INTEGRAL INDEFINIDA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

UM POUCO SOBRE A VIDA DE GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ:

Nascimento: 01 de julho de 1646 em Leipzig, Saxônia (atual Alemanha). Falecimento: 14 de novembro de 1716 em Hannover, Hanover (atual Alemanha). Orientador(es): Erhard Weigel e Christiaan Huygens.

Em Paris, no início no Outono de 1672, Leibniz estudou Matemática e Física com Christiaan Huygens. Huygens aconselhou Leibniz a lê as obras sobre séries de Saint-Vincent. Leibnitz fez algumas descobertas próprias nesta área.

A Royal Society of London aceitou Leibniz em em 19 de Abril 1673. Leibniz conheceu Ozanam (se destacou no ensino da matemática para muitos alunos estrangeiros que vieram a Paris para ser educado e escreveu várias obras sobre matemática).

Foto acima – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Leibniz.html

Exemplos de obras de Ozanam: por exemplo générale Méthode pour les cadrans marcador (1673), La Géométrie pratique du sr Boulenger (1684), Traité de la construção des equações pour la solução des problèmes indéterminez (1687), Traité des lieux géométriques (1687), Traité des lignes gênero du premier (1687), De l'usage du compas proporção de (1688)) e resolveu um de seus problemas.

Leibniz também se encontrou, novamente, com Huygens que lhe deu uma lista de leituras, incluindo trabalhos de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes e Sluze. Leibniz começou a estudar a geometria dos infinitesimais e escreveu a Oldenburg (secretário da Royal Society), na Royal Society em 1674. Oldenburg respondeu que Newton e Gregory haviam chegado a métodos gerais. Leibniz não estava, contudo, no melhor dos favores com a Royal Society, já que ele não manteve sua promessa de terminar a sua máquina de calcular. Tampouco sabia Oldenburg que Leibniz tinha se transformado, de um matemático bastante simples, que visitou Londres, para um gênio matemático criativo.

Em agosto de 1675 Tschirnhaus (Ehrenfried Tschirnhaus foi um matemático alemão que trabalhou na solução de equações e no estudo das curvas. Ele é mais conhecido pela transformação que remove o termo de grau n-1 a partir de uma equação de grau n) chegou em Paris e formou uma estreita amizade com Leibniz bastante lucrativa para ambos.

Foi durante este período em Paris que Leibniz desenvolveu as noções básicas de sua versão do cálculo. Em 1673 ele ainda estava batalhando para desenvolver uma boa notação para o seus cálculo que eram confusos.

Em 21 de novembro de 1675 ele escreveu um manuscrito com a notação

$$\int f(x)dx$$

pela primeira vez. No mesmo manuscrito é dado a regra do produto para a diferenciação. No Outono de 1676 Leibniz descobriu o familiar

$$d(x^{n})=n.x^{{n-1}}dx.$$

Foi creditado a Leibniz e a Newton o desenvolvimento da Integral e da Regra do Produto. Leia mais sobre a biografia de Leibniz em:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz.html

Leia sobre "Um exame das alegações de Leibniz e Newton com a invenção da Análise de Infinitos" em:

 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Bossut_Chapter_V.html

A INTEGRAL INDEFINIDA

O estudo a seguir é dirigido aos alunos da 3ª série do nível médio, como complemento de um minicurso. Usaremos uma linguagem de fácil compreensão para tais alunos, a pedido dos mesmos. Não usaremos uma  linguagem  com detalhes de nível superior ou com detalhes a nível de mestrado como alguns  que lêem este tópico esperam, pois pretendemos passar apenas uma pequena noção de cálculo integral e suas regras. Quando o aluno ingressar no nível superior, na disciplina cálculo I, poderá se deleitar em situações problemas mais envolventes e contextualizadas. As equações foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Sendo f(x) uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

$$\int f(x) dx = F(x) + c,$$

onde F(x) - é uma primitiva de f(x);

c - é uma constante (chamada constante de integração);

$$\int$$ - é o sinal de integração;

f(x) - é o integrando; 

dx - é a diferencial de x (símbolo que indica que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x).

Se a a derivada da solução F(x) + c for igual ao integrando f(x), implica dizer que a primitiva está calculada de forma correta. Vamos praticar:

1) Calcule a integral:

$$\int\frac{1}{x^{2}}dx.$$

O nosso integrando f(x) é dado por:

$$\frac{1}{x^{2}},$$

que pode ser escrito como

$$x^{-2}.$$

Portanto,

$$\int \frac{1}{x^{2}} dx=\int \ x^{-2} dx.$$

Aplicando o teorema

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,$$

(com n diferente de -1), na nossa integral, resulta em

$$\int \ x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1} } {-2+1} +c = $$

$$\frac{x^{-1} } {-1} +c = -x^{-1} +c =-\frac{1}{x} + c,$$

que é a a solução F(x) + c da nossa integral.

Obs: O resultado F(x) + c desta integral é uma primitiva do nosso integrando (f(x)), ou seja, derivando F(x) + c obteremos o nosso integrando.

2) Calcule a integral:

$$\int \sqrt[3]{x}dx.$$

A expressão

$$\sqrt[3]{x}$$

pode ser escrita como

$$x^{\frac{1}{3}}.$$

Portanto,

$$\int \sqrt[3]{x}dx=\int x^{\frac{1}{3}}dx.$$

Aplicando o teorema

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,$$

temos que,

  

$$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3} +1} } {\frac{1}{3} +1} +c$$

$$ =\frac{x^{\frac{4}{3} } } {\frac{4}{3}} +c = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}+c.$$

Se a derivada desta solução,

$$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}+c,$$

for igual ao integrando,

$$x^{\frac{1}{3}},$$

implica dizer que a primitiva (solução da integral) está calculada de forma correta, ou seja, a solução desta integral é uma primitiva do nosso integrando.

3) Calcule a integral:

$$\int x^{3} dx.$$

Aplicando o teorema

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,$$

resulta que

$$\int {x^{3}dx =\frac{x^{3+1} }{3+1}+c = \frac{x^{4} }{4}+c.$$

Obs: se calcularmos a derivada de

$$F(x)=\frac{x^{4} }{4}+c,$$

temos como resultado o nosso integrando

$$f(x)=x^{3}.$$

Portanto,

$$F(x)=\frac{x^{4} }{4}+c,$$

é uma primitiva do nosso integrando

$$f(x)=x^{3}.$$

Ficou mais claro? Ainda não? Vamos continuar exercitando.

4) Calcule a integral:

$$\int ( 4x+8)dx.$$

Aplicando os teoremas

$$\int [f(x)+g(x)] dx=\int f(x) dx + \int g(x) dx,$$

$$\int dx=x+c$$

e

$$\int af(x)dx=a\int f(x)dx,$$

onde a é uma constante, resulta que

$$\int ( 4x+8)dx=\int 4x dx +\int 8 dx=4\int x dx +8\int dx$$

$$=4(\frac{x^{2}}{2} +c_{1} )+8(x +c_{2} )$$

$$=2{x^{2}} +4c_{1}+8x +8c_{2} =2{x^{2} +8x+(4c_{1}+8c_{2}).$$

Como

$$(4c_{1} + 8c_{2})$$

é uma constante arbitrária, podemos chamá-la de c. Portanto, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int ( 4x + 8)dx=2{x^{2}} + 8x + c.$$

Obs: se calcularmos a derivada de

$$2{x^{2}} +8x+c,$$

temos como resultado o integrando

$$4x+8.$$

5) Calcule a integral:

$$\int (5x^{4} -8x^{3} +9x^{2} -2x+5)dx.$$

Vamos usar os conhecimentos sobre integração aprendidos nesta aula: Colocando as constantes 5, -8, 9, -2 e 5 para fora do sinal de integração, temos que

$$\int (5x^{4} -8x^{3} +9x^{2} -2x+5)dx =$$

$$5 \int x^{4}dx -8 \int x^{3}dx +9 \int x^{2}dx - 2\int xdx+5 \int dx =$$

$$5.\frac{x^{5}} {5}-8.\frac{x^{4}} {4}+9.\frac{x^{3}} {3}-2.\frac{x^{2}} {2}+5x+c$$

$$={x^{5}-2{x^{4}+3{x^{3}} -{x^{2}}+5x+c.$$

Obrigado a você pela paciência. Espero ter ajudado você. Mais exercícios no quadro e no próximo post. Se comentar, por favor, identifique-se.