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6 de maio de 2010

APLICAÇÕES DE DERIVADAS NA CINEMÁTICA - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

cinemático
Objetivos desta aula:

- Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas:

 DERIVADAS - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS;

DERIVADA DA SOMA - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS.

Obs: estas aulas estão postadas em CATEGORIAS: Derivadas para Física;

- Aplicar a definição de velocidade e aceleração;

- Calcular a velocidade de uma partícula através da derivação da equação horária;

- Calcular a aceleração de uma partícula através da derivação da equação da velocidade.

1) Uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem é dada, em função do tempo, pela equação:

$$s=4t+6t^{2}.$$

 a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t =1s.

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$
Portanto,

$$v=\frac{d\left( 4t+6t^{2} \right) }{dt} =\frac{4dt}{dt} +\frac{12tdt}{dt}=4+12t.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 1s nesta relação, obtemos

$$v=4+12.1=16 m/s.$$

b) Calcular a aceleração, em unidades S.I., da partícula.

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( 4+12t \right) }{dt} =\frac{d(4)}{dt} +\frac{12dt}{dt} =0+12=12m/s^{2}.$$

2) Uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem é dada em função do tempo, pela equação:

$$s=2t+3t^{2}.$$

a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t =1s.

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( 2t+3t^{2} \right) }{dt} =\frac{2dt}{dt} +\frac{6tdt}{dt} =2+6t.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 1s nesta relação, obtemos

$$v=2+6.1=8 m/s.$$

b) Calcular a aceleração, em unidades S.I., da partícula.

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( 2+6t \right) }{dt} =\frac{d(2)}{dt} +\frac{6dt}{dt} =0+6=6m/s^{2}.$$

3) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária

$$s=t^{2}+t-2.$$

a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t = 2s.

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( t^{2}+t-2\right)}{dt}=\frac{2tdt}{dt}+\frac{dt}{dt}-\frac{d(2)}{dt}$$

$$=2t+1-0=2t+1.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 2s nesta relação, obtemos

$$v=2t+1=2.2+1=4+1=5m/s.$$

b) Calcular a aceleração da partícula em unidades S.I.

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( 2t+1)}{dt} =\frac{2dt}{dt} + \frac{d(1)}{dt} =2+0=2m/s^{2}.$$

4) Calcular a aceleração, em unidades S.I., de uma partícula no instante t = 5s sabendo que sua velocidade obedece à equação

$$v=2+3t+5t^{2}.$$

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left(2+3t+5t^{2} )}{dt} =\frac{d(2)}{dt} + \frac{3dt}{dt} + \frac{10tdt}{dt}$$

$$=0+3+10t=3+10t.$$

Substituindo t = 5s nesta relação, obtemos

$$a=3+10.5=3+50=53m/s^{2}.$$

5) Calcular no instante t = 3s a velocidade, em unidades S.I., de uma partícula que se move obedecendo à equação horária

$$s=\frac{1}{t}.$$
A equação acima pode ser escrita como:

$$s=t^{-1}.$$

De acordo com a definição de velocidade, temos que:

$$v=\frac{ds}{dt}.$$

Portanto,

$$v=\frac{d\left( t^{-1}\right) }{dt} =-1t^{-1-1} =-1t^{-2} =-\frac{1}{t^{2}}.$$

A relação acima fornece a velocidade em função do tempo. Substituindo t = 3s nesta relação, obtemos

$$v=-\frac{1}{t^{2}}=-\frac{1}{3^{2}}=-\frac{1}{9}}m/s.$$

6) Calcular no instante t = 2s a aceleração, em unidades S.I., de uma partícula que se move em linha reta obedecendo à equação

$$v=\sqrt[3]{t}.$$

A equação acima pode ser escrita como:

$$v=t^{\frac{1}{3}}.$$

De acordo com a definição de aceleração, temos que:

$$a=\frac{dv}{dt}.$$

Portanto,

$$a=\frac{d\left( t^{\frac{1}{3}}\right) }{dt} =\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} -1} =\frac{1}{3} t^{\frac{-2}{3}}$$

$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1} {\sqrt[3]{t^{2}}}.$$

Substituindo t = 2s nesta relação, obtemos

$$a=\frac{1}{3}\cdot \frac{1} {\sqrt[3]{2^{2}}}= \frac{1} {3\sqrt[3]{2^{2}}}=\frac{1} {3\sqrt[3]{4}}m/s^{2}.$$

6 comentários:

Anônimo disse...

legal, muito legal, obrigado por colaborar gratuitamente e honestamente, espero que receba o que merece.

Maah. disse...

Oi Elísio, faço Engenharia Elétrica na UESC, e não sei se é costume aí mas aqui na bahia começamos a ver derivada em Física I enquanto estamos vendo ainda limite em Cálculo 1, ou seja, sem nenhuma base para derivadas... Estava com algumas dúvidas mas esses exercícios me ajudaram! Obrigada.
Mariana Pinheiro

Antonio Manoel de Lima Neto disse...

Também estava tendo problemas aqui, pois estou vendo física I, sabendo apenas limites que vi de cálculo I (pouquíssimo de derivadas e nada de integral), esses exemplos foram muito úteis.
Faço Ciencia da computação, em Alagoas.

Antonio Manoel.

MARINA DEFENTE disse...

Oi Helisio ! adorei os exercícios resolvidos, voce tem lista deles para fazer sem respostas ??? faço cursinho para Med e seria ótimo saber devirar para a segunda fase dos vestibulares.

Elisio da Silva disse...

Olá Marina, acesse o meu portal http://www.cncexatas.com.br/ . Tem muita coisa legal lá. Falou! Sucesso e vitórias para você.

ADRIEL disse...

o que exatamente significa a variação infinitesimal representada por dy por exemplo?

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.

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