})^{2}=1-\frac{10^{-2}}{2} =1-0,005=0,995.$$

Portanto, pela série, temos que

$$cos(0,1) \simeq 0,995.$$

Como x deve ser medido em radianos, coloque sua calculadora no modo radianos (rad) e calcule o cosseno de 0,01. Você achará o valor igual a 0,995004165.

O erro percentual (E) depende do Valor aproximado (Va = 0,995) e do valor correto (Vc = 0,995004165) e é dado por

$$E =100-\frac{Va.100}{Vc}=100-\frac{0,995.100}{0,995004165}\rightarrow $$
$$E =100-99,99581425=0,00418575\simeq 0,00419.$$

0,000419% é muito pequeno, e portanto, uma boa aproximação.

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24 de julho de 2010

EXPANSÃO EM SÉRIE DE TAYLOR (PARTE I) - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Em 03 de abril de 1712, Taylor foi eleito para a Royal Society. Foi uma eleição baseada mais nas experiência que Machin (matemático e astrônomo), Keill (matemático) e outros sabiam a respeito de Taylor. Por exemplo, Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma solução para um problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetário. Também em 1712, Taylor foi nomeado para o comitê criado para se pronunciar sobre o pedido de Newton ou Leibniz ter inventado o cálculo. De 14 de janeiro de 1714 até 21 de outubro de 1718 Taylor foi secretário da Royal Society. Na segunda parte desta aula descreveremos mais sobre a vida de Taylor. Mais detalhes sobre a vida e obra de Taylor no site:
http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

Em muitos problemas de Física desejamos uma solução exata de uma função, mas, às vezes, nos deparamos com funções com soluções aproximadas. Com tais aproximações podemos extrair o significado físico de alguns problemas. A série de Brook Taylor nos dá uma solução aproximada de uma função, além de nos permitir estimar o erro associado.

Objetivos da primeira parte deste estudo:
  •  Pesquisar sobre a vida de  Brook Taylor enfatizando seu interesse pela Física;
  •  Expandir funções em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;
  •  Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas sobre derivadas;
  •  Expandir funções trigonométricas e exponenciais em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;
  •  Usar a expansão em série de Taylor para calcular o cosseno de um número muito menor que 1, comparar com o resultado da calculadora e calcular o erro percentual;
  •  Usar a expansão em série de Taylor em um problema no eletromagnetismo.
Brook Taylor foi um matemático Inglês que acrescentou um novo ramo da matemática chamado “cálculo de diferenças finitas”, inventou a integração por partes e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de Taylor. Foto – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Taylor.html 

Brook Taylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton, Middlesex, Inglaterra e faleceu em 29 de dezembro de 1731 em Somerset House, Londres, Inglaterra.

A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto $$x_{0}$$ é a soma dos elementos da série de potências definida por

$$T(x)= \sum_{\ 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x )}{n!}(x-x_{0} )^{n},$$

onde, n! é o fatorial de n e

$$\frac{f^{n} (x )}{n!}$$

denota a n-ésima derivada de f(x) no ponto $$x_{0}.$$
Na Física, é muito usada a notação

$$T(x)= \sum_{\ 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x )}{n!}(x-x_{0} )^{n}=$$
$$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}$$

onde,

$$\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}$$

denota, também, a derivada n-ésima de f(x) aplicada no ponto $$x_{0}.$$

Portanto, a expressão acima fica assim:

$$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}=$$
$$f(x_{0})+(x-x_{0})\frac{df(x)}{dx} }\mid_{x_{0}}$$
$$+\frac{1}{2} (x-x_{0})^{2} \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } }\mid_{x_{0}}+\cdots.$$

Se a série convergir, ela será igual a própria função, ou seja,

$$f(x)=\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}=$$
$$f(x_{0})+(x-x_{0})\frac{df(x)}{dx} }\mid_{x_{0}}$$
$$+\frac{1}{2} (x-x_{0})^{2} \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } }\mid_{x_{0}}+\cdots,$$

chamada de expansão da função f(x) em série de Taylor em volta do ponto $$x_{0}.$$ Para facilitar nossa vida, esta série (série de Taylor de uma função f(x)) pode ser escrita como a série de potências na seguinte notação:

$$f (x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1}}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2!}+$$
$$\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{3!}+\cdots.$$

Na Física trabalha-se com expansão em série de Taylor, com uma boa aproximação até segunda ordem e, nos exercícios seguintes vamos usar, pelo método passo-a-passo, esta notação. Vamos praticar:

1) Dada a função

$$f(x)=e^{x}$$,

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=e^{x}$$, 

temos que

$$f(0)=e^{0}=1.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função
$$f(x)=e^{x}$$,
obteremos

$$f'(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

Portanto,

$$f'(0)=e^{0}=1.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=e^{x},$$

vamos obter

$$f''(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

Portanto,

$$f''(0)=e^{0}=1.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=e^{x},$$
temos que

$$f'''(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$
Portanto,


$$f'''(0)=e^{0}=1.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f (x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(a)(x-a)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(a)(x-a)^{3} }{3!},$$

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f (x)=1+\frac{1(x-0)^{1} }{1!} +\frac{1(x-0)^{2} }{2!} +\frac{1(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=e^{x}=1+\frac{x^{1} }{1!} +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!}=1+x +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!}.$$

2) Dada a função

$$f(x)=(2+x)^{-2},$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

- Primeiro passo: calcular f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=(2+x)^{-2},$$

temos que

$$f(0)=(2+0)^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}} =\frac{1}{4}.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função
 $$f(x)=(2+x)^{-2},$$

obteremos

$$f'(x)=-2(2+x)^{-3} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =-2(2+x)^{-3}.1$$ $$=-2(2+x)^{-3}.$$

Portanto,

$$f'(0)=-2(2+0)^{-3}.1=-2.2^{-3}=-2.\frac{1}{8} =-\frac{1}{4}.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=-2(2+x)^{-3}.$$

vamos obter

$$f''(x)=6(2+x)^{-4} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =6(2+x)^{-4}.1$$ $$=6(2+x)^{-4}.$$

Portanto,

$$f''(0)=6(2+0)^{-4}=6.2^{-4}=6.\frac{1}{2^{4}} =6.\frac{1}{16} =\frac{6}{16} =\frac{3}{8}.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=6(2+x)^{-4},$$

vamos obter

$$f'''(x)=-24(2+x)^{-5} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =-24(2+x)^{-5} .1$$ $$=-24(2+x)^{-5}.$$

Portanto,

$$f'''(0)=-24(2+0)^{-5}=-24.2^{-5}=-24.\frac{1}{2^{5}}$$ $$=\frac{-24}{32}=\frac{-12}{16}=\frac{-3}{4}.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-a)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(0)(x-a)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=\frac{1}{4} -\frac{\frac{1}{4} (x-0)^{1} }{1!} +\frac{\frac{3}{8} (x-0)^{2} }{2!} -\frac{\frac{3}{4} (x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=(2+x)^{-2}=\frac{1}{4}-\frac{x} {4} +\frac{3x^{2} }{8.2.1}-\frac{3x^{3} }{4.3.2.1}=$$
$$\frac{1}{4}-\frac{x} {4} +\frac{3x^{2} }{16}-\frac{x^{3} }{8}.$$

3) Dada a função

$$f(x)=\sqrt[3]{x},$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até segunda ordem, em torno de a = 8 ou $$x_{0}=8$$.

- Primeiro passo: calcular f(8).

Substituindo 8 na função

$$f(x)=\sqrt[3]{x},$$
temos que

$$f(8)=\sqrt[3]{8 }=\sqrt[3]{2^{3} }=2.$$

- Segundo passo: calcular f'(8).

Derivando a função

$$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.$$

obteremos

$$f'(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} -1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

Portanto,

$$f'(8)=\frac{1}{3}.(8)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3.8^{\frac{2}{3}}} =\frac{1}{3.\sqrt[3]{8^2} } =\frac{1}{3.\sqrt[3]{64} } =\frac{1}{3.4} =\frac{1}{12}.$$

- Terceiro passo: calcular f''(8).

Derivando a função

$$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

vamos obter

$$f''(x)=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} -1}=-\frac{2}{9} x^{-\frac{5}{3}}.$$

Portanto,

$$f''(8)=-\frac{2}{9} .8^{-\frac{5}{3}}=-\frac{2}{9.8.^{\frac{5}{3}}}=-\frac{2}{9.\sqrt[3]{8^{5}}}=-\frac{1}{144}}}.$$

 - Quarto passo: substituir f(8), f'(8), f''(8) e a=8 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(8)+\frac{f'(8)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(8)(x-a)^{2} }{2!}.$$

$$f(x)=2 -\frac{\frac{1}{12} (x-8)^{1} }{1!} -\frac{\frac{1}{144} (x-8)^{2} }{2!} \rightarrow$$

$$f(x)=\sqrt[3]{x}=2+\frac{1(x-8) }{12}-\frac{1(x-8)^2}{2.144}=$$
$$2+\frac{1(x-8) }{12}-\frac{1(x-8)^2}{288}.$$

A continuação está neste endereço: Taylor II.
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