Como derivar as funções constante, identidade e exponencial

Nesta aula são enfatizadas as técnicas de como derivar uma função constante (que sempre resultará em zero), como derivar a função identidade (que sempre resultará em um) e como derivar uma função exponencial (que sempre resultará na propria função). Essas regras básicas sempre serão usadas em conjunto com outras regras de derivação durante todo o curso de Cálculo. Portanto, é importante que o aluno aprenda de verdade esse conteúdo. Lembrando que o Cálculo foi muito importante para alguns pesquisadores, tais com Newton e Leibtniz na realização de suas produções científicas. Newton, por exemplo, usou o Cálculo como uma ferramenta no estudo da Mecânica Clássica. Atualmente existem vários softwares que ajudam a calcular derivadas e integrais, porém, é importante entendermos e dominarmos as técnicas dessa ferramenta realizando os cálculos manualmente, no borrão. Então, mãos à obra.

Regra para derivar uma função constante

Regra: "A derivada de uma função constante C com respeito a x é igual a zero."

1º) Derive a função constante

Podemos escrever

como

A derivada de f(x) é

Portanto, a derivada de uma função constante (4) em relação a x é 0.

2º) Derive a função constante

Podemos escrever

 

da seguinte maneira

 

A derivada de f(x) é

Portanto a derivada de uma constante ( -5 ) em relação a x é 0.

3º) Derive a função constante

 

ou

 

A derivada de f(x) é

Portanto, a derivada de uma constante (C, sendo C pertencentes aos reais) em relação a x é 0.

4º) Derive a função identidade

Regra: "A derivada de uma função identidade

 

é sempre igual a 1."

A função dada

pode ser escrita como

Abaixo: para encontrar a derivada de x, multiplique a base (x) pelo expoente (1) e subtraia 1 do expoente (1 - 1 = 0). Uma vez que o expoente tornou-se 0 a base se iguala a 1, pois, todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1.

Portanto,

Portanto, a derivada de uma função identidade

ou

é sempre igual a 1. No problema a seguir, vamos usar a função identidade.

5º) Derive a função exponencial

Regra: "A derivada de uma função exponencial da forma é sempre igual a própria função."

A função exponencial

pode ser escrita como

A derivada de uma função exponencial é igual a própria função exponencial, pois, de acordo com a regra

 

podemos admitir que

A expressão acima equivale a

Portanto, a derivada da função exponencial pode ser calculada da seguinte maneira

Observamos, então, que a derivada de uma função exponencial da forma

é sempre igual a própria função

No problema usamos o valor da função identidade, que é 1, e o fato de que o valor do número neperiano e é aproximadamente 2,71828182846... e seu logarítmo natural (ln) é igual a 1.

6º) Derive a seguinte função:

Vamos derivar

Os valores das constantes são iguais a

e

Para facilitar a notação podemos escrever a função

Portanto,

Aplicaremos a regra da derivada da soma: "a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas de cada parcela", ou seja, para o caso da expressão dada, temos

Derive as seguinte funções:

Bons estudos.