INTEGRAL POR PARTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Continuação sobre o método de integração por partes: 


12ª) Integre a expressão

Integrando ambos os membros da expressão, temos

Para resolver a integral acima, chamaremos

Vamos substituir -2x por u e dx por -du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u por -2x no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

 

13ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Achar dv.

Basta fazer

- Achar v.

Integrando a expressão acima, temos

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

(desenvolvido na 12ª questão), e achamos que

- Achar u.

Fazer

u = x.

 - Achar du.

Derivando a expressão acima, temos

 du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

Portanto,

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

chamando

Portanto,

Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

e assim, o resultado da nossa integral é dado por

ou

14) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Achar dv.

Basta fazer

- Achar v.

Integrando ambos os membros da integral

Trabalhando com o último termo da expressão acima, chamaremos

Portanto,

Substituindo os valores de w no resultado acima, temos que

Logo,

- Achar u.

Fazer

u = x.

- Achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

chamando

Portanto,

Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

ou

Observação: Podemos usar a fórmula acima, por exemplo,

para n = 1 (já calculado):

para n = 2 (já calculado):

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

para n = 3 :

para n = 10: