EXPANSÃO EM SÉRIE DE TAYLOR (PARTE I) - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Em 03 de abril de 1712, Taylor foi eleito para a Royal Society. Foi uma eleição baseada mais nas experiência que Machin (matemático e astrônomo), Keill (matemático) e outros sabiam a respeito de Taylor. Por exemplo, Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma solução para um problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetário. Também em 1712, Taylor foi nomeado para o comitê criado para se pronunciar sobre o pedido de Newton ou Leibniz ter inventado o cálculo. De 14 de janeiro de 1714 até 21 de outubro de 1718 Taylor foi secretário da Royal Society. Na segunda parte desta aula descreveremos mais sobre a vida de Taylor. Mais detalhes sobre a vida e obra de Taylor no site:

http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

Em muitos problemas de Física desejamos uma solução exata de uma função, mas, às vezes, nos deparamos com funções com soluções aproximadas. Com tais aproximações podemos extrair o significado físico de alguns problemas. A série de Brook Taylor nos dá uma solução aproximada de uma função, além de nos permitir estimar o erro associado.

Objetivos da primeira parte deste estudo:

•  Pesquisar sobre a vida de  Brook Taylor enfatizando seu interesse pela Física;

•  Expandir funções em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;

•  Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas sobre derivadas;

•  Expandir funções trigonométricas e exponenciais em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;

•  Usar a expansão em série de Taylor para calcular o cosseno de um número muito menor que 1, comparar com o resultado da calculadora e calcular o erro percentual;

•  Usar a expansão em série de Taylor em um problema no eletromagnetismo.

Brook Taylor foi um matemático Inglês que acrescentou um novo ramo da matemática chamado “cálculo de diferenças finitas”, inventou a integração por partes e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de Taylor. Foto – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Taylor.html 

Brook Taylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton, Middlesex, Inglaterra e faleceu em 29 de dezembro de 1731 em Somerset House, Londres, Inglaterra.

A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto $$x_{0}$$ é a soma dos elementos da série de potências definida por

$$T(x)= \sum_{\ 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x )}{n!}(x-x_{0} )^{n},$$

onde, n! é o fatorial de n e

$$\frac{f^{n} (x )}{n!}$$

denota a n-ésima derivada de f(x) no ponto $$x_{0}.$$
Na Física, é muito usada a notação

$$T(x)= \sum_{\ 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x )}{n!}(x-x_{0} )^{n}=$$
$$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}$$

onde,

$$\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}$$

denota, também, a derivada n-ésima de f(x) aplicada no ponto $$x_{0}.$$

Portanto, a expressão acima fica assim:

$$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}=$$
$$f(x_{0})+(x-x_{0})\frac{df(x)}{dx} }\mid_{x_{0}}$$

$$+\frac{1}{2} (x-x_{0})^{2} \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } }\mid_{x_{0}}+\cdots.$$

Se a série convergir, ela será igual a própria função, ou seja,

$$f(x)=\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}=$$
$$f(x_{0})+(x-x_{0})\frac{df(x)}{dx} }\mid_{x_{0}}$$

$$+\frac{1}{2} (x-x_{0})^{2} \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } }\mid_{x_{0}}+\cdots,$$

chamada de expansão da função f(x) em série de Taylor em volta do ponto $$x_{0}.$$ Para facilitar nossa vida, esta série (série de Taylor de uma função f(x)) pode ser escrita como a série de potências na seguinte notação:

$$f (x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1}}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2!}+$$
$$\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{3!}+\cdots.$$

Na Física trabalha-se com expansão em série de Taylor, com uma boa aproximação até segunda ordem e, nos exercícios seguintes vamos usar, pelo método passo-a-passo, esta notação. Vamos praticar:

1) Dada a função

$$f(x)=e^{x}$$,

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=e^{x}$$, 

temos que

$$f(0)=e^{0}=1.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=e^{x}$$,

obteremos

$$f'(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

Portanto,

$$f'(0)=e^{0}=1.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=e^{x},$$

vamos obter

$$f''(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

Portanto,

$$f''(0)=e^{0}=1.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=e^{x},$$

temos que

$$f'''(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

Portanto,

$$f'''(0)=e^{0}=1.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f (x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(a)(x-a)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(a)(x-a)^{3} }{3!},$$

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f (x)=1+\frac{1(x-0)^{1} }{1!} +\frac{1(x-0)^{2} }{2!} +\frac{1(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=e^{x}=1+\frac{x^{1} }{1!} +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!}=1+x +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!}.$$

2) Dada a função

$$f(x)=(2+x)^{-2},$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

- Primeiro passo: calcular f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=(2+x)^{-2},$$

temos que

$$f(0)=(2+0)^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}} =\frac{1}{4}.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

 $$f(x)=(2+x)^{-2},$$

obteremos

$$f'(x)=-2(2+x)^{-3} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =-2(2+x)^{-3}.1$$ $$=-2(2+x)^{-3}.$$

Portanto,

$$f'(0)=-2(2+0)^{-3}.1=-2.2^{-3}=-2.\frac{1}{8} =-\frac{1}{4}.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=-2(2+x)^{-3}.$$

vamos obter

$$f''(x)=6(2+x)^{-4} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =6(2+x)^{-4}.1$$ $$=6(2+x)^{-4}.$$

Portanto,

$$f''(0)=6(2+0)^{-4}=6.2^{-4}=6.\frac{1}{2^{4}} =6.\frac{1}{16} =\frac{6}{16} =\frac{3}{8}.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=6(2+x)^{-4},$$

vamos obter

$$f'''(x)=-24(2+x)^{-5} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =-24(2+x)^{-5} .1$$ $$=-24(2+x)^{-5}.$$

Portanto,

$$f'''(0)=-24(2+0)^{-5}=-24.2^{-5}=-24.\frac{1}{2^{5}}$$ $$=\frac{-24}{32}=\frac{-12}{16}=\frac{-3}{4}.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-a)^{2} }{2!}$$ $$+\frac{f'''(0)(x-a)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=\frac{1}{4} -\frac{\frac{1}{4} (x-0)^{1} }{1!} +\frac{\frac{3}{8} (x-0)^{2} }{2!} -\frac{\frac{3}{4} (x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=(2+x)^{-2}=\frac{1}{4}-\frac{x} {4} +\frac{3x^{2} }{8.2.1}-\frac{3x^{3} }{4.3.2.1}=$$
$$\frac{1}{4}-\frac{x} {4} +\frac{3x^{2} }{16}-\frac{x^{3} }{8}.$$

3) Dada a função

$$f(x)=\sqrt[3]{x},$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até segunda ordem, em torno de a = 8 ou $$x_{0}=8$$.

- Primeiro passo: calcular f(8).

Substituindo 8 na função

$$f(x)=\sqrt[3]{x},$$

temos que

$$f(8)=\sqrt[3]{8 }=\sqrt[3]{2^{3} }=2.$$

- Segundo passo: calcular f'(8).

Derivando a função

$$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.$$

obteremos

$$f'(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} -1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

Portanto,

$$f'(8)=\frac{1}{3}.(8)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3.8^{\frac{2}{3}}} =\frac{1}{3.\sqrt[3]{8^2} } =\frac{1}{3.\sqrt[3]{64} } =\frac{1}{3.4} =\frac{1}{12}.$$

- Terceiro passo: calcular f''(8).

Derivando a função

$$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

vamos obter

$$f''(x)=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} -1}=-\frac{2}{9} x^{-\frac{5}{3}}.$$

Portanto,

$$f''(8)=-\frac{2}{9} .8^{-\frac{5}{3}}=-\frac{2}{9.8.^{\frac{5}{3}}}=-\frac{2}{9.\sqrt[3]{8^{5}}}=-\frac{1}{144}}}.$$

 - Quarto passo: substituir f(8), f'(8), f''(8) e a=8 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(8)+\frac{f'(8)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(8)(x-a)^{2} }{2!}.$$

$$f(x)=2 -\frac{\frac{1}{12} (x-8)^{1} }{1!} -\frac{\frac{1}{144} (x-8)^{2} }{2!} \rightarrow$$

$$f(x)=\sqrt[3]{x}=2+\frac{1(x-8) }{12}-\frac{1(x-8)^2}{2.144}=$$
$$2+\frac{1(x-8) }{12}-\frac{1(x-8)^2}{288}.$$

A continuação está neste endereço: Taylor II.