POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Já estudamos que potência é um produto de fatores iguais. O fator repetido chama-se base, o número de fatores repetidos chama-se expoente e o resultado da operação chama-se potência. Já estudamos, também, que qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1 e qualquer número elevado a um é igual ao próprio número. Neste estudo sobre potenciação temos os seguintes objetivos:

- O aluno deverá aplicar passo a passo nos exercícios dados, as definições sobre potências com expoentes inteiros negativos e potências com expoente racional fracionário; 

- Deverá escrever os exercícios pedidos sob forma de potência com expoente inteiro negativo e sob forma de potência com expoente fracionário;

- Aplicar os resultados aprendidos em assuntos que envolvem a disciplina Física.

Nesta postagem, para não sobrecarregar o blog com muitas equações, vamos estudar apenas a aplicação das definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Teremos apenas 10 exercícios respondidos. Na próxima postagem daremos continuidade a este assunto tão maravilhoso.

Primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a}\cdot$$

Segunda definição:

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n}.$$

Para entendermos melhor estas definições vamos aplicá-las nas resoluções dos problemas abaixo. Obs: depois da questão da letra f vamos aplicar uma regra prática oriunda destas definições, em dois passos, muito usada em sala de aula. Lápis e caneta e caderno nas mãos e bons estudos.

1º) Aplicando as definições, calcule

a) $$4^{-1}$$

Veja bem: o expoente é -1. O valor de a = 4. Vamos usar a primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a},$$

portanto, temos que

$$4^{-1} =\frac{1}{4}\cdot$$

b) $$(-8)^{-1}$$

Olha aí novamente o expoente igual a -1, isso quer dizer que vamos usar a primeira definição.
O valor de a  = - 8. Usando a primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a},$$

temos que

$$(-8)^{-1} =\frac{1}{-8} =-\frac{1}{8} \cdot$$

c) $$(-5)^{-2}$$

Veja bem: o expoente é igual a -2. Agora não temos mais o expoente -1, isso quer dizer que vamos aplicar a segunda definição. Vamos aplicar um macete: onde tiver n, você substitui por 2 e conserva o sinal de menos da fórmula da 2ª definição. O valor de a  = - 5. Portanto, usando a segunda definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-5)^{-2} =\left( \frac{1}{-5}\right)^{2} =\left(\frac{1}{-5} \right)\cdot \left(\frac{1}{-5} \right)=\frac{1}{25}\cdot$$

E aí? Você achou difícil? Recordando: a potência de um número inteiro não nulo com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso n é par (n = 2), o resultado (no caso foi 1/25) foi positivo. Vamos continuar exercitando.

d) $$(-4)^{-6}$$

Veja bem: o expoente n agora é -6. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 6 e conserva o sinal de menos da 2ª definição. Sendo a  = - 4, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-4)^{-6}=\left( \frac{1}{-4}\right)^{6}.$$

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso 1 elevado a 6 é igual a 1 e que (-4) elevado a seis é igual a 4096. Então, o resultado será

$$(-4)^{-6} =\left( \frac{1}{-4}\right)^{6}=\frac{1}{4096}\cdot$$

e) $$(-2)^{-3}$$

O expoente n agora é -3 (ímpar). Vamos, também, aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 3 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo a = -2, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-2)^{-3} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{3}=\frac{1}{-8} =-\frac{1}{8}\cdot$$

Aqui pudemos observar que usamos no denominador a multiplicação de números relativos. Aprenda sobre números relativos acessando Números inteiro relativos.

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente ímpar tem sempre o mesmo sinal da base, ou seja, lá no denominador temos (-2) elevado a 3 - a potência de um número inteiro (- 2 ) não nulo, com expoente ímpar (3) tem sempre o mesmo sinal (de menos, no caso resultou em -8) da base (-2).

E aí, ficou mais claro? Exercitando:

f) $$(-2)^{-5}$$

Expoente n agora é 5 (ímpar), portanto já sabemos que o resultado será negativo. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 5 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo que a  = - 2, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-2)^{-5} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{5}\cdot$$

Sabemos que 1 elevado a 5 é igual a 1 e que (-2) elevado a cinco é igual a -32. Portanto,

$$(-2)^{-5} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{5}=\frac{1}{-32}= -\frac{1}{32}\cdot$$

Obs: Para a primeira e para a segunda definição existe uma regra prática, em dois passos, muito usada em sala de aula. Vamos aplica-la nos exemplos a seguir:

2º) Aplique a primeira definição usando uma regra prática nos seguintes exemplos:

a) $$6^{-1}$$

Dois passos:

- Coloque a unidade (1), positiva, no numerador;

- Coloque no denominador a base (6) elevado ao expoente 1. Veja que o expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$6^{-1}=\frac{1}{6^{1}}=\frac{1}{6}\cdot$$

Na linguagem do aluno: “sempre colocar o número 1 em cima (numerador) e em baixo (denominador) colocar a base com o sinal conservado e o expoente com sinal trocado”.

b) $$10^{-1}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 1. Note que o expoente, que era negativo (-1), fica no denominador com o sinal positivo (1). Assim:

$$10^{-1}=\frac{1}{10^{1}} =\frac{1}{10},$$

ou seja, um décimo. Já estudamos sobre os décimos, os centésimos e os milésimos, aprenda acessando  Divisão com números decimais.

c) $$10^{-5}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 5. Note que o expoente, que era negativo (-5), fica no denominador com o sinal positivo (5). Assim:

$$10^{-5}=\frac{1}{10^{5}} =\frac{1}{100000}\cdot$$

Já estudamos como ler estes números bem pequenos: aprenda acessando Leitura de números decimais. Podemos colocá-los também na forma de notação científica. Aprenda notação científica acessando

Exercícios resolvidos de notação científica.

d) $$(-2)^{-3}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (-2) elevado ao expoente 3. Note que a base ficou com seu sinal negativo conservado, porém, o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3). Assim:

$$(-2)^{-3}=\frac{1}{-2^{3}} =\frac{1}{-8}\cdot=-\frac{1}{8}\cdot$$

Vamos continuar com regras práticas deste assunto usadas em sala de aula. Porém, será assunto da próxima postagem. Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá até o rodapé desta postagem, do lado direito do meu retrato, você clica em cima da palavra e-mail. No momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre o assunto. Bons estudos!