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27 de fevereiro de 2015

Aprenda a magnífica técnica de derivar um vetor

Produto interno
Antes de aprendermos a magnífica técnica de derivar um vetor em relação a uma dada variável é necessário que o aluno recorde alguns tópicos bem fáceis do Cálculo Vetorial. Tentaremos revisar esses tópicos de maneira bem interessante para que o aluno se sinta seguro em prosseguir neste interessante tema. Os assuntos tratados aqui, sobre vetores, não são novidades, apenas recordaremos algumas técnicas que os envolvem, pois com o passar do tempo o estudante, devido a outras atividades profissionais, pode esquecê-los.

Portanto, resumiremos sobre alguns tópicos importantes sobre vetores no espaço bidimensional e tridimensional, componentes escalares e vetoriais, vetores unitários ou versores, produto escalar ou produto interno. Depois, chegaremos na magnífica técnica de derivação de um vetor em relação a uma variável x e da derivação do produto escalar. No final do estudo são lançados e respondidos quatro questões para fixar mais o aprendizado do aluno sobre o tema.

Sabemos que os vetores são assuntos presentes em todos os estudos que envolvem as Ciências Exatas, por isso abra sua mente e tenha um profundo interesse e dedicação neste tema. Os leitores deste blog residentes no Brasil, Angola, Portugal, Índia, França, nas Américas e em toda a Europa que recebem estes estudos via e-mail não conseguirão ver as equações em um formato elegante, por isso precisam acessar as postagens pelos seus navegadores Firefox, IE, Chrome e outros. Bons estudos!

VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM DUAS DIMENSÕES


As figuras a seguir foram inseridas apenas para você visualizar e recordar sobre um vetor e suas componentes. Inicialmente, vamos considerar um vetor A, no espaço bidimensional, de acordo com a figura abaixo. O vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e componentes vetoriais, dadas por Axi e Ayj, que atuam nas direções positivas dos versores i e j. Os versores são vetores unitários e ortogonais. Possuem características interessantes de serem fixos no espaço e não variar com o tempo.

Vetores em 2D
Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é dada por

$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}.$$

VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM TRÊS DIMENSÕES


Agora, vamos considerar um vetor A, no espaço tridimensional, de acordo com a figura abaixo. Dessa vez, o  vetor A possui componentes escalares, dadas por  Ax e Ay e Ax e componentes vetoriais dadas por Axi, Ayj e Ayz. Observe que as componentes do vetor A também são atuantes nas direções positivas dos versores cartesianos unitários e positivos i, j, k.

Vetores 3D

Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é expressada por

$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}+A_{z}}{\hat{k}}.$$

O PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES


Já estamos um pouco familiarizados com o conceito de produto escalar ou produto interno entre dois vetores: obtemos um pequena noção sobre produto interno no estudo intitulado O Delta de Kronecker, a partir da página 2.

Para iniciarmos nosso trabalho com os vetores vamos optar por representá-los por duas letras gregas, no caso, pela letra alfa e por beta. Sabemos que o produto escalar é definido como:

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|cos\theta.$$

Igualando o ângulo a 0º, seu cosseno se igualará a 1 e a expressão acima torna-se

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|.$$

Vimos, de acordo com a última figura, que no sistema de coordenadas cartesianas os vetores podem ser especificados pelas suas respectivas componentes vetoriais, nesse caso, por:

$$\vec{\alpha} =\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k}$$

e por

$$\vec{\beta} =\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}.$$

PRODUTO ESCALAR EM FUNÇÃO DAS COMPONENTES VETORIAIS


O cálculo do produto escalar destes vetores em função das suas componentes pode ser efetuado da seguinte maneira:

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}).$$

Utilizando as seguintes propriedades dos versores

$$\hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$$

e

$$\hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=0,$$

podemos multiplicar cada termo das componentes vetoriais do vetor alfa

$$(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})$$

por cada termo das componentes vetoriais do vetor beta

$$(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}),$$

com o intuito de obter a expressão do produto interno como um número real (um escalar) e obtermos para o espaço tridimensional a seguinte expressão:

$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}+\alpha_{z}\beta_{z}.$$

E, para o espaço bidimensional, a relação acima se reduz a

$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}.$$

CÁLCULO DA DERIVADA DE UM VETOR


Dado um vetor

$$\vec{\alpha}=\alpha_{x}\vec{i}+\alpha_{y}\vec{j}++\alpha_{z}\vec{k},$$

sua derivada em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}+\frac{d\alpha_{z}}{dx}\vec{k}.$$

Para o espaço bidimensional a relação acima se reduz a

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}.$$

A seguir, vamos praticar o que aprendemos até aqui por meio de exercícios.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1


SetaDerive o seguinte vetor em relação a x:

$$\vec{\alpha}= 2x^{2}\vec{i}+x^{2}\vec{j}.$$

A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d(2x^{2}\vec{i}+{x^{2}\vec{j})}}{dx}=4x\vec{i}+2x\vec{j}.$$

SetaCalcule o valor desta derivada no ponto x = 1.

Basta substituir o x por 1 e temos que

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}= 4.1\vec{i}+2.1\vec{j} =4\vec{i}+2\vec{j}.$$

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2


SetaDerive o seguinte vetor em relação a x:

$$\vec{\beta}= 6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k}.$$

A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=\frac{d(6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k})}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}.$$

SetaCalcule o valor desta derivada no ponto x = 1.

Basta substituir o x por 1 e temos que

$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}=18\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}.$$

CÁLCULO DA DERIVADA DE UM PRODUTO ESCALAR


Já estudamos um pouco sobre a derivada do produto usando o método usual no estudo intitulado  Como calcular facilmente a derivada do produto. Pois bem, o método usual para a derivada do produto é análoga à da derivada de um produto escalar e pode ser obtida mediante a seguinte regra:

$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}$$

A seguir, vamos praticar o que aprendemos na teoria por meio de exercícios.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3


Seta
Considere os vetores

$$\vec{\alpha}= 2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}$$

e

$$\vec{\beta}= 3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}.$$

Derive o produto escalar entre esses vetores.

Aplicando a regra de derivação de um produto escalar, temos que

$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}.$$

Calculando a derivada do vetor alfa

$$\frac{{d\vec{\alpha}}}{dx}=2\vec{i}+4x\vec{j}.$$

Calculando a derivada do vetor beta

$$\frac{{d\vec{\beta}}}{dx}=6x\vec{i}+4x\vec{j}.$$

Substituindo esses valores na expressão da regra do produto interno, temos

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot \vec{\beta}.$$

Portanto,

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}) \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot (3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}),$$

equivale a:

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=18x^{2}-16x^{3}.$$

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4


SetaCalcule por outro método o produto escalar dos vetores do exercício anterior.

Podemos fazer esta operação do seguinte modo:

Inicialmente, fazer o produto escalar do vetor alfa com o vetor beta:

$$(\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j})(3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j})=6x^{3}-4x^{4}.$$

Depois, derivar o resultado em relação a x e encontraremos novamente o resultado

$$\frac{d(6x^{3}-4x^{4})}{dx}=18x^{2}-16x^{3}.$$

CONTINUE APRENDENDO


BulletViu como foi fácil derivar um vetor? Agora é sua vez de fazer a sua parte, repetindo os cálculos feitos por aqui no seu caderno, lendo mais nos livros didáticos ou na rede sobre vetores unitários, regras de derivação de vetores, componentes vetoriais e produto escalar. Espero que este estudo ajude você de alguma maneira. Se ajudou comente aí. Se você estiver gostando do meu trabalho, recomende-o para os colegas e amigos de escolas e de universidades. Obrigado pela paciência e sucesso para você.

2 comentários:

Unknown disse...

No exercício de fixação 2, quando o sr deriva a ultima parte -2x²K logo em baixo fica derivado como -2xK, neste caso para onde vai o ² do -2x? foi feito alguma regra?
Obrigado, excelente Blog, Ótimo trabalho

Elisio da Silva disse...

Olá, na verdade a expressão para derivar é a seguinte:

$$\vec{\beta}= 6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k}.$$.

Ajeitei lá. Muito agradecido.

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.

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