APLICAÇÕES DE DERIVADAS NA CINEMÁTICA - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Objetivos desta aula:

- Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas:

 DERIVADAS - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS;

DERIVADA DA SOMA - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS.

Obs: estas aulas estão postadas em CATEGORIAS: Derivadas para Física;

- Aplicar a definição de velocidade e aceleração;

- Calcular a velocidade de uma partícula através da derivação da equação horária;

- Calcular a aceleração de uma partícula através da derivação da equação da velocidade.

1) Uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem é dada, em função do tempo, pela equação:

$$s=4t+6t^{2}.$$

 a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t =1s.

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( 4t+6t^{2} \right) }{dt} =\frac{4dt}{dt} +\frac{12tdt}{dt}=4+12t.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 1s nesta relação, obtemos

$$v=4+12.1=16 m/s.$$

b) Calcular a aceleração, em unidades S.I., da partícula.

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( 4+12t \right) }{dt} =\frac{d(4)}{dt} +\frac{12dt}{dt} =0+12=12m/s^{2}.$$

2) Uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem é dada em função do tempo, pela equação:

$$s=2t+3t^{2}.$$

a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t =1s.

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( 2t+3t^{2} \right) }{dt} =\frac{2dt}{dt} +\frac{6tdt}{dt} =2+6t.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 1s nesta relação, obtemos

$$v=2+6.1=8 m/s.$$

b) Calcular a aceleração, em unidades S.I., da partícula.

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( 2+6t \right) }{dt} =\frac{d(2)}{dt} +\frac{6dt}{dt} =0+6=6m/s^{2}.$$

3) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária

$$s=t^{2}+t-2.$$

a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t = 2s.

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( t^{2}+t-2\right)}{dt}=\frac{2tdt}{dt}+\frac{dt}{dt}-\frac{d(2)}{dt}$$

$$=2t+1-0=2t+1.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 2s nesta relação, obtemos

$$v=2t+1=2.2+1=4+1=5m/s.$$

b) Calcular a aceleração da partícula em unidades S.I.

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( 2t+1)}{dt} =\frac{2dt}{dt} + \frac{d(1)}{dt} =2+0=2m/s^{2}.$$

4) Calcular a aceleração, em unidades S.I., de uma partícula no instante t = 5s sabendo que sua velocidade obedece à equação

$$v=2+3t+5t^{2}.$$

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left(2+3t+5t^{2} )}{dt} =\frac{d(2)}{dt} + \frac{3dt}{dt} + \frac{10tdt}{dt}$$

$$=0+3+10t=3+10t.$$

Substituindo t = 5s nesta relação, obtemos

$$a=3+10.5=3+50=53m/s^{2}.$$

5) Calcular no instante t = 3s a velocidade, em unidades S.I., de uma partícula que se move obedecendo à equação horária

$$s=\frac{1}{t}.$$

A equação acima pode ser escrita como:

$$s=t^{-1}.$$

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( t^{-1}\right) }{dt} =-1t^{-1-1} =-1t^{-2} =-\frac{1}{t^{2}}.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 3s nesta relação, obtemos

$$v=-\frac{1}{t^{2}}=-\frac{1}{3^{2}}=-\frac{1}{9}}m/s.$$

6) Calcular no instante t = 2s a aceleração, em unidades S.I., de uma partícula que se move em linha reta obedecendo à equação

$$v=\sqrt[3]{t}.$$

A equação acima pode ser escrita como:

$$v=t^{\frac{1}{3}}.$$

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( t^{\frac{1}{3}}\right) }{dt} =\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} -1} =\frac{1}{3} t^{\frac{-2}{3}}$$

$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1} {\sqrt[3]{t^{2}}}.$$

Substituindo t = 2s nesta relação, obtemos

$$a=\frac{1}{3}\cdot \frac{1} {\sqrt[3]{2^{2}}}= \frac{1} {3\sqrt[3]{2^{2}}}=\frac{1} {3\sqrt[3]{4}}m/s^{2}.$$