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quinta-feira, 3 de fevereiro de 2011

POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Já estudamos que potência é um produto de fatores iguais. O fator repetido chama-se base, o número de fatores repetidos chama-se expoente e o resultado da operação chama-se potência. Já estudamos, também, que qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1 e qualquer número elevado a um é igual ao próprio número. Neste estudo sobre potenciação temos os seguintes objetivos:

- O aluno deverá aplicar passo a passo nos exercícios dados, as definições sobre potências com expoentes inteiros negativos e potências com expoente racional fracionário; 

- Deverá escrever os exercícios pedidos sob forma de potência com expoente inteiro negativo e sob forma de potência com expoente fracionário;

- Aplicar os resultados aprendidos em assuntos que envolvem a disciplina Física.

Nesta postagem, para não sobrecarregar o blog com muitas equações, vamos estudar apenas a aplicação das definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Teremos apenas 10 exercícios respondidos. Na próxima postagem daremos continuidade a este assunto tão maravilhoso.

Primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a}\cdot$$

Segunda definição:

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n}.$$

Para entendermos melhor estas definições vamos aplicá-las nas resoluções dos problemas abaixo. Obs: depois da questão da letra f vamos aplicar uma regra prática oriunda destas definições, em dois passos, muito usada em sala de aula. Lápis e caneta e caderno nas mãos e bons estudos.

1º) Aplicando as definições, calcule

a) $$4^{-1}$$

Veja bem: o expoente é -1. O valor de a = 4. Vamos usar a primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a},$$

portanto, temos que

$$4^{-1} =\frac{1}{4}\cdot$$

b) $$(-8)^{-1}$$

Olha aí novamente o expoente igual a -1, isso quer dizer que vamos usar a primeira definição.
O valor de a  = - 8. Usando a primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a},$$
temos que

$$(-8)^{-1} =\frac{1}{-8} =-\frac{1}{8} \cdot$$

c) $$(-5)^{-2}$$

Veja bem: o expoente é igual a -2. Agora não temos mais o expoente -1, isso quer dizer que vamos aplicar a segunda definição. Vamos aplicar um macete: onde tiver n, você substitui por 2 e conserva o sinal de menos da fórmula da 2ª definição. O valor de a  = - 5. Portanto, usando a segunda definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-5)^{-2} =\left( \frac{1}{-5}\right)^{2} =\left(\frac{1}{-5} \right)\cdot \left(\frac{1}{-5} \right)=\frac{1}{25}\cdot$$

E aí? Você achou difícil? Recordando: a potência de um número inteiro não nulo com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso n é par (n = 2), o resultado (no caso foi 1/25) foi positivo. Vamos continuar exercitando.

d) $$(-4)^{-6}$$

Veja bem: o expoente n agora é -6. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 6 e conserva o sinal de menos da 2ª definição. Sendo a  = - 4, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-4)^{-6}=\left( \frac{1}{-4}\right)^{6}.$$

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso 1 elevado a 6 é igual a 1 e que (-4) elevado a seis é igual a 4096. Então, o resultado será

$$(-4)^{-6} =\left( \frac{1}{-4}\right)^{6}=\frac{1}{4096}\cdot$$

e) $$(-2)^{-3}$$

O expoente n agora é -3 (ímpar). Vamos, também, aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 3 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo a = -2, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-2)^{-3} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{3}=\frac{1}{-8} =-\frac{1}{8}\cdot$$

Aqui pudemos observar que usamos no denominador a multiplicação de números relativos. Aprenda sobre números relativos acessando Números inteiro relativos.

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente ímpar tem sempre o mesmo sinal da base, ou seja, lá no denominador temos (-2) elevado a 3 - a potência de um número inteiro (- 2 ) não nulo, com expoente ímpar (3) tem sempre o mesmo sinal (de menos, no caso resultou em -8) da base (-2).

E aí, ficou mais claro? Exercitando:

f) $$(-2)^{-5}$$

Expoente n agora é 5 (ímpar), portanto já sabemos que o resultado será negativo. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 5 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo que a  = - 2, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-2)^{-5} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{5}\cdot$$

Sabemos que 1 elevado a 5 é igual a 1 e que (-2) elevado a cinco é igual a -32. Portanto,

$$(-2)^{-5} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{5}=\frac{1}{-32}= -\frac{1}{32}\cdot$$

Obs: Para a primeira e para a segunda definição existe uma regra prática, em dois passos, muito usada em sala de aula. Vamos aplica-la nos exemplos a seguir:

2º) Aplique a primeira definição usando uma regra prática nos seguintes exemplos:

a) $$6^{-1}$$

Dois passos:
- Coloque a unidade (1), positiva, no numerador;
- Coloque no denominador a base (6) elevado ao expoente 1. Veja que o expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$6^{-1}=\frac{1}{6^{1}}=\frac{1}{6}\cdot$$

Na linguagem do aluno: sempre colocar o número 1 em cima (numerador) e em baixo (denominador) colocar a base com o sinal conservado e o expoente com sinal trocado”.

b) $$10^{-1}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;
- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 1. Note que o expoente, que era negativo (-1), fica no denominador com o sinal positivo (1). Assim:

$$10^{-1}=\frac{1}{10^{1}} =\frac{1}{10},$$

ou seja, um décimo. Já estudamos sobre os décimos, os centésimos e os milésimos, aprenda acessando  Divisão com números decimais.

c) $$10^{-5}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;
- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 5. Note que o expoente, que era negativo (-5), fica no denominador com o sinal positivo (5). Assim:

$$10^{-5}=\frac{1}{10^{5}} =\frac{1}{100000}\cdot$$

Já estudamos como ler estes números bem pequenos: aprenda acessando Leitura de números decimais. Podemos colocá-los também na forma de notação científica. Aprenda notação científica acessando
Exercícios resolvidos de notação científica.

d) $$(-2)^{-3}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;
- Coloque no denominador a base (-2) elevado ao expoente 3. Note que a base ficou com seu sinal negativo conservado, porém, o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3). Assim:

$$(-2)^{-3}=\frac{1}{-2^{3}} =\frac{1}{-8}\cdot=-\frac{1}{8}\cdot$$

Vamos continuar com regras práticas deste assunto usadas em sala de aula. Porém, será assunto da próxima postagem. Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá até o rodapé desta postagem, do lado direito do meu retrato, você clica em cima da palavra e-mail. No momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre o assunto. Bons estudos!

21 comentários:

nayza estudante do ensin fudamental disse...

meu comentario e assim eu adoro matematica;ingles e portugues mais qeu queria aprender os meus assuntos dados pela professora mais rapido.eu adoromais eu quero e apreder e nao ficar assim do msm jeito.

Tânia Gonçalves disse...

Professor,
deparei-me com os seguintes termos num exercício da FEI: (-2)-¹ e (-3)¹. O resultado é na forma fracionária e parei nestes dois termos. Poderia me ajudar?
Obrigada, a sua didática é ótima, o meu aprendizado é que é meio lento mesmo.

Elísio Físico disse...

Olá Tânia, tudo bom? na questão (-2)^-1, basta seguir o raciocínio da letra b da 1ª questão desta postagem e você vai encontrar 1/-2. No caso de (-3)^1 a resposta é o próprio (-3), pois todo número elevado a 1 resulta no próprio número. Boa sorte e bons estudos!

Tânia Gonçalves disse...

Muito obrigada mesmo pela rapidez da resposta e atenção.

Anônimo disse...

muito bom

Anônimo disse...

Boa noite,

Estou pesquisando e não encontrei uma resposta aparentemente fácil, rsss.

(0,1)-²

Agradeço desde já!

Elísio Físico disse...

Caro anônimo(a)tudo legal? -> por favor, escreva seu nome da próxima vez, tá ok?

Veja se isso ajuda em alguma coisa:

(0,1)^-2 =
(1/10)^-2 =
Regra:
1/(1/10)^2 =
1/(1^2/10^2)=
1/(1/100) =
1 X 100/1 =
1 X 100 = 100.

Grato.

Elísio Físico disse...

Veja se a explicação abaixo é melhor:

Sabemos que 0,1 = 1/10, portanto,
(0,1)^-2 = (1/10)^-2.

Para resolver aplicamos a regra que está no início desta postagem, ou seja, a^-n = (1/a)^n.

No caso: a = 0,1 e n= 2:
Substituindo esses valores na regra acima, temos

(0,1)^-2 = (1/0,1)^2.
(Elevando 1 e 0,1 ao quadrado)=(1^2/0,1^2).

Obs: sabemos que 1^2 = 1.1 = 1 e que
0,1^2 = 0,1.0,1 = 0,01.

Portanto, (0,1)^-2 = 1/0,01 (em 1 real cabem quantas moedas de 1 centavo?)= 100.

Grato.

Anônimo disse...

eu não achei o que eu queria ..
mais estou grata

bjss
by; myllena

Anônimo disse...

Parabéns pela iniciativa.

*Pamy* disse...

Olá! Adorei o material, aprendi sobre isso faz pouco tempo, mas como tinha faltado, estava confuso demais. Amanhã terei uma prova de matemática e graças a seu blog, estou por dentro de tudo e tenho certeza de que irei bem!

Obrigada por ter criado esse blog!

Anônimo disse...

adorei. tirei muitas dúvidas!!!!!!! obrigado

Rainha Jadis disse...

Olá, meu nome é Lucas meu e-mail é lucasgossen@gmail.com
Se você quiser, pode mandar os e-mails que você falou ali no ''quem sou eu''.
Muito obrigado...

Vanessa disse...

consegui passar pq estudei aqui vlw mesmo ;D

Naathalia* disse...

Obrigada , isso esta ajudando em minha vida .. Eu lí e eu acho que vou conseguir passar na prova , ficou muito facil lendo isso aqui .... ;D valeeeu

AdrI disse...

Professor boa noite, voltei a estudar e agora estou com a disciplina matemática financeira, e como já deve ser do seu conhecimento todos que param de estudar esquece tudo e esta sou eu me deparei com a seguinte situação (1+0,36)^-10 como resolvo isso? Adorei seu Blog

Ana Maria Ferreira Fernando disse...

Muito Bom
Me ajudou muito

deborah neves disse...

muito bom!.
Adoraria ter mais exemplos para me ajudar.obrigado.

Marcal Nunes disse...

Realmente muito bom! obrigado pelos ensinamentos!

igor bernardo disse...

Nerd

igor bernardo disse...

Nerd

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.