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domingo, 17 de outubro de 2010

INTEGRAL POR PARTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


Continuação sobre o método de integração por partes: 


12ª) Integre a expressão

$$dv=e^{-2x}dx.$$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{-2x}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=-2x\rightarrow du=-2dx\rightarrow dx=\frac{-du}{2}.$$

Vamos substituir -2x por u e dx por -du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int e^{-2x}dx=\int e^{u}\frac{(-du)}{2} =-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por -2x no resultado acima, temos que

$$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}+c.$$
Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.
 




13ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{-2x}dx.$$
- Achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{-2x}dx.$$

- Achar v.

Integrando a expressão acima, temos

$$\int dv=v=\int e^{-2x}dx.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int e^{-2x}dx,$$

(desenvolvido na 12ª questão), e achamos que

$$v=\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2} e^{-2x}.$$

- Achar u.

Fazer

u = x.
 - Achar du.

Derivando a expressão acima, temos
 du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,

$$\int x{e}^{-2x}dx=-x\frac{e^{-2x}}{2} -\int(-\frac{e^{-2x}}{2} )dx+c.$$

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

$$\int(- \frac{e^{-2x}}{2} )dx,$$

chamando

$$z=-2x\rightarrow dz=-2dx\rightarrow dx=-\frac{dz}{2}.$$

Portanto,

$$\int(- \frac{e^{-2x}}{2} )dx=\int (-\frac{e^{z}}{2}) (-\frac{dz}{2}) =\frac{1}{4} \int e^{z}dz=\frac{1}{4} e^{z}.$$

Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

$$\int(- \frac{e^{-2x}}{2} )dx=\frac{1}{4} e^{z} =\frac{1}{4} e^{-2x},$$

e assim, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{-2x}dx=-x\frac{e^{-2x}}{2}-\frac{1}{4} e^{-2x}+c=\left( -\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \right)e^{2x}+c$$

ou

$$\int x{e}^{-2x}dx=-x\frac{e^{-2x}}{2} -\frac{1}{4} e^{-2x}+c=-\frac{1}{4} e^{-2x}\left( 2x+1\right)+c.$$

14) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{-nx}dx.$$
- Achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{-nx}dx.$$

- Achar v.

Integrando ambos os membros da integral

$$\int dv=v=\int e^{-nx}dx.$$

Trabalhando com o último termo da expressão acima, chamaremos

$$w=-nx\rightarrow dw=-ndx\rightarrow dx=-\frac{dw}{n}.$$

Portanto,

$$\int e^{-nx}dx=\int e^{w}\left( \frac{{-dw}}{n}\right)=-\frac{1}{n} \int e^{w}dw=-\frac{1}{n} e^{w}.$$

Substituindo os valores de w no resultado acima, temos que

$$\int e^{-nx}dx=-\frac{1}{n} e^{w} =-\frac{1}{n} e^{-nx}.$$

Logo,

$$v=\int e^{-nx}dx=-\frac{1}{n} e^{-nx}.$$

- Achar u.

Fazer

u = x.
- Achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

$$\int x{e}^{-nx}dx=x(-\frac{1}{n} e^{-nx})-\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx+c.$$

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

$$\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx,$$

chamando

$$z=-nx\rightarrow dz=-ndx\rightarrow dx=-\frac{dz}{n}.$$

Portanto,

$$\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx=\int(-\frac{e^{z}}{n})(-\frac{dz}{n}) =\frac{1}{n^2}\int e^{z}dz=\frac{1}{n^2} e^{z}.$$

Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

$$\int (-\frac{1}{n} e^{-nx})dx=\frac{1}{n^2} e^{z} =\frac{1}{n^2} e^{-nx}.$$

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{-nx}dx=x(-\frac{1}{n} e^{-nx}) -\frac{1}{n^2} e^{-nx}+c=-e^{-nx}\left( \frac{x}{n}+\frac{1}{n^2} \right)+c$$

ou

$$\int x{e}^{-nx}dx=x(-\frac{1}{n} e^{-nx}) - \frac{1}{n^2} e^{-nx}+c=-\frac{1}{n^2}e^{-nx}\left(nx+1\right)+c.$$

Observação: Podemos usar a fórmula acima, por exemplo,

para n = 1 (já calculado):

$$\int x{e}^{-1x}dx=-\frac{1}{(-1)^2}e^{-1x}\left(1x+1\right)+c=-e^{-x}(x+1)+c.$$

para n = 2 (já calculado):

$$\int x{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{(-2)^2}e^{-2x}\left(2x+1\right)+c=-\frac{1}{4}e^{-2x}\left(2x+1\right)+c.$$
Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.
para n = 3 :

$$\int x{e}^{-3x}dx=-\frac{1}{(-3)^2}e^{-3x}\left(3x+1\right)+c=-\frac{1}{9}e^{-3x}\left(3x+1\right)+c.$$

para n = 10:

$$\int x{e}^{-10x}dx=-\frac{1}{(-10)^2}e^{-10x}\left(10x+1\right)+c$$

$$=-\frac{1}{100}e^{-10x}\left(10x+1\right)+c.$$

10 comentários:

Sany disse...

MUITO BOM.... ADOREI.....
PARABÉNS!!!!

Ademir disse...

No exercício 12 faltou somar uma constante C ao resultado.
Esse blog me ajudou no estudo para 2ª avaliação de cálculo 2
Abraço

Anônimo disse...

valeu mesmo professor, está me ajudando muito.

Lucas Vinícus disse...

Demais cara, muito bom meeeeeeesmo

Ciáxares Alves disse...

Brilhante, ajuda mto auxiliadora! Obrigado Professor

By Ciáxares Cipriano

zane disse...

Valeu Professor, muito OBRIGADA!

zane disse...

suas explicações são muito claras mim ajudaram bastante a entender os conteúdos de cálculo diferencial e integral. Elizane Estudante de M atemática

Victor disse...

Valeu professor !!! Tá ajudando absurdamente !!!

Marco Aurélio disse...

o meu amigo valeu sue material muito bom mesmo...
obrigado.

leisoj ollet disse...

meu caríssimo entende sua explicação detalhada, tirou minhas duvidas, obrigado. TABATINGA-AM

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