A Regra da Cadeia em 4 passos

A Regra da Cadeia, desenvolvida pelo matemático Gottfried Leibniz no século XVII, é uma ferramenta muito importante na disciplina de Cálculo. Para a galera que cursa Física, Matemática e Engenharias a Regra da Cadeia torna-se fácil pelo seu uso corriqueiro. Porém,  para quem não usa a Regra da Cadeia com frequência, a mesma torna-se muito complicada e de difícil compreensão. Para ajudar os que possuem dificuldades em assimilar a Regra da Cadeia, elaborei um passo-a-passo envolvendo uma questão. E, a seguir, você deve calcular facilmente duas questões que são propostas. Espero que ajude a todos. As equações podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos! 

Exemplo ➠ Calcule a derivada da função abaixo usando a regra da cadeia:

$$y=(x^2 + 1)^3.$$

1º Passo - Use a definição da Regra da Cadeia

Precisamos aplicar a definição da regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

Note que a intenção do problema é achar

$$\frac{dy}{dx}.$$

2º passo - Ache  $\frac{dy}{du}$

De acordo com a fórmula da regra da cadeia, primeiramente vamos achar

$$\frac{dy}{du}.$$

Para isso, faremos

$$u = x^2+1.$$

Substituindo o valor de u na função dada temos

$$y=(u)^3.$$

Derivando a expressão acima em relação a u, resulta em

$$\frac{dy}{du}=\frac{d(u^3)}{du}=3u^2.$$

3º Passo - Ache   $\frac{du}{dx}$

Agora, de acordo com a fórmula da regra da cadeia, devemos achar

$$\frac{du}{dx}.$$

Substitua o valor de u e efetue a derivda, assim:

$$\frac{du}{dx}=\frac{d(x^2+1)}{dx}=2x.$$

4º Passo - Substitua os valores na fórmula da Regra da Cadeia

Agora, substitua 

$$\frac{dy}{du}$$

e

$$\frac{du}{dx}$$

e o valor de u na regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

Assim,

$$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2 + 1)^3}{dx}$$

$$=3u^2.2x.$$

$$=6x(x^2+1)^2.$$

Desafios para você

 
Use a regra da cadeia e calcule:

$$a) f(x)=(x^5+2)^2.$$

Resposta:

$$f'(x)=10x^9 + 20x^4.$$

 $$b) f(x)=(x^3 - 3)^2.$$

Resposta:

$$f'(x)=6x^5 - 18x^2.$$

Bons estudos!