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13 de fevereiro de 2017

A derivada da função logarítmica natural

Função logarítmica naturalNo século XVII o escocês Jonh Napier criou o conceito de logaritmo. A palavra “logaritmo” é originada dos termos gregos “lógos” e “arithmós” que significam, respectivamente, razão e número. O logaritmo de um número é o expoente a que a base, deve ser elevado para produzir este número. As ideias de Napier fundamentou a criação do número de Euler (e). A atual noção de logaritmo é oriunda de Leonhard Euler, que o relacionou com a função exponencial no século XVIII.

A função logarítmica natural é abreviada por ln(x) e chamada de logaritmo natural de x. Geralmente são utilizadas as notações ln(x) para significar loge(x), significando o logaritmo natural de x. Portanto, em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo da seguinte maneira: loge(x) = ln(x). A base e é um número irracional que equivale aproximadamente 2,718. Não existe logaritmo natural de zero ou de números negativos. Observação: para designar o logaritmo de x na base 10, escreve-se log10(x) ou log(x). No link a seguir você pode aprender mais sobre os logaritmos:


Regra para derivar uma função logarítmica natural


Por definição, a derivada da função logarítmica natural f(x) = ln(x) equivale a f’(x) = 1/x e dado a função f(x) = ln(u), sua derivada será f'(x) = u'/u. Sendo a função logarítmica de base af(x) = loga(x), sua derivada será equivalente a  f’(x) = 1/(x . lna). 

1º) Derive a função de logaritmo natural  f(x) = ln(x).


A derivada de

$$f(x)=ln(x)$$

é definida como

$$f'(x)= \frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x} \cdot$$

Portanto, a derivada da função natural ln(x) equivale a 1/x, sendo que x > 0.

2º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x + 2).


Para resolver o problema podemos usar a fórmula (I):

$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \cdot$$

Ou podemos, também, usar a fórmula (II) semelhante:

$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{u}=\frac{u'}{u}\cdot$$

Em ambas as fórmulas, oriundas da Regra da Cadeia, é exigido que u > 0.

Para resolver o problema, atribuímos a u o seguinte valor:

$$u=4x+2.$$ 

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(4x+2)}{dx}= \frac{d(4x)}{dx}+ \frac{d(2)}{dx}=4+0=4.$$

Substituindo o valor de u (4x + 2) e de du/dx (4) na fórmula (I), obteremos:

$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{1}{4x+2} \cdot4 = \frac{4}{4x+2} \cdot$$

Podemos simplificar o resultado, dividindo o numerador e o denominador por 4 e obter

$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{2}{2x+1}\cdot$$

3º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x/7).


Atribuímos a u o seguinte valor:

$$u=\frac{4x}{7}\cdot$$

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d( \frac{4x}{7})}{dx}= \frac{4}{7}.$$

Substituindo o valor de u (4x/7) e de du/dx (4/7) na fórmula (I), obteremos:

$$ \frac{d[ln(\frac{4x}{7})]}{dx}= \frac{1}{\frac{4x}{7}} \cdot \frac{4}{7} =\frac{7}{4x}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{x}\cdot$$

4º) Derive a seguinte função: f(x) = ln (x2).


Atribuímos a u o seguinte valor:

$$x^{2}.$$ 

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(x^{2})}{dx}= 2x.$$

Substituiremos, dessa vez, o valor de u (x2) e de du/dx (2x) na fórmula (II):

 $$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{\frac{du}{dx}}{u}= \frac{u'}{u}\cdot$$

Portanto, obteremos:

$$ \frac{d(ln (x^{2}))}{dx}= \frac{2x}{ x^{2}}= \frac{2}{x}\cdot$$

5º) Derive a seguinte função: f(x) = y = ln (x2 + 3).


Atribuímos a u o seguinte valor:

$$x^{2}+3.$$ 

Portanto,

$$f(x) = y=ln (u).$$

Para resolver o problema, podemos também usar diretamente a fórmula da regra da cadeia:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\cdot$$

Substituiremos os valores atribuídos a y e a u na regra para obtermos as suas respectivas derivadas:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{d[ln (u)]}{du}\frac{d[x^{2}+3]}{dx}=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{u}=\frac{2x}{x^{2}+3}\cdot$$

Portanto,

$$ \frac{d[ln(x^{2}+3)]}{dx}= \frac{u'}{u}= \frac {2x}{x^{2}+3}\cdot $$

Derive as seguinte funções:

  • f(x) = ln(2x + 1).
  • f(x) = ln(2x/3).
  • f(x) = ln (x10).
  • f(x) = y = ln (x5 + 2).
Bons estudos.

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