Obs: As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!
Na forma geral (ou normal) de uma equação do segundo grau seus coeficientes (ou parâmetros) a, b e c são números reais. Se pelo menos um dos seus coeficientes, com exceção de a, for igual a zero a equação será chamada de incompleta. Veja a forma geral (completa):
Exemplos: quando c = 0 a relação (1) é transformada na equaçao de forma incompleta
Quando b = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta
Quando b = c = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta
A seguir, vamos aplicar estes conhecimentos na resolução de exercícios.
1º) Resolver as seguintes equações incompletas:
Resolver uma equação é achar seu conjunto verdade. Vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:
Percebemos que o coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -64. Obs: o termo c é chamado de constante ou termo conhecido ou termo independente.
Transpondo a constante c = -64 para o segundo membro da equação temos
Importante: se o segundo menbro é constituído por um número positivo (no caso, 64) o conjunto verdade terá dois elementos, ou seja, dois números reais relativos simétricos.
Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em
Portanto,
ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois elementos:
Elaboramos um programa em JavaScript que calcula as raízes de uma equação de segundo grau incompleta da forma ax2 + c = 0. Os problemas aqui propostos devem ser feitos manualmente e suas respostas comparadas com as do programa. O programa é melhor visualizado com o navegador Firefox. No internet explorer o programa é visualizado sem muita estética. Quando você digitar números decimais use o ponto e não a vírgula. Nas próximas postagens teremos o código fonte do programa, mas com a equação da forma completa.
Digite os dados da questão acima no programa e compare as respostas.
O coeficiente a deve ser sempre positivo, portanto vamos multiplicar a equação por (-1) e teremos
Para determinar os coeficientes vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:
Percebemos que o coeficiente a = 3, b = 0 e o termo c = -48. Transpondo a constante c = -48 para o segundo membro da equação temos
No segundo membro temos um número positivo (48), portanto, o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.
Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a teremos
Isolando x, temos
ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:
A equação acima pode ser escrita como
Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:
O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = -1. Transpondo a constante c = -1 para o segundo membro da equação, temos
No segundo membro temos um número positivo (1), então o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.
Isolando x, temos que
ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:
Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:
O coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -9. Transpondo a constante c = -9 para o segundo membro da equação, temos
No segundo membro temos um número positivo (9), então já sabemos que o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.
Portanto, dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em
Portanto,
O conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:
Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:
O coeficiente a = 10 , b = 0 e o termo c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação temos
Importante: quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -10), o conjunto verdade ficará vazio.
Dividindo os membros da equação acima pelo coeficiente a resulta em
Isolando o x:
Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais, ou seja,
Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:
Comparando a eq. acima com a eq. (3), temos:
O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = 16. Transpondo a constante c = 16 para o segundo membro da equação, temos que
Quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -16), o conjunto verdade será vazio.
Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Podemos sim extrair esta raiz, mas no conjunto dos números complexos. A solução não pertence ao conjunto dos números reais, ou seja,
Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:
Desta vez não vamos multiplicar a equação por (-1) e veremos que a solução é a mesma. Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:
Note que, na comparação com a eq. (3), substituimos x2 por t2. Os coeficientes são: a = -5 , b = 0 e a constante c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação, temos
Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em
Isolando o t, temos que
No segundo membro temos um número positivo (9), então o conjunto verdade da equação terá dois números reais relativos simétricos:
Na próxima aula exercitaremos sobre equação do segundo grau incompleta da forma
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4 comentários:
gostei muito foi muita legal achei o que eu queria
agora eu já sei aonde ir quando eu precisar brigadão...
muito bom!!!!
muito bom essse matterial, nota 10
show isso sim e matematica,passo a passo!valeu professor
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No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.
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Atenciosamente,
Elísio.