CÁLCULO VARIACIONAL PARA FÍSICA

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VARIACIONAL

Neste estudo precisaremos achar as condições de extremo de alguns funcionais. Mas antes, é necessário analisarmos a condição de extremo de uma função, pois seguiremos as mesmas etapas para os funcionais. Bom, agora lápis e papel nas mãos e mãos à obra.

1º) Considere a função

Determinar para que valor de x a função y(x) é um extremo, ou seja, para qual x temos dy = 0.

O primeiro passo é dar um acréscimo infinitesimal (dx) à variável x e depois procurar para qual valor de x temos dy = 0.

Sabemos do cálculo diferencial e integral que a variação média de f(x) é dada por:

que em termos infinitesimais pode ser escrito como

O dy refere-se à variação no valor de y(x) mediante variações na variável x.

Vamos expandir, em série de Taylor, o termo

em torno do ponto

para isso utilizaremos a fórmula de Taylor

sendo que,

vamos obter

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, temos que

Portanto,

ou melhor,

O dx é uma quantidade que, além de infinitesimal, é arbitrária, portanto, diferente de zero. Nossa intenção é determinar para que valor de x a função y(x) é um extremo, ou seja, para qual x temos dy = 0. Para obtermos dy = 0 é necessário que dy/dx = 0, ou seja,

Portanto, a condição de extremo de uma função y(x) é

Barcelona, 1923. "Penso noventa e nove vezes e nada descubro; deixo de pensar, mergulho em profundo silêncio - e eis que a verdade se me revela." Albert Einstein.

2º) Determine qual é a condição de extremo para o seguinte funcional

Podemos escrever o funcional da forma

ou

já que I depende da forma da curva escolhida, ou seja, da função y(x).

Vamos considerar uma outra curva, também com extremidades em P1 e P2, infinitesimalmente próxima a curva y(x), ou seja,

onde,

representa a mudança na forma da função. Veja na figura abaixo as curvas infinitesimalmente próximas e a diferença  entre

e

A consequência disso é que aparece uma variação infinitesimal no funcional:

ou seja,

Vamos expandir, em série de Taylor, o termo da expressão acima

em torno do ponto

ou em torno de

para isso utilizaremos a fórmula de Taylor

sendo que,

e

valores que substituídos na fórmula de Taylor nos fornecerá

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, o resultado da expansão fica assim:

que substituído na integral dada

resultará que

A condição de extremo

implica em

Na integração acima vemos o diferencial que, embora seja uma quantidade infinitesimal, é uma função arbitrária que depende de x, ou seja,

Para que a integral se anule, para qualquer valor desta quantidade infinitesimal, a condição é a seguinte:

Repetindo: a condição de extremo é

para quaisquer variações funcionais

o que implica na condição de extremo

Conclusão: a condição de extremo para o funcional dado por

é

CONTINUAÇÃO: EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE.