CÁLCULO VARIACIONAL PARA FÍSICA

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VARIACIONAL

Neste estudo precisaremos achar as condições de extremo de alguns funcionais. Mas antes, é necessário analisarmos a condição de extremo de uma função, pois seguiremos as mesmas etapas para os funcionais. Bom, agora lápis e papel nas mãos e mãos à obra.

1º) Considere a função

$$f=y(x).$$

Determinar para que valor de x a função y(x) é um extremo, ou seja, para qual x temos dy = 0.

O primeiro passo é dar um acréscimo infinitesimal (dx) à variável x e depois procurar para qual valor de x temos dy = 0.

Sabemos do cálculo diferencial e integral que a variação média de f(x) é dada por:

$$\Delta f=f(x_{0} +\Delta x)-f(x),$$

que em termos infinitesimais pode ser escrito como

$$dy=y(x_{0} +dx)-y(x).$$

O dy refere-se à variação no valor de y(x) mediante variações na variável x.

Vamos expandir, em série de Taylor, o termo

$$y(x_{0} +dx)$$

em torno do ponto

$$x_{0} =x,$$

para isso utilizaremos a fórmula de Taylor

$$f(x)=f(x_{0})+\frac{df}{dx}(x-x_{0}) +\frac{1}{2}\frac{d^2f }{dx^2} (x-x_{0})^2+...$$

sendo que,

$$f(x)=y(x_{0} +dx),$$

$$f=y(x),$$

$$x_{0} =x,$$

$$x=x_{0} +dx\rightarrow dx=x-x_{0},$$

vamos obter

$$y(x_{0} +dx)=y(x})+\frac{dy}{dx}dx +\frac{1}{2}\frac{d^2y }{dx^2}(dx)^2+...$$

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, temos que

$$y(x +dx)\simeq y(x})+\frac{dy}{dx}dx.$$

Portanto,

$$dy=y(x_{0} +dx)-y(x)=y(x +dx)-y(x)=y(x)+\frac{dy}{dx}dx -y(x),$$

ou melhor,

$$dy=\frac{dy}{dx}dx.$$

O dx é uma quantidade que, além de infinitesimal, é arbitrária, portanto, diferente de zero. Nossa intenção é determinar para que valor de x a função y(x) é um extremo, ou seja, para qual x temos dy = 0. Para obtermos dy = 0 é necessário que dy/dx = 0, ou seja,

$$dy=0.dx=0.$$

Portanto, a condição de extremo de uma função y(x) é

$$\frac{dy}{dx}=0.$$

Barcelona, 1923. "Penso noventa e nove vezes e nada descubro; deixo de pensar, mergulho em profundo silêncio - e eis que a verdade se me revela." Albert Einstein.

2º) Determine qual é a condição de extremo para o seguinte funcional

$$I=F(y,x).$$

Podemos escrever o funcional da forma

$$I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y(x),x)dx$$

ou

$$I=I[y],$$

já que I depende da forma da curva escolhida, ou seja, da função y(x).

Vamos considerar uma outra curva, também com extremidades em P1 e P2, infinitesimalmente próxima a curva y(x), ou seja,

$$y+\delta y,$$

onde,

$$\delta y$$

representa a mudança na forma da função. Veja na figura abaixo as curvas infinitesimalmente próximas e a diferença  entre

$$\delta y$$

e

$$dy$$

A consequência disso é que aparece uma variação infinitesimal no funcional:

$$\delta I,$$

ou seja,

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y+\delta y,x)dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y,x)dx.$$

Vamos expandir, em série de Taylor, o termo da expressão acima

$$F(y+\delta y,x)$$

em torno do ponto

$$y_{0} =y,$$

ou em torno de

$$\delta y =0,$$

para isso utilizaremos a fórmula de Taylor

$$f(y)=f(y_{0},x)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_{0}) +\frac{1}{2}\frac{\partial ^2f }{\partial y^2} (y-y_{0})^2+...$$

sendo que,

$$f(y)=F(y+\delta y,x),$$

$$f(y_{0},x)=F(y,x)$$

e

$$y=y_{0} +\delta y\rightarrow \delta y=y-y_{0},$$

valores que substituídos na fórmula de Taylor nos fornecerá

$$F(y+\delta y,x)=F(y,x)+\frac{\partial F}{\partial y}(\delta y) +\frac{1}{2}\frac{\partial ^2F }{\partial y^2} (\delta y)^2+... .$$

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, o resultado da expansão fica assim:

$$F(y+\delta y,x)\simeq F(y,x)+\frac{\partial F}{\partial y}(\delta y),$$

que substituído na integral dada

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y+\delta y,x)dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y,x)dx,$$

resultará que

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ F(y,x)+\frac{\partial F}{\partial y}(\delta y)\right]dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y,x)dx\rightarrow$$

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}}F(y,x)dx+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial F}{\partial y}(\delta y) dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y,x)dx\rightarrow$$

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial F}{\partial y}(\delta y) dx.$$

A condição de extremo

$$\delta I=0$$

implica em

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial F}{\partial y}(\delta y) dx=0$$

Na integração acima vemos o diferencial que, embora seja uma quantidade infinitesimal, é uma função arbitrária que depende de x, ou seja,

$$\delta y(x). $$

Para que a integral se anule, para qualquer valor desta quantidade infinitesimal, a condição é a seguinte:

$$\frac{\partial F}{\partial y}=0,$$

Repetindo: a condição de extremo é

$$\delta I=0$$

para quaisquer variações funcionais

$$\delta y(x),$$

o que implica na condição de extremo

$$\frac{\partial F}{\partial y}=0. $$

Conclusão: a condição de extremo para o funcional dado por

$$I=F(y,x) $$

é

$$\frac{\partial F}{\partial y}=0. $$

CONTINUAÇÃO: EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE.