DERIVADA DA SOMA - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Quando iniciamos um curso superior novas disciplinas nos são ofertadas. Dentre elas temos o Cálculo I, que nos propõe o aprendizado dos limites, das derivadas e integrais. Neste estudo damos a você uma pequena noção das regras das derivadas. Após utilizar as técnicas aqui expostas, o aluno deve se aprofundar mais na leitura e nos exercícios sobre derivadas. No curso superior da área de ciências exatas, engenharias, economia e outros, sempre será exigido do aluno conhecimentos sobre derivadas.  Portanto, faça bom proveito e bons estudos.

Objetivos desta aula:

• Calcular a derivada de uma função identidade;

• Calcular a derivada do produto de uma função por uma constante;

• Calcular a derivada de uma soma que resultará na soma das derivadas das parcelas;

• Calcular a derivada da função exponencial de base e que resultará na própria função exponencial.

DERIVANDO A FUNÇÃO IDENTIDADE

Já estudamos a regra para derivar potências com expoentes inteiros positivos, ou seja, se n é um número inteiro positivo e x é diferente de zero,

então,

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:



Esta função pode ser escrita como

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

na função y. Assim:

Esta função (identidade) pode ser escrita como

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

na função y. Assim:

DERIVADA DE UM PRODUTO DE UMA FUNÇÃO POR UMA CONSTANTE

Se v(x) é uma função derivável, c é uma constante e f(x) é uma função definida por

então,

Em outras palavras: a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:



Esta função pode ser escrita como

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

na função y. Assim:

Esta função pode ser escrita como

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

na função y. Assim:

Resolvendo a expressão acima, temos:

DERIVADA DA SOMA

Dada a função

Em palavras: a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas das parcelas.

Vamos à prática. Aplique as regras estudadas e derive as seguinte funções:



Esta função pode ser escrita como

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

Finalmente,

Dada a função

Calcule



A função dada pode ser escrita como

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

Da questão anterior, calcule



Fazendo x = 1 na equação

resulta que

ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

na função

Assim:

A função dada pode ser escrita como

Obs: a derivada do senx é igual a cosx e a derivada do cosx é igual a -senx. Portanto,

ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

na função

Derivando a função y em relação a x e aplicando a regra, temos que:

A função dada pode ser escrita como

Obs: a derivada da função exponencial de base e é a própria função exponencial, ou seja,

Portanto,

Podemos, também, calcular a derivada, aplicando o operador

na função

Derivando a função y em relação a x e aplicando a regra, temos que: