POTENCIAÇÃO - EXPOENTE NEGATIVO

O estudo das definições matemáticas sobre potenciação é muito importante no dia a dia. É um dos pré-requisitos para estudar na sequência: propriedades da potenciação, introdução à radiciação e suas propriedades, equação exponencial, função exponencial, inequação exponencial e logaritmos. Onde aplicamos, por exemplo, a função exponencial? Podemos aplicá-la no cálculo de juros compostos, no cálculo de crescimento populacional e no cálculo da depreciação de um automóvel.

Bom, vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre as aplicações das definições sobre  Potências com expoentes inteiros negativos, a partir da 2ª questão (letra e). Nesta postagem teremos 8 exercícios respondidos.

Objetivos deste estudo:

- Aplicar os conhecimentos adquiridos no estudo anterior sobre Potência com expoente inteiro negativo;

- Dado um número fracionário ou decimal o aluno deverá escrevê-los na forma de potência com expoente inteiro negativo.

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

e) $$10^{-3}$$

Passos:

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 3.  Note que o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3). 

$$10^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1000}\cdot$$

ou seja, um milésimo. Para aprender sobre décimos, centésimos e os milésimos acesse Divisão com números decimais.

f) $$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1}$$

- Coloque o expoente 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (2/5) elevado ao expoente (-1). Note que o expoente negativo (-1), ficará no denominador com o sinal positivo (1). Veja:

$$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1} =\frac{1}{\left( \frac{2}{5}\right)^{1}} =\frac{1}{ \frac{2}{5}}\cdot$$

Eis uma divisão de fração, onde 1 é o numerador e e 2/5 é o denominador. Já estudamos que para dividir um número (1) por uma fração (2/5), multiplicamos o número (1) pelo inverso da fração (5/2), ou seja,

$$\frac{1}{ \frac{2}{5}} =1\cdot \frac{5}{2} =\frac{5}{2}\cdot$$

Portanto,

 $$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1} =\frac{5}{2}\cdot$$

Para aprender sobre inverso de um número e divisão de frações acesse: Divisão de frações.

Dado um número fracionário ou decimal como escrevê-los na forma de potência com expoente inteiro negativo?

Vamos lembrar a da primeira definição sobre potências com expoente inteiro negativo:

$$a^{-1} =\frac{1}{a}\cdot$$

Podemos escrever a definição acima da seguinte maneira:

$$a^{-1} =\frac{1}{a^{1}}\cdot$$

Substituindo o exponte 1 por um expoente n (que deve ser inteiro e positivo) vamos obter

$$a^{-n} =\frac{1}{a^{n}}\cdot$$

Ajeitando a equação acima temos

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\cdot$$

Lembrando que o número a deve ser real não nulo.

Vamos à prática:

3º) Dados os números na forma fracionária escreva-o sob forma de potência com expoente inteiro negativo:

a) $$\frac{1}{3^{2}}$$

Comparando

$$\frac{1}{3^{2}}$$

com

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\cdot$$

temos que a = 3 e n = 2. Logo,

$$\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}$$

Obs: a definição sobre potências com expoente inteiro negativo exige que o número a deve ser real não nulo. Já imaginou, neste exemplo, se a = 0? O que aconteceria?

Obteríamos

$$\frac{1}{0^{2}}=\frac{1}{0}.$$

Veja que não é possível divisão por zero. Por isso o número a, segundo a definição, deve ser real não nulo.

Escreva com regra prática o número abaixo (que está na forma fracionária) para a forma de potência com expoente inteiro negativo:

b) $$\frac{1}{5^{3}}$$

A resposta é o próprio denominador de base 5 elevado ao expoente (-3). Note que o expoente, que era positivo (3), fica na resposta com o sinal negativo (-3). Veja:

$$\frac{1}{5^{3}} =5^{-3} \cdot$$

Na linguagem do aluno: “joga-se pra cima a parte que está debaixo do 1 (cinco elevado a terceira), com o expoente de sinal contrário (cinco elevado a menos três)”.

Observação importante: se o exemplo anterior fosse dado por

$$ \frac{1}{5^{-3}}?$$

Agora o expoente do cinco é negativo (-3), como proceder neste exemplo? Vale a mesma regra prática:

A resposta é o próprio denominador de base 5 elevado ao expoente (3). Note que o expoente, que era negativo (-3), fica na resposta com o sinal positivo (3). Veja:

$$\frac{1}{5^{-3}} =5^{3} =125.$$

Bom, aproveitamos e aprendemos mais esta técnica, porém, o objetivo deste estudo é sempre converter o número, fracionário ou decimal, para a forma de potência com expoente inteiro negativo. Vamos continuar com este maravilhoso estudo, mãos à obra:

c) $$\frac{1}{4}}$$

Podemos escrever que

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4^{1} }$$

A resposta é o próprio denominador de base 4 elevado ao expoente (1). Note que o expoente, que era positivo (1), fica na resposta com o sinal negativo (-1). Veja:

$$\frac{1}{4^{1}} =4^{-1} \cdot$$

4º) Escreva com regra prática o número abaixo (que está na forma decimal) para a forma de potência com expoente inteiro negativo:

a) $$0,001$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,001=\frac{1}{1000}\cdot$$

Obs: se você ainda não sabe transformar um número decimal em forma de fração não fique triste, acesse Como transformar números decimais em fração. É uma técnica que exige prática, portanto, caderno e lápis nas mão.

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3} }$$

A resposta é o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-3). Note que o expoente, que era positivo (3), fica na resposta com o sinal negativo (-3). Veja:

$$0,001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3} }=10^{-3}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 milésimo.

b) $$0,01$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,01=\frac{1}{100}\cdot$$

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2} }\cdot$$

A resposta será o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-2). Note que o expoente, que era positivo (2), fica na resposta com o sinal negativo (-2). Veja:

$$0,01=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2} }=10^{-2}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 centésimo.

c) $$0,1$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,1=\frac{1}{10}\cdot$$

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{10}=\frac{1}{10^{1} }\cdot$$

A resposta será o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-1). Note que o expoente, que era positivo (1), fica na resposta com o sinal negativo (-1). Veja:

$$0,1=\frac{1}{10}=\frac{1}{10^{1} }=10^{-1}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 décimo.

Obs: para aprender a ler números decimais, como décimos, centésimos, milésimos estude Leitura de números decimais.

Na próxima postagem daremos continuidade a este estudo. Não perca!