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2 de novembro de 2014

Como derivar as funções constante, identidade e exponencial

derivadas
Nesta aula são enfatizadas as técnicas de como derivar uma função constante (que sempre resultará em zero), como derivar a função identidade (que sempre resultará em um) e como derivar uma função exponencial (que sempre resultará na propria função). Essas regras básicas sempre serão usadas em conjunto com outras regras de derivação durante todo o curso de Cálculo. Portanto, é importante que o aluno aprenda de verdade esse conteúdo. Lembrando que o Cálculo foi muito importante para alguns pesquisadores, tais com Newton e Leibtniz na realização de suas produções científicas. Newton, por exemplo, usou o Cálculo como uma ferramenta no estudo da Mecânica Clássica. Atualmente existem vários softwares que ajudam a calcular derivadas e integrais, porém, é importante entendermos e dominarmos as técnicas dessa ferramenta realizando os cálculos manualmente, no borrão. Então, mãos à obra.

Regra para derivar uma função constante


Regra: "A derivada de uma função constante C com respeito a x é igual a zero."

1º) Derive a função constante $f(x)=4$


Podemos escrever

$$f(x)=4$$

como

$$y = 4.$$

A derivada de f(x) é

$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}$$

$$=\frac{d(y)}{dx}$$

$$=\frac{d(4)}{dx}=0.$$

Portanto, a derivada de uma função constante (4) em relação a x é 0.

2º) Derive a função constante $f(x)=-5.$


Podemos escrever

$$f(x)=-5$$ 

da seguinte maneira

$$y=-5.$$ 

A derivada de f(x) é

$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(y)}{dx}$$

$$=\frac{d(-5)}{dx}=0.$$

Portanto a derivada de uma constante ( -5 ) em relação a x é 0.

3º) Derive a função constante $f(x)=C.$


$$f(x)=C$$ 

ou

$$y=C.$$ 

A derivada de f(x) é

$$f'(x)=y'=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(C)}{dx}=0.$$

Portanto, a derivada de uma constante (C, sendo C pertencentes aos reais) em relação a x é 0.

4º) Derive a função identidade $f(x)=x.$


Regra: "A derivada de uma função identidade

$$\frac{dx}{dx}$$ 

é sempre igual a 1."

A função dada

$$f(x)=x$$

pode ser escrita como

$$f(x)=y=x=x^1.$$

Abaixo: para encontrar a derivada de x, multiplique a base (x) pelo expoente (1) e subtraia 1 do expoente (1 - 1 = 0). Uma vez que o expoente tornou-se 0 a base se iguala a 1, pois, todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1.

Portanto,

$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x)}{dx}=\frac{d(x^1)}{dx}$$

$$=1.x^{1-1}=x^{0}=1.$$

Portanto, a derivada de uma função identidade

$$\frac{d(x)}{dx}$$

ou

$$\frac{dx}{dx}$$

é sempre igual a 1. No problema a seguir, vamos usar a função identidade.

5º) Derive a função exponencial $f(x)=e^{x}$


Regra: "A derivada de uma função exponencial da forma $ e^x$ é sempre igual a própria função."

A função exponencial

$$f(x)=e^{x}$$

pode ser escrita como

$$y=e^{x}.$$

A derivada de uma função exponencial é igual a própria função exponencial, pois, de acordo com a regra

$$(a^{u})'=a^{u}.ln(a).u',$$ 

podemos admitir que

$$(e^{x})'=e^{x}.ln(e).x'.$$

A expressão acima equivale a

$$\frac{d(e^{x})}{dx}=e^{x}.ln(e).\frac{dx}{dx}.$$

Portanto, a derivada da função exponencial pode ser calculada da seguinte maneira

$$\frac{d(y)}{dx}= \frac{d(e^{x})}{dx}$$

$$=e^{x}.ln(e).\frac{d(x)}{dx}$$


$$=e^{x}.1.1$$

$$=e^{x}.$$

Observamos, então, que a derivada de uma função exponencial da forma

$$e^{x}$$

é sempre igual a própria função

$$e^{x}.$$

No problema usamos o valor da função identidade, que é 1, e o fato de que o valor do número neperiano e é aproximadamente 2,71828182846... e seu logarítmo natural (ln) é igual a 1.

6º) Derive a seguinte função:

$f(x)=2+\sqrt{5}+ x + e^x.$

Vamos derivar

$$f(x)=2+\sqrt{5}+x+e^x.$$

Os valores das constantes são iguais a

$2$

e

$$\sqrt{5}.$$


Para facilitar a notação podemos escrever a função

$$f(x)=y.$$

Portanto,

$$y=2+\sqrt{5}+ x + e^x.$$

Aplicaremos a regra da derivada da soma: "a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas de cada parcela", ou seja, para o caso da expressão dada, temos

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(2)}{dx}+\frac{d(\sqrt{5})}{dx}+\frac{d(x)}{dx}+\frac{d(e^x)}{dx}$$

$$=0+0+\frac{dx}{dx}+e^x$$

$$=0+0+1+e^x$$

$$=1+e^x.$$

Derive as seguinte funções:

  • $f(x)=-\frac{1}{2};$

  • $f(x)=\frac{d(K)}{dx};$

  • $f(x)=-5+\sqrt{7}+ x + 2e^x;$

  • $f(x)=e.$

Bons estudos.

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