DERIVADA DA SOMA - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Quando iniciamos um curso superior novas disciplinas nos são ofertadas. Dentre elas temos o Cálculo I, que nos propõe o aprendizado dos limites, das derivadas e integrais. Neste estudo damos a você uma pequena noção das regras das derivadas. Após utilizar as técnicas aqui expostas, o aluno deve se aprofundar mais na leitura e nos exercícios sobre derivadas. No curso superior da área de ciências exatas, engenharias, economia e outros, sempre será exigido do aluno conhecimentos sobre derivadas.  Portanto, faça bom proveito e bons estudos.

Objetivos desta aula:

• Calcular a derivada de uma função identidade;

• Calcular a derivada do produto de uma função por uma constante;

• Calcular a derivada de uma soma que resultará na soma das derivadas das parcelas;

• Calcular a derivada da função exponencial de base e que resultará na própria função exponencial.

DERIVANDO A FUNÇÃO IDENTIDADE

Já estudamos a regra para derivar potências com expoentes inteiros positivos, ou seja, se n é um número inteiro positivo e x é diferente de zero,

$$f(x)=x^{n},$$

então,

$$f'(x)=n.x^{n-1}.$$

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:

$$a)\quad f(x) =x^{6}$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = x^{6}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(x^{6})=6x^{6-1}=6x^{5}.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{6})} }{\mathrm{d} x}}=6x^{6-1}=6x^{5}.$$

$$b)\quad f(x) = x$$

Esta função (identidade) pode ser escrita como

$$y = x^{1}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(x^{1} )=1.x^{1-1}=1.x^{0}=1.1=1.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{1} )} }{\mathrm{d}x}}=1.x^{1-1}=1.x^{0}=1.1=1.$$

DERIVADA DE UM PRODUTO DE UMA FUNÇÃO POR UMA CONSTANTE

Se v(x) é uma função derivável, c é uma constante e f(x) é uma função definida por

$$f(x) =c.v(x),$$

então,

$$f'(x) =c.v'(x).$$

Em outras palavras: a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:

$$c)\quad f(x) = 3x^{4}$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = 3x^{4}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(3x^{4} )=3(4x^{3})=12x^{3}.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(3x^{4} )} }{\mathrm{d} x}}=3(4x^{4-1})=3(4x^{3})=12x^{3}.$$

$$d)\quad f(x)=5x$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = 5x^{1}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(5x^{1})=1(5x^{1-1} )} =1.(5.x^{0} )=1.(5.1)=1.5=5.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(5x^{1}}) }{\mathrm{d} x}}\cdot$$

Resolvendo a expressão acima, temos:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(5x^{1}}) }{\mathrm{d} x}}=1(5x^{1-1} )} =1.(5.x^{0} )=1.(5.1)=1.5=5.$$

DERIVADA DA SOMA

Dada a função

$$f(x)=u(x)+v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)+v'(x).$$

Em palavras: a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas das parcelas.

Vamos à prática. Aplique as regras estudadas e derive as seguinte funções:

$$e)\quad f(x)=7x^{4}-2x^{3}+8x+5$$

Esta função pode ser escrita como

$$y =7x^{4} -2x^{3} +8x+5.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d}x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(7x^{4}-2x^{3}+8x^{1} +5)}}{\mathrm{d} x}}=7.(4x^{3})-2(3x^{2})+8+0.$$

Finalmente,

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=28x^{3}-6x^{2}+8.$$

Dada a função

$$f(x)=4x^{3}+x^{2},$$

Calcule

$$f)\quad\mathit{\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d}x}}$$

A função dada pode ser escrita como

$$y = 4x^{3} +x^{2}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(4x^{3}+x^{2} )} }{\mathrm{d} x}}$$

$$=\mathit{\frac{\mathrm{d(4x^{3} )} }{\mathrm{d} x}}+\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{2} )} }{\mathrm{d} x}}$$

$$=4(3x^{2} )+2x^{1} =12x^{2}+2x.$$

Da questão anterior, calcule

$$g)\quad f'(1)$$

Fazendo x = 1 na equação

$$f'(x)=12x^{2}+2x,$$

resulta que

$$f'(1)=12.1^{2}+2.1=12+2=14.$$

$$h)\quad f(x) = x+1$$

$$f'(x) = 1+0=1,$$

ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função

$$y = x+1.$$

Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x+1 )} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} x}}+\mathit{\frac{\mathrm{d(1)} }{\mathrm{d} x}}=1+0=1.$$

$$i)\quad f(x)=senx+cosx$$

A função dada pode ser escrita como

$$y = senx+cosx.$$

Obs: a derivada do senx é igual a cosx e a derivada do cosx é igual a -senx. Portanto,

$$f'(x) = cosx-senx,$$

ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função

$$y = senx+cosx.$$

Derivando a função y em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d}x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(senx +cosx )}}{\mathrm{d} x}}$$

$$=\mathit{\frac{\mathrm{d(senx )} }{\mathrm{d} x}}+\mathit{\frac{\mathrm{d(cosx )} }{\mathrm{d} x}}$$

$$=cosx-senx.$$

$$j)\quad f(x)=x^{2}-e^{x}$$

A função dada pode ser escrita como

$$y = x^{2}-e^{x}.$$

Obs: a derivada da função exponencial de base e é a própria função exponencial, ou seja,

$$(e^{x})'=\mathit{\frac{\mathrm{d(e^{x})}}{\mathrm{d}x}}=e^{x}.$$

Portanto,

$$f'(x) =y'= 2x -e^{x}.$$

Podemos, também, calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função

$$y = x^{2} -e^{x}.$$

Derivando a função y em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{2} -e^{x} )}}{\mathrm{d} x}}$$

$$=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{2})}}{\mathrm{d}x}}-\mathit{\frac{\mathrm{d(e^{x})} }{\mathrm{d} x}}$$

$$=2x-e^{x}.$$