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sexta-feira, 2 de julho de 2010

INTEGRAL INDEFINIDA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


UM POUCO SOBRE A VIDA DE GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ:

Nascimento: 01 de julho de 1646 em Leipzig, Saxônia (atual Alemanha). Falecimento: 14 de novembro de 1716 em Hannover, Hanover (atual Alemanha). Orientador(es): Erhard Weigel e Christiaan Huygens.

Em Paris, no início no Outono de 1672, Leibniz estudou Matemática e Física com Christiaan Huygens. Huygens aconselhou Leibniz a lê as obras sobre séries de Saint-Vincent. Leibnitz fez algumas descobertas próprias nesta área.

A Royal Society of London aceitou Leibniz em em 19 de Abril 1673. Leibniz conheceu Ozanam (se destacou no ensino da matemática para muitos alunos estrangeiros que vieram a Paris para ser educado e escreveu várias obras sobre matemática).

Foto acima – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Leibniz.html

Exemplos de obras de Ozanam: por exemplo générale Méthode pour les cadrans marcador (1673), La Géométrie pratique du sr Boulenger (1684), Traité de la construção des equações pour la solução des problèmes indéterminez (1687), Traité des lieux géométriques (1687), Traité des lignes gênero du premier (1687), De l'usage du compas proporção de (1688)) e resolveu um de seus problemas.

Leibniz também se encontrou, novamente, com Huygens que lhe deu uma lista de leituras, incluindo trabalhos de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes e Sluze. Leibniz começou a estudar a geometria dos infinitesimais e escreveu a Oldenburg (secretário da Royal Society), na Royal Society em 1674. Oldenburg respondeu que Newton e Gregory haviam chegado a métodos gerais. Leibniz não estava, contudo, no melhor dos favores com a Royal Society, já que ele não manteve sua promessa de terminar a sua máquina de calcular. Tampouco sabia Oldenburg que Leibniz tinha se transformado, de um matemático bastante simples, que visitou Londres, para um gênio matemático criativo.

Em agosto de 1675 Tschirnhaus (Ehrenfried Tschirnhaus foi um matemático alemão que trabalhou na solução de equações e no estudo das curvas. Ele é mais conhecido pela transformação que remove o termo de grau n-1 a partir de uma equação de grau n) chegou em Paris e formou uma estreita amizade com Leibniz bastante lucrativa para ambos.

Foi durante este período em Paris que Leibniz desenvolveu as noções básicas de sua versão do cálculo. Em 1673 ele ainda estava batalhando para desenvolver uma boa notação para o seus cálculo que eram confusos.

Em 21 de novembro de 1675 ele escreveu um manuscrito com a notação

$$\int f(x)dx$$
pela primeira vez. No mesmo manuscrito é dado a regra do produto para a diferenciação. No Outono de 1676 Leibniz descobriu o familiar

$$d(x^{n})=n.x^{{n-1}}dx.$$

Foi creditado a Leibniz e a Newton o desenvolvimento da Integral e da Regra do Produto. Leia mais sobre a biografia de Leibniz em:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz.html

Leia sobre "Um exame das alegações de Leibniz e Newton com a invenção da Análise de Infinitos" em:

 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Bossut_Chapter_V.html

A INTEGRAL INDEFINIDA

O estudo a seguir é dirigido aos alunos da 3ª série do nível médio, como complemento de um minicurso. Usaremos uma linguagem de fácil compreensão para tais alunos, a pedido dos mesmos. Não usaremos uma  linguagem  com detalhes de nível superior ou com detalhes a nível de mestrado como alguns  que lêem este tópico esperam, pois pretendemos passar apenas uma pequena noção de cálculo integral e suas regras. Quando o aluno ingressar no nível superior, na disciplina cálculo I, poderá se deleitar em situações problemas mais envolventes e contextualizadas. As equações foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Sendo f(x) uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

$$\int f(x) dx = F(x) + c,$$

onde F(x) - é uma primitiva de f(x);

c - é uma constante (chamada constante de integração);

$$\int$$ - é o sinal de integração;

f(x) - é o integrando; 

dx - é a diferencial de x (símbolo que indica que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x).

Se a a derivada da solução F(x) + c for igual ao integrando f(x), implica dizer que a primitiva está calculada de forma correta. Vamos praticar:

1) Calcule a integral:

$$\int\frac{1}{x^{2}}dx.$$

O nosso integrando f(x) é dado por:

$$\frac{1}{x^{2}},$$

que pode ser escrito como

$$x^{-2}.$$

Portanto,

$$\int \frac{1}{x^{2}} dx=\int \ x^{-2} dx.$$

Aplicando o teorema

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,$$

(com n diferente de -1), na nossa integral, resulta em

$$\int \ x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1} } {-2+1} +c = $$

$$\frac{x^{-1} } {-1} +c = -x^{-1} +c =-\frac{1}{x} + c,$$

que é a a solução F(x) + c da nossa integral.

Obs: O resultado F(x) + c desta integral é uma primitiva do nosso integrando (f(x)), ou seja, derivando F(x) + c obteremos o nosso integrando.

2) Calcule a integral:

$$\int \sqrt[3]{x}dx.$$

A expressão

$$\sqrt[3]{x}$$

pode ser escrita como

$$x^{\frac{1}{3}}.$$

Portanto,

$$\int \sqrt[3]{x}dx=\int x^{\frac{1}{3}}dx.$$

Aplicando o teorema

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,$$

temos que,
  
$$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3} +1} } {\frac{1}{3} +1} +c$$

$$ =\frac{x^{\frac{4}{3} } } {\frac{4}{3}} +c = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}+c.$$

Se a derivada desta solução,

$$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}+c,$$
for igual ao integrando,
$$x^{\frac{1}{3}},$$

implica dizer que a primitiva (solução da integral) está calculada de forma correta, ou seja, a solução desta integral é uma primitiva do nosso integrando.

3) Calcule a integral:

$$\int x^{3} dx.$$

Aplicando o teorema

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,$$

resulta que

$$\int {x^{3}dx =\frac{x^{3+1} }{3+1}+c = \frac{x^{4} }{4}+c.$$

Obs: se calcularmos a derivada de

$$F(x)=\frac{x^{4} }{4}+c,$$

temos como resultado o nosso integrando


$$f(x)=x^{3}.$$

Portanto,

$$F(x)=\frac{x^{4} }{4}+c,$$

é uma primitiva do nosso integrando

$$f(x)=x^{3}.$$

Ficou mais claro? Ainda não? Vamos continuar exercitando.

4) Calcule a integral:

$$\int ( 4x+8)dx.$$

Aplicando os teoremas

$$\int [f(x)+g(x)] dx=\int f(x) dx + \int g(x) dx,$$

$$\int dx=x+c$$
e
$$\int af(x)dx=a\int f(x)dx,$$
onde a é uma constante, resulta que

$$\int ( 4x+8)dx=\int 4x dx +\int 8 dx=4\int x dx +8\int dx$$

$$=4(\frac{x^{2}}{2} +c_{1} )+8(x +c_{2} )$$

$$=2{x^{2}} +4c_{1}+8x +8c_{2} =2{x^{2} +8x+(4c_{1}+8c_{2}).$$

Como

$$(4c_{1} + 8c_{2})$$

é uma constante arbitrária, podemos chamá-la de c. Portanto, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int ( 4x + 8)dx=2{x^{2}} + 8x + c.$$

Obs: se calcularmos a derivada de

$$2{x^{2}} +8x+c,$$

temos como resultado o integrando

$$4x+8.$$

5) Calcule a integral:

$$\int (5x^{4} -8x^{3} +9x^{2} -2x+5)dx.$$

Vamos usar os conhecimentos sobre integração aprendidos nesta aula: Colocando as constantes 5, -8, 9, -2 e 5 para fora do sinal de integração, temos que

$$\int (5x^{4} -8x^{3} +9x^{2} -2x+5)dx =$$

$$5 \int x^{4}dx -8 \int x^{3}dx +9 \int x^{2}dx - 2\int xdx+5 \int dx =$$

$$5.\frac{x^{5}} {5}-8.\frac{x^{4}} {4}+9.\frac{x^{3}} {3}-2.\frac{x^{2}} {2}+5x+c$$

$$={x^{5}-2{x^{4}+3{x^{3}} -{x^{2}}+5x+c.$$

Obrigado a você pela paciência. Espero ter ajudado você. Mais exercícios no quadro e no próximo post. Se comentar, por favor, identifique-se.

51 comentários:

paulo disse...

valeu
brigado

Anonymous disse...

parabens muito didatico
ass
vinicius

greg2010 disse...

caramba tenho prova quarta e isso me ajudou pacas!! obrigado!!!

Thadeu disse...

Obrigado, o bom são pessoas que conseguem postar coisas úteis na internet como voce, parabéns

nellyravanelliblogspot.com disse...

muito bom, bem ilustrado de uma maneira fácil de entender.Obrigado pela ajuda

FELIPE disse...

excelente post!
Parabéns mesmo.

JuviiiS ' disse...

Muiito bom meesmo cara!
Parabéns!

Gilbero Silva disse...

Gostei muito Professor espero que obtenha cada vez mais sucesso e que sua vida seja muito abençoada

Anônimo disse...

Nossa adorei este site..
ficou mto bem explicado, diferente do meu professor da facul...
Parabéns!!!

Anônimo disse...

Reinaldo, Gostei muito! esta bem facio de aprender

Anônimo disse...

Ótima aula sobre integral indefinida, obg por postar estas aulas que são um incremento para o nosso conhecimento.

Anônimo disse...

Edson Bernardo

Muito obrigado Deus ti abençoa

Andréia disse...

Excelente conteúdo. Parabéns!!!

Obrigada!! Me ajudou bastante.

Pasolini disse...

Gostei muito. pena que não tnha um botao para copiar ou imprimir.

Computação Top10 disse...

Muito bom o conteúdo, me ajudou bastante...

Vanessa Souza.

Leandro disse...

Puta que pariu!!! Até que enfim alguém conseguiu disponibilizar um conteúdo de integrais fácil de entender. Parabéns!!!

Nicole disse...

Muito mais fácil de aprender :)
Parabéns e obrigada !

Anônimo disse...

parabens,,obrigado mim ajudou //

Anônimo disse...

brigada ajudou muito, quase nao tinha nocao alguma de integrais...Edith

jorge oliveira disse...

muito bom mesmo esse tipo que coisas na internet nos nos ajuda muito, com essa clareza entao!!!

Kleber Kilhian disse...

Olá Helísio,
Meu nome é Kleber e também possuo um blog, mas de matemática:
http://obaricentrodamente.blogspot.com
Dei uma olhada em blog e gostei bastante, pois é bem organizado e com boas explicações. Uma das coisas que me chamou a atenção foi o fato de usar o Latex. Tentei utilizar vários scripts diferentes, mas não encontrei nenhum que realmente me agradasse. Hoje tenho instalado o da Mathjax, funciona bem, mas a rendenização da imagem não a que bem eu queria, por isso só utilizo nos comentários. O Latex que usa em seu blog deixa as fórmulas muito bem apresentadas. Deixo este comentário para parabenizá-lo pelo ótimo blog e também para saber se poderia me informar como instalar o script que usa. Se preferir, pode me enviar um e-mail:
kleber_kilhian@terra.com.br
Desde já, muito obrigado.
Um forte abraço e sucesso!

Elísio Físico disse...

Olá Kleber, enviei um e-mail para você com os procedimentos e script. Abraços.

Roberto disse...

Parabéns pelo blog, e é muito bom saber que há professores que gostam de passar seus conhecimentos aos alunos que possuem dificuldades. valeu

Kah Ferreiro disse...

Me ajudou muito!!! parabéns!

Anônimo disse...

Parabéns professor, continue compatilhando conosco, pessoas como vc, ajudam mt as pessoas qndo precisam estudar e não encontra nada.

obrigado

ass: Leandro Vieira

Anônimo disse...

Fernando Rangel Araujo

muito bem explicado obrigado
desculpa as poucas palavras mas
praciso aprender mais
obrigado pelo inicio

Anônimo disse...

olá elísio, daqui é o Mavova Kiala, Angolano, sinceramente gostaria de aprender mais contigo, graças a ti xtou a resolver integrais sem problemas... valeu pela ajuda

Anônimo disse...

muito bom ter algo resumido e que vc realmente entenda. Tem vários textos gigantes que vc le e nao entende nada. Parabens

Jessica Fraga Damas disse...

Parabéns!
Excelente as explicações!
Obrigada pela dedicação e preocupação em ensinar mesmo extra classe.

Anônimo disse...

Obrigada por compartilhar seu conhecimento, Elisio. Me ajudou bastante!

Anônimo disse...

vlw ajudou muito nem to dando o assunto ainda mais deu pra entender perfeitamente

Carlos disse...

Bom dia. Parabens pelo blog. Só corrigindo a segunda fórmula: d(x^n) = nx^(n-1). Att prof. Carlos

Anônimo disse...

Bom Dia, gostaria de saber se tem como enviar via e-mail para mim

bruuno.carnielli@hotmail.com

obrigado !

Anônimo disse...

gostaria de receber a apostila

e-mail bruuno.arnielli@hotmail.com

Anônimo disse...

muito legal essa postagem, me ajudou bastante, valeu.

Atenciosamente,

Marta.

lemachado disse...

Nossa, excelente! Acho que nunca tinham me explicado tão claramente assim as integrais!

Cris Fatec disse...

Olá,
Gostei muito, li muito sobre o assunto e não entendi nada de nada, já estava ficando desesperada pois amanha tebho justamente uma prova de calculo e o conteudo será exatamente integral, o professor explicou, mas só associei na minha mente o que ele disse em aula aós ler este post.
Muito Obrigada meeesmo.
Att,
Cristiane
Estudante de Análise e Desenvolvimento de Sistemas pela FATEC

Jô Patchwork disse...

Olá, sou estudante de matemática (Unip interativa) e adorei suas explicações, muito clara! Obrigada pela ajuda! Valeu! Luciana Fialho

luciano disse...

prof.serio,sinceramente vc ajudou muitooooo,explicou muito bem,eu sou burrão em calculo mas consegui entender,muito obrigada pela sua boa vontade,de coração. aluno efomm wagner

Flavioknot disse...

Muito bom..ótimos exercícios para quem está começando o estudo de integrais indefinidas.

Instrumento de Jesus disse...

Nossa!Você explica muito bem.
Obrigada,

Valdete.

André Alcure disse...

Poderia escrever um livro. Está muito mais fácil de entender do que qualquer livro encontrado últimamente.
André

SILEZIO QUEIROZ disse...

Alô Helisio

Parabéns pelas explicações. Você contribui para a Educação. Cálculo é uma matéria que sempre gosto de estar estudando e exercitando. Sucesso!
silezioqueiroz@gmail.com

Design Atenas disse...

Opa, conteúdo ótimo, simples e muito bem detalhado, parabéns!

Tira Rápido disse...

Muito obrigado, de muito ajuda

./ledson --carvalho disse...

Parabéns. Este tipo de trabalho ajuda muito as pessoas que trabalham embarcadas e perdem muitas aulas presenciais e que tem que ser virar na internet para aprenderem. JF - MG.

Kelly Cavalcanti disse...

Estava precisando estudar este assunto para fazer minha prova de calculo da faculdade, você usou métodos muito compreensíveis para explicar o assunto, Obrigada!

Danilo da Silva Barletta Chagas disse...

Muito bom, legal pra quem tá iniciando Cálculo Integral.

clelia disse...

OBRIGA PELA PUBLICAÇÃO.
SEU MATERIAL SERVIU PARA REVISÃO DA AVALIAÇÃO DO MESTRADO AMANHA. MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMATICA.
PARABENS PELO TRABALHO.
CLELIA EUGENIA DE SOUSA LIMA
BLOG; EUGENIALIMA.BLOGSPOT.COM

Nutricionista Paulo Fraga disse...

Valeu pelo post!!

Rayane disse...

muito bom, parabéns!! gostaria que continuasse postando e nos salvando, haha

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.