INTRODUÇÃO A EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Sejam bem vindos a mais um estudo maravilhoso da matemática. O assunto da aula de hoje é sobre equação de segundo grau, dando ênfase à forma incompleta. É importante dominar este assunto, pois o mesmo é muito usado em concursos, na resolução de sistemas de equações, em cálculos de dimensões de figuras geométricas, na Física em movimento uniformemente variado e nos lançamentos verticais para cima. Neste estudo objetivamos identificar a forma normal de uma equação do segundo grau e reconhecer seus parâmetros, reconhecer as formas incompletas de uma equação do segundo grau e identificar seus coeficientes, reconhecer o termo independente e sua importância na resolução de exercícios, enfatizar a forma incompleta ax² + c = 0 de uma equação de segundo grau através de resoluções (passo a passo) de sete exercícios, estudar e desenvolver um programa de computador que calcule uma equação do segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0.

Obs: As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Na forma geral (ou normal) de uma equação do segundo grau seus coeficientes (ou parâmetros) a, b e c são números reais. Se pelo menos um dos seus coeficientes, com exceção de a, for igual a zero a equação será chamada de incompleta. Veja a forma geral (completa):

$$ax^2+bx+c=0\qquad(1)$$

Exemplos: quando c = 0 a relação (1) é transformada na equaçao de forma incompleta

$$ax^2+bx=0.\qquad(2)$$

Quando b = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2+c=0.\qquad(3)$$

Quando b = c = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2=0.\qquad(4)$$

A seguir, vamos aplicar estes conhecimentos na resolução de exercícios.

1º) Resolver as seguintes equações incompletas:

$$a)\quad 4x^2-64=0$$

Resolver uma equação é achar seu conjunto verdade. Vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$4x^2-64=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -64. Obs: o termo c é chamado de constante ou termo conhecido ou termo independente.

Transpondo a constante c = -64 para o segundo membro da equação temos

$$4x^2=64.$$

Importante: se o segundo menbro é constituído por um número positivo (no caso, 64) o conjunto verdade terá dois elementos, ou seja, dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{64}{4}$$

ou

$$x^2 =16.$$

Portanto,

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois elementos:

$$V=\left\{ -4,4 \right\}.$$

Elaboramos um programa em JavaScript que calcula as raízes de uma equação de segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0. Os problemas aqui propostos devem ser feitos manualmente e suas respostas comparadas com as do programa. O programa é melhor visualizado com o navegador Firefox. No internet explorer o programa é visualizado sem muita estética. Quando você digitar números decimais use o ponto e não a vírgula. Nas próximas postagens teremos o código fonte do programa, mas com a equação da forma completa.

X²+-

Solução da equação (use o ponto no lugar da vírgula):

Digite os dados da questão acima no programa e compare as respostas.

$$b)\quad -3x^2+48=0$$

O coeficiente a deve ser sempre positivo, portanto vamos multiplicar a equação por (-1) e teremos

$$3x^2-48=0$$

Para determinar os coeficientes vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$3x^2-48=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 3, b = 0 e o termo c = -48. Transpondo a constante c = -48 para o segundo membro da equação temos

$$3x^2=48.$$

No segundo membro temos um número positivo (48), portanto, o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a teremos

$$\frac{3x^2}{3} =\frac{48}{3}$$

ou

$$x^2 =16.$$

Isolando x, temos

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-4,4 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$c)\quad x^2-1=0$$

A equação acima pode ser escrita como

$$1.x^2-1=0.$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$1.x^2-1=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = -1. Transpondo a constante c = -1 para o segundo membro da equação, temos

$$x^2=1.$$

No segundo membro temos um número positivo (1), então o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Isolando x, temos que

$$x =\sqrt{1}=\pm 1,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-1,1 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$d)\qquad 4x^2-9=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$4x^2-9=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -9. Transpondo a constante c = -9 para o segundo membro da equação, temos

$$4x^2=9.$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então já sabemos que o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Portanto, dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{9}{4}$$

ou

$$x^2 =\frac{9}{4}\cdot$$

Portanto,

$$x =\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2} = \pm 1,5.$$

O conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\}\cdot$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$e)\qquad 10x^2+10=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$10x^2+10=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 10 , b = 0 e o termo c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação temos

$$10x^2=-10.$$

Importante: quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -10), o conjunto verdade ficará vazio.

Dividindo os membros da equação acima pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{10x^2}{10} =-\frac{10}{10}$$

ou

$$x^2 =-1.$$

Isolando o x:

$$x =\sqrt{-1}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$f)\qquad x^2+16=0$$

Comparando a eq. acima com a eq. (3), temos:

$$x^2+16=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = 16. Transpondo a constante c = 16 para o segundo membro da equação, temos que

$$x^2=-16.$$

Quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -16), o conjunto verdade será vazio.

$$x =\sqrt{-16}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Podemos sim extrair esta raiz, mas no conjunto dos números complexos. A solução não pertence ao conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$g)\quad -5t^2+10=0$$

Desta vez não vamos multiplicar a equação por (-1) e veremos que a solução é a mesma. Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$-5t^2+10=0$$

e

$$at^2+c=0.$$

Note que, na comparação com a eq. (3), substituimos x² por t². Os coeficientes são: a = -5 , b = 0 e a constante c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação, temos

$$-5t^2=-10.$$

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{-5t^2}{-5} =\frac{-10}{-5}$$

ou

$$t^2 =2.$$

Isolando o t, temos que

$$t =\sqrt{2}\simeq \pm 1,41421....$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então o conjunto verdade da equação terá dois números reais relativos simétricos:

$$V= \left\{ -\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

Na próxima aula exercitaremos sobre equação do segundo grau incompleta da forma

$$ax^2+bx=0.$$

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