A derivada da função logarítmica natural

No século XVII o escocês Jonh Napier criou o conceito de logaritmo. A palavra “logaritmo” é originada dos termos gregos “lógos” e “arithmós” que significam, respectivamente, razão e número. O logaritmo de um número é o expoente a que a base, deve ser elevado para produzir este número. As ideias de Napier fundamentou a criação do número de Euler (e). A atual noção de logaritmo é oriunda de Leonhard Euler, que o relacionou com a função exponencial no século XVIII.

A função logarítmica natural é abreviada por ln(x) e chamada de logaritmo natural de x. Geralmente são utilizadas as notações ln(x) para significar log_e(x), significando o logaritmo natural de x. Portanto, em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo da seguinte maneira: log_e(x) = ln(x). A base e é um número irracional que equivale aproximadamente 2,718. Não existe logaritmo natural de zero ou de números negativos. Observação: para designar o logaritmo de x na base 10, escreve-se log₁₀(x) ou log(x). No link a seguir você pode aprender mais sobre os logaritmos:

Introdução aos logaritmos - Aprenda o que são logaritmos e como calculá-los.

Regra para derivar uma função logarítmica natural

Por definição, a derivada da função logarítmica natural f(x) = ln(x) equivale a f’(x) = 1/x e dado a função f(x) = ln(u), sua derivada será f'(x) = u'/u. Sendo a função logarítmica de base a,  f(x) = log_a(x), sua derivada será equivalente a  f’(x) = 1/(x . lna). 

1º) Derive a função de logaritmo natural  f(x) = ln(x).

A derivada de

é definida como

Portanto, a derivada da função natural ln(x) equivale a 1/x, sendo que x > 0.

2º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x + 2).

Para resolver o problema podemos usar a fórmula (I):

Ou podemos, também, usar a fórmula (II) semelhante:

Em ambas as fórmulas, oriundas da Regra da Cadeia, é exigido que u > 0.

Para resolver o problema, atribuímos a u o seguinte valor:

 

Derivando a expressão acima em relação a x:

Substituindo o valor de u (4x + 2) e de du/dx (4) na fórmula (I), obteremos:

Podemos simplificar o resultado, dividindo o numerador e o denominador por 4 e obter

3º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x/7).

Atribuímos a u o seguinte valor:

Derivando a expressão acima em relação a x:

Substituindo o valor de u (4x/7) e de du/dx (4/7) na fórmula (I), obteremos:

4º) Derive a seguinte função: f(x) = ln (x²).

Atribuímos a u o seguinte valor:

 

Derivando a expressão acima em relação a x:

Substituiremos, dessa vez, o valor de u (x²) e de du/dx (2x) na fórmula (II):

 

Portanto, obteremos:

5º) Derive a seguinte função: f(x) = y = ln (x² + 3).

Atribuímos a u o seguinte valor:

 

Portanto,

Para resolver o problema, podemos também usar diretamente a fórmula da regra da cadeia:

Substituiremos os valores atribuídos a y e a u na regra para obtermos as suas respectivas derivadas:

Portanto,

Derive as seguinte funções:

• f(x) = ln(2x + 1).

• f(x) = ln(2x/3).

• f(x) = ln (x¹⁰).

• f(x) = y = ln (x⁵ + 2).

Bons estudos.