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segunda-feira, 14 de fevereiro de 2011

COMO ESCREVER RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

Objetivos desta aula:

Identificar o que é radical, radicando, índice do radicando, raiz do radical, índice ou grau do radical e o sinal do radical; Escrever sob a forma de radical potências com expoentes decimais, fracionários positivos e negativos; Escrever radicais sob forma de potência com expoente fracionário.

Esta é a 3ª parte do nosso estudo envolvendo potências e radicais. Aos poucos, com a resolução de vários exercícios, vamos aprendendo, passo a passo, sobre potências e radicais. Nesta postagem teremos 12 exercícios resolvidos. Para melhor compreensão dos mesmos é importante o acompanhamento do estudo anterior sobre potenciação e expoentes negativos, onde paramos na 4ª questão, na letra c.

Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

IDENTIFICANDO AS RAÍZES E OS ELEMENTOS DOS RADICAIS

Vamos identificar os elementos que compõem a seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$
Nesta igualdade, $$\sqrt[4]{9^{2}}$$ é o radical, o número 9 é o radicando, o número 2 é o índice do radicando, o número 3 é a raiz do radical, o número 4 é o índice ou grau do radical e o $$\sqrt{}$$ é o sinal do radical. Leitura: raiz quarta de nove elevado a dois (ou ao quadrado) é igual a 3.

Vamos identificar os elementos da seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{81}=3.$$

É o mesmo exemplo. O que muda é o radicando, que agora é o 81, e o índice do radicando (1). Veja:

$$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{81^{1} }=3.$$

No exemplo

$$\sqrt{25} =5,$$

o número 25 é o radicando, o 5 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 2. Veja:

$$\sqrt{25} =\sqrt[2]{25^{1} } =5.$$

Leitura: raiz quadrada de 25 é igual a 5 (na verdade é igual a mais ou menos 5, veremos isso mais na frente).

No exemplo

$$\sqrt[3]{8}=2,$$

O número 8 é o radicando e o 2 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 3. Veja:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{8^{1} }=2.$$

Leitura: raiz cúbica de 8 é igual a 2.

No exemplo

$$\sqrt[n]{a} =m.$$

O número representado pela letra a é o radicando, o número representado pela letra n é o índice do radical e o número representado pela letra m é a raiz do radical. Leitura: raiz n-ésima de a é igual a m.

Agora que já sabemos os nomes dos elementos que compõem os radicais vamos estudar sobre potência com expoente fracionário positivo

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS POSITIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$
Definição: toda potência com expoente fracionário e positivo é equivalente a um radical de índice igual ao denominador do expoente. O radicando é uma potência da mesma base com expoente inteiro idêntica ao numerador.

Portanto, entendemos que:

- Pela definição a base da potência será o radicando;

- Desta base de expoente fracionário, o numerador será igual ao expoente do radicando e o denominador será igual ao índice do radical.

Para entender esta definição vamos exercitá-la:

5º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$$\mathbf{a)\quad a^{\frac{5}{8}}}$$

A base da potência (a) tem o expoente fracionário é igual a 5/8, onde o 8 é o denominador do expoente e o 7 é o numerador do expoente. Pela definição a base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (8) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (5) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{5}{8}}=\sqrt[8]{a^5}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad (y+1)^{\frac{1}{2}}}$$

Pela definição a base da potência (y + 1) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{(y+1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(y+1)^{1}} = \sqrt{(y+1)}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{\frac{m}{n}}}$$

A base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (n) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (m) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$}.$$

$${\mathbf{d)\quad 3^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (3) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} =\sqrt[2]{3^1} =\sqrt{3}}$}.$$

$${\mathbf{e)\quad 2^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{2^1}=\sqrt{2}}$}.$$

$${\mathbf{f)\quad 2^{0,25}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$2^{\frac{25}{100}} =2^{\frac{1}{4}}}.$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (4) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{0,25} =2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2^1} =\sqrt[4]{2}}$}.$$

$${\mathbf{g)\quad 5^{0,5}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$5^{0,5}=5^{\frac{1}{2}}.$$

A base da potência (5) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{5^1}}$}.$$

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS NEGATIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

No estudo anterior, usamos regras práticas baseado nas definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Vale a mesma regra para expoente fracionário negativo. Siga os passos:

- Quando o expoente é negativo (ou positivo) sempre coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base elevado ao expoente. Se o expoente for negativo, fica no denominador com o sinal positivo e se o expoente for positivo fica no denominador com o sinal negativo.

Para entender melhor esta definição vamos exercitá-las. Mãos à obra.

6º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$${\mathbf{a)\quad 3^{-\frac{4}{3}}}$$

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 4/3. Veja que este expoente, que era negativo (-4/3), fica no denominador com o sinal positivo (4/3). Assim:

$$3^{-\frac{4}{3}} =\frac{1}{3^{\frac{4}{3}}}.$$

Na questão anterior aprendemos que este denominador pode ser escrito na forma de radical:

$${3^{\frac{4}{3}}}=\sqrt[3]{3^4},$$

Portanto, substituindo o radical na expressão acima obtemos

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad 3^{-\frac{2}{5}}}}$$

Siga os passos:

- O 1 vai para o numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 2/5. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{3^{\frac{2}{5}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${3^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{3^2}.$$

Portanto,

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{\sqrt[5]{3^2}}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{-\frac{m}{n}}}$$

Sendo a um número real positivo (a > 0) e m e n números inteiros e positivos podemos aplicar os passos:

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (a) elevado ao expoente m/n. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$a^{-\frac{m}{n}} =\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${a^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{a^m},$$

portanto,

$$\fbox{$\mathbf{a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}}$}.$$

ESCREVENDO RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

7º) Escreva os seguintes radicais sob forma de potência com expoente fracionário:

$${\mathbf{a)\quad \sqrt{b^{2}-4ac}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt{b^{2}-4ac} =\sqrt[2]{(b^{2}-4ac)^{1}}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (1) do radicando e o denominador será igual ao índice (2) do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{({b^{2}-4ac} )^{1} }=(b^{2} -4ac)^{\frac{1}{2}}}.$$

$${\mathbf{b)\quad \sqrt{(a+b)^3}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando (a + b) será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (3) do radicando e o denominador será igual ao índice (2), subentendido, do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}} =(a+b)^{\frac{3}{2}}.$$

Este estudo continua no próximo post. Aguarde! Bons estudos!

5 comentários:

Anônimo disse...

Boa noite Elísio, ótimo trabalho a matemática agradece a sua contribuição.Faço licenciatura em matemática na UFPE e estou trabalhando os assuntos das séries iniciais até o nono ano que julguei,durante algumas pesquisas, importantes devido a dificuldade apresentada pelos alunos durante a pesquisa. Este comentário faz parte do meu estudo. Boa sorte, e continue assim, de forma simples mais bem fundamentada, ajudando a tirar as dúvidas de milhares de pessoas.

Anônimo disse...

Ola Elisio,
tenho uma pergunta, bem meu professor de matematica nos desafiou a descobrir porque o radicando não pode ser negativo, mas ninguem descobriu e me ficou essa duvida poderia me responder então por que o radicando quando escrito com expoente fracionario não pode ser negativo?
Desde ja grato
Antonio

Elísio Físico disse...

Olá Antonio! Veja se isso ajuda:

No caso, o radicando, aquele que fica debaixo do chapéu (sinal do radical) deve ser um número real positivo (a > 0), pois se esse radicando fosse um número real negativo (a < 0) seria impossível obtermos sua raiz, ou seja, não podemos obter a raiz no conjunto dos reais (R). Porém, se fosse no conjunto dos números complexos(C)(muito usado na Mecânica Quântica), isso seria possível.

Aí, baseado na definição escrita nesta postagem, aplicamos a regra:

- O radicando (aquele que fica debaixo do chapéu, que deve ser real e positivo, pois se fosse negativo não teria raiz no conjunto dos reais) será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente do radicando e o denominador será igual ao índice do radical.

Falou, Antonio. Espero que seja isso que seu professor quer como resposta, mas pesquise mais sobre esse tão maravilhoso assunto. Se houver outra resposta, por favor escreva aqui para que possamos aprender mais com você e com sua equipe de estudo. Agradeço muito o seu interesse.

Atenciosamente

Elísio.

PALOMA ELLEN BRAGA disse...

SIM APREDIR UM POUCO........

hebbo disse...

Eu Agradeço Muitooo Pelo Estudo !

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.