INTEGRAL POR PARTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Continuação sobre o método de integração por partes: 


12ª) Integre a expressão

$$dv=e^{-2x}dx.$$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{-2x}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=-2x\rightarrow du=-2dx\rightarrow dx=\frac{-du}{2}.$$

Vamos substituir -2x por u e dx por -du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int e^{-2x}dx=\int e^{u}\frac{(-du)}{2} =-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por -2x no resultado acima, temos que

$$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}+c.$$

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

 

13ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{-2x}dx.$$

- Achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{-2x}dx.$$

- Achar v.

Integrando a expressão acima, temos

$$\int dv=v=\int e^{-2x}dx.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int e^{-2x}dx,$$

(desenvolvido na 12ª questão), e achamos que

$$v=\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}.$$

- Achar u.

Fazer

u = x.

 - Achar du.

Derivando a expressão acima, temos

 du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,

$$\int x{e}^{-2x}dx=-x\frac{e^{-2x}}{2} -\int(-\frac{e^{-2x}}{2} )dx+c.$$

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

$$\int(- \frac{e^{-2x}}{2} )dx,$$

chamando

$$z=-2x\rightarrow dz=-2dx\rightarrow dx=-\frac{dz}{2}.$$

Portanto,

$$\int(- \frac{e^{-2x}}{2} )dx=\int (-\frac{e^{z}}{2}) (-\frac{dz}{2}) =\frac{1}{4} \int e^{z}dz=\frac{1}{4} e^{z}.$$

Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

$$\int(- \frac{e^{-2x}}{2} )dx=\frac{1}{4} e^{z} =\frac{1}{4} e^{-2x},$$

e assim, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{-2x}dx=-x\frac{e^{-2x}}{2}-\frac{1}{4} e^{-2x}+c=\left( -\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \right)e^{2x}+c$$

ou

$$\int x{e}^{-2x}dx=-x\frac{e^{-2x}}{2} -\frac{1}{4} e^{-2x}+c=-\frac{1}{4} e^{-2x}\left( 2x+1\right)+c.$$

14) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{-nx}dx.$$

- Achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{-nx}dx.$$

- Achar v.

Integrando ambos os membros da integral

$$\int dv=v=\int e^{-nx}dx.$$

Trabalhando com o último termo da expressão acima, chamaremos

$$w=-nx\rightarrow dw=-ndx\rightarrow dx=-\frac{dw}{n}.$$

Portanto,

$$\int e^{-nx}dx=\int e^{w}\left( \frac{{-dw}}{n}\right)=-\frac{1}{n} \int e^{w}dw=-\frac{1}{n} e^{w}.$$

Substituindo os valores de w no resultado acima, temos que

$$\int e^{-nx}dx=-\frac{1}{n} e^{w} =-\frac{1}{n} e^{-nx}.$$

Logo,

$$v=\int e^{-nx}dx=-\frac{1}{n} e^{-nx}.$$

- Achar u.

Fazer

u = x.

- Achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

$$\int x{e}^{-nx}dx=x(-\frac{1}{n} e^{-nx})-\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx+c.$$

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

$$\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx,$$

chamando

$$z=-nx\rightarrow dz=-ndx\rightarrow dx=-\frac{dz}{n}.$$

Portanto,

$$\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx=\int(-\frac{e^{z}}{n})(-\frac{dz}{n}) =\frac{1}{n^2}\int e^{z}dz=\frac{1}{n^2} e^{z}.$$

Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

$$\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx=\frac{1}{n^2} e^{z} =\frac{1}{n^2} e^{-nx}.$$

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{-nx}dx=x(-\frac{1}{n} e^{-nx}) -\frac{1}{n^2} e^{-nx}+c=-e^{-nx}\left( \frac{x}{n}+\frac{1}{n^2} \right)+c$$

ou

$$\int x{e}^{-nx}dx=x(-\frac{1}{n} e^{-nx}) - \frac{1}{n^2} e^{-nx}+c=-\frac{1}{n^2}e^{-nx}\left(nx+1\right)+c.$$

Observação: Podemos usar a fórmula acima, por exemplo,

para n = 1 (já calculado):

$$\int x{e}^{-1x}dx=-\frac{1}{(-1)^2}e^{-1x}\left(1x+1\right)+c=-e^{-x}(x+1)+c.$$

para n = 2 (já calculado):

$$\int x{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{(-2)^2}e^{-2x}\left(2x+1\right)+c=-\frac{1}{4}e^{-2x}\left(2x+1\right)+c.$$

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

para n = 3 :

$$\int x{e}^{-3x}dx=-\frac{1}{(-3)^2}e^{-3x}\left(3x+1\right)+c=-\frac{1}{9}e^{-3x}\left(3x+1\right)+c.$$

para n = 10:

$$\int x{e}^{-10x}dx=-\frac{1}{(-10)^2}e^{-10x}\left(10x+1\right)+c$$

$$=-\frac{1}{100}e^{-10x}\left(10x+1\right)+c.$$