TEOREMA DE TAYLOR (PARTE II) - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Entre 1712 e 1724 Taylor publicou treze artigos sobre diversos temas: a descrição de experiências de ação capilar, magnetismo e termômetros, relatou experiência para descobrir a lei da atração magnética (1715) e um método melhorado para aproximar as raízes de uma equação, dando um novo método de logaritmos computação (1717). Taylor acrescentou um novo ramo da matemática chamado atualmente de "cálculo de diferenças finitas", inventou a integração por partes e descobriu a célebre série conhecido como a expansão de Taylor. Essas idéias aparecem em seu livro Methodus incrementorum directa et inversa de 1715. Na verdade, a primeira menção de Taylor de uma versão do que é hoje chamado Teorema de Taylor aparece em uma carta que ele escreveu para Machin em 26 de julho de 1712. O termo "a série de Taylor" parece ter usado pela primeira vez por Lhuilier em 1786.

O nosso primeiro estudo está aqui: Taylor - Parte I.

Os objetivos da segunda parte deste estudo são os mesmos do nosso primeiro estudo, ou seja,

•  Pesquisar sobre a vida de  Brook Taylor enfatizando seu interesse pela Física;

•  Expandir funções em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;

•  Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas sobre derivadas;

•  Expandir funções trigonométricas e exponenciais em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;

•  Usar a expansão em série de Taylor para calcular o cosseno de um número muito menor que 1, comparar com o resultado da calculadora e calcular o erro percentual;

•  Usar a expansão em série de Taylor em um problema no eletromagnetismo.

Brook Taylor foi um matemático Inglês que acrescentou um novo ramo da matemática chamado “cálculo de diferenças finitas”, inventou a integração por partes e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de Taylor.
Foto – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Taylor.html

Dando continuação ao estudo anterior trataremos a nossa lista de exercícios a partir da 4ª questão:

4 ) Dada a função

$$f(x)=cosx,$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

- Primeiro passo: calcular $$f(x_{0})$$ = f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=cosx$$, 

temos que

$$f(0)=cos0=1.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=cosx,$$

obteremos

$$f'(x)=-senx.$$

Portanto,

$$f'(0)=-sen0=0.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=-senx,$$

vamos obter

$$f''(x)=-cosx.$$

Portanto,

$$f''(0)=-cos0=-1.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=-cosx.$$

temos que

$$f'''(x)=-(-senx)=senx.$$

Portanto,

$$f'''(0)=sen0=0.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e $$x_{0} =0$$ na fórmula de Taylor, no caso:

$$f (x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})(x-a)^{1} }{1!}+\frac{f''(x_{0})(x-a)^{2}}{2!}+$$
$$\frac{f'''(x_{0})(x-a)^{3} }{3!},$$

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f (x)=1+\frac{0(x-0)^{1} }{1!} -\frac{1(x-0)^{2} }{2!} +\frac{0(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=1+0 -\frac{x^{2} }{2!} +0=1-\frac{x^{2} }{2.1} =1-\frac{1}{2}x^{2}.$$

Portanto,

$$f(x)=cosx =1-\frac{1}{2}x^{2}.$$

Para a expansão for com aproximação até a quarta ordem, teremos

$$cosx =1 -\frac{x^{2} }{2!}+\frac{x^{4} }{4!} - . . ..$$

com x em radianos. Esta expansão é muito usada na Física. Observação:quando x for muito menor que 1, podemos aproximar cosx pela expressão acima, ou seja,

$$cosx \simeq 1-\frac{1}{2}x^{2}.$$

Se x for maior que 1, serão necessários mais termos na série.

5) Usando a expansão em série de Taylor da questão anterior, calcule o cosseno de 0,01 (muito menor que 1) e compare com o resultado da calculadora.

Substituindo x = 0,01 na série:

$$cosx \simeq 1-\frac{1}{2}x^{2}=1-\frac{1}{2} (0,01)^{2}=$$

$$1-\frac{1}{2} (10^{-2})^{2}=1-\frac{10^{-4}}{2} =1-0,00005=0,999995.$$

Portanto, pela série, temos que

$$cos(0,01) \simeq 0,999995.$$

Como x deve ser medido em radianos, coloque sua calculadora no modo radianos (rad) e calcule o cosseno de 0,01. Você achará o valor igual a 0,999995.

6) Usando a expansão em série de Taylor da questão anterior, calcule o cosseno de 0,1 (muito menor que 1), compare com o resultado da calculadora e calcule o erro percentual.

Substituindo x = 0,1 na série:

$$cosx \simeq 1-\frac{1}{2}x^{2}=1-\frac{1}{2} (0,1)^{2}=$$

$$1-\frac{1}{2} (10^{-1})^{2}=1-\frac{10^{-2}}{2} =1-0,005=0,995.$$

Portanto, pela série, temos que

$$cos(0,1) \simeq 0,995.$$

Como x deve ser medido em radianos, coloque sua calculadora no modo radianos (rad) e calcule o cosseno de 0,01. Você achará o valor igual a 0,995004165.

O erro percentual (E) depende do Valor aproximado (Va = 0,995) e do valor correto (Vc = 0,995004165) e é dado por

$$E =100-\frac{Va.100}{Vc}=100-\frac{0,995.100}{0,995004165}\rightarrow $$

$$E =100-99,99581425=0,00418575\simeq 0,00419.$$

0,000419% é muito pequeno, e portanto, uma boa aproximação.

 A parte III do nosso estudo está aqui