COMO ESCREVER RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

Objetivos desta aula:

Identificar o que é radical, radicando, índice do radicando, raiz do radical, índice ou grau do radical e o sinal do radical; Escrever sob a forma de radical potências com expoentes decimais, fracionários positivos e negativos; Escrever radicais sob forma de potência com expoente fracionário.

Esta é a 3ª parte do nosso estudo envolvendo potências e radicais. Aos poucos, com a resolução de vários exercícios, vamos aprendendo, passo a passo, sobre potências e radicais. Nesta postagem teremos 12 exercícios resolvidos. Para melhor compreensão dos mesmos é importante o acompanhamento do estudo anterior sobre potenciação e expoentes negativos, onde paramos na 4ª questão, na letra c.

Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

IDENTIFICANDO AS RAÍZES E OS ELEMENTOS DOS RADICAIS

Vamos identificar os elementos que compõem a seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$

Nesta igualdade, $$\sqrt[4]{9^{2}}$$ é o radical, o número 9 é o radicando, o número 2 é o índice do radicando, o número 3 é a raiz do radical, o número 4 é o índice ou grau do radical e o $$\sqrt{}$$ é o sinal do radical. Leitura: raiz quarta de nove elevado a dois (ou ao quadrado) é igual a 3.

Vamos identificar os elementos da seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{81}=3.$$

É o mesmo exemplo. O que muda é o radicando, que agora é o 81, e o índice do radicando (1). Veja:

$$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{81^{1} }=3.$$

No exemplo

$$\sqrt{25} =5,$$

o número 25 é o radicando, o 5 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 2. Veja:

$$\sqrt{25} =\sqrt[2]{25^{1} } =5.$$

Leitura: raiz quadrada de 25 é igual a 5 (na verdade é igual a mais ou menos 5, veremos isso mais na frente).

No exemplo

$$\sqrt[3]{8}=2,$$

O número 8 é o radicando e o 2 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 3. Veja:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{8^{1} }=2.$$

Leitura: raiz cúbica de 8 é igual a 2.

No exemplo

$$\sqrt[n]{a} =m.$$

O número representado pela letra a é o radicando, o número representado pela letra n é o índice do radical e o número representado pela letra m é a raiz do radical. Leitura: raiz n-ésima de a é igual a m.

Agora que já sabemos os nomes dos elementos que compõem os radicais vamos estudar sobre potência com expoente fracionário positivo

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS POSITIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$

Definição: toda potência com expoente fracionário e positivo é equivalente a um radical de índice igual ao denominador do expoente. O radicando é uma potência da mesma base com expoente inteiro idêntica ao numerador.

Portanto, entendemos que:

- Pela definição a base da potência será o radicando;

- Desta base de expoente fracionário, o numerador será igual ao expoente do radicando e o denominador será igual ao índice do radical.

Para entender esta definição vamos exercitá-la:

5º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$$\mathbf{a)\quad a^{\frac{5}{8}}}$$

A base da potência (a) tem o expoente fracionário é igual a 5/8, onde o 8 é o denominador do expoente e o 7 é o numerador do expoente. Pela definição a base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (8) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (5) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{5}{8}}=\sqrt[8]{a^5}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad (y+1)^{\frac{1}{2}}}$$

Pela definição a base da potência (y + 1) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{(y+1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(y+1)^{1}} = \sqrt{(y+1)}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{\frac{m}{n}}}$$

A base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (n) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (m) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$}.$$

$${\mathbf{d)\quad 3^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (3) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} =\sqrt[2]{3^1} =\sqrt{3}}$}.$$

$${\mathbf{e)\quad 2^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{2^1}=\sqrt{2}}$}.$$

$${\mathbf{f)\quad 2^{0,25}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$2^{\frac{25}{100}} =2^{\frac{1}{4}}}.$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (4) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{0,25} =2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2^1} =\sqrt[4]{2}}$}.$$

$${\mathbf{g)\quad 5^{0,5}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$5^{0,5}=5^{\frac{1}{2}}.$$

A base da potência (5) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{5^1}}$}.$$

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS NEGATIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

No estudo anterior, usamos regras práticas baseado nas definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Vale a mesma regra para expoente fracionário negativo. Siga os passos:

- Quando o expoente é negativo (ou positivo) sempre coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base elevado ao expoente. Se o expoente for negativo, fica no denominador com o sinal positivo e se o expoente for positivo fica no denominador com o sinal negativo.

Para entender melhor esta definição vamos exercitá-las. Mãos à obra.

6º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$${\mathbf{a)\quad 3^{-\frac{4}{3}}}$$

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 4/3. Veja que este expoente, que era negativo (-4/3), fica no denominador com o sinal positivo (4/3). Assim:

$$3^{-\frac{4}{3}} =\frac{1}{3^{\frac{4}{3}}}.$$

Na questão anterior aprendemos que este denominador pode ser escrito na forma de radical:

$${3^{\frac{4}{3}}}=\sqrt[3]{3^4},$$

Portanto, substituindo o radical na expressão acima obtemos

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad 3^{-\frac{2}{5}}}}$$

Siga os passos:

- O 1 vai para o numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 2/5. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{3^{\frac{2}{5}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${3^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{3^2}.$$

Portanto,

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{\sqrt[5]{3^2}}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{-\frac{m}{n}}}$$

Sendo a um número real positivo (a > 0) e m e n números inteiros e positivos podemos aplicar os passos:

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (a) elevado ao expoente m/n. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$a^{-\frac{m}{n}} =\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${a^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{a^m},$$

portanto,

$$\fbox{$\mathbf{a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}}$}.$$

ESCREVENDO RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

7º) Escreva os seguintes radicais sob forma de potência com expoente fracionário:

$${\mathbf{a)\quad \sqrt{b^{2}-4ac}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt{b^{2}-4ac} =\sqrt[2]{(b^{2}-4ac)^{1}}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (1) do radicando e o denominador será igual ao índice (2) do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{({b^{2}-4ac} )^{1} }=(b^{2} -4ac)^{\frac{1}{2}}}.$$

$${\mathbf{b)\quad \sqrt{(a+b)^3}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando (a + b) será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (3) do radicando e o denominador será igual ao índice (2), subentendido, do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}} =(a+b)^{\frac{3}{2}}.$$

Este estudo continua no próximo post. Aguarde! Bons estudos!