Antes de aprendermos a magnífica técnica de derivar um vetor em relação a uma dada variável é necessário que o aluno recorde alguns tópicos bem fáceis do Cálculo Vetorial. Tentaremos revisar esses tópicos de maneira bem interessante para que o aluno se sinta seguro em prosseguir neste interessante tema. Os assuntos tratados aqui, sobre vetores, não são novidades, apenas recordaremos algumas técnicas que os envolvem, pois com o passar do tempo o estudante, devido a outras atividades profissionais, pode esquecê-los.
Portanto, resumiremos sobre alguns tópicos importantes sobre vetores no espaço bidimensional e tridimensional, componentes escalares e vetoriais, vetores unitários ou versores, produto escalar ou produto interno. Depois, chegaremos na magnífica técnica de derivação de um vetor em relação a uma variável x e da derivação do produto escalar. No final do estudo são lançados e respondidos quatro questões para fixar mais o aprendizado do aluno sobre o tema.
Sabemos que os vetores são assuntos presentes em todos os estudos que envolvem as Ciências Exatas, por isso abra sua mente e tenha um profundo interesse e dedicação neste tema. Os leitores deste blog residentes no Brasil, Angola, Portugal, Índia, França, nas Américas e em toda a Europa que recebem estes estudos via e-mail não conseguirão ver as equações em um formato elegante, por isso precisam acessar as postagens pelos seus navegadores Firefox, IE, Chrome e outros. Bons estudos!
VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM DUAS DIMENSÕES
As figuras a seguir foram inseridas apenas para você visualizar e recordar sobre um vetor e suas componentes. Inicialmente, vamos considerar um vetor A, no espaço bidimensional, de acordo com a figura abaixo. O vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e componentes vetoriais, dadas por Axi e Ayj, que atuam nas direções positivas dos versores i e j. Os versores são vetores unitários e ortogonais. Possuem características interessantes de serem fixos no espaço e não variar com o tempo.
Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é dada por
VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM TRÊS DIMENSÕES
Agora, vamos considerar um vetor A, no espaço tridimensional, de acordo com a figura abaixo. Dessa vez, o vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e Ax e componentes vetoriais dadas por Axi, Ayj e Ayz. Observe que as componentes do vetor A também são atuantes nas direções positivas dos versores cartesianos unitários e positivos i, j, k.
Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é expressada por
O PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES
Já estamos um pouco familiarizados com o conceito de produto escalar ou produto interno entre dois vetores: obtemos um pequena noção sobre produto interno no estudo intitulado O Delta de Kronecker, a partir da página 2.
Para iniciarmos nosso trabalho com os vetores vamos optar por representá-los por duas letras gregas, no caso, pela letra alfa e por beta. Sabemos que o produto escalar é definido como:
Igualando o ângulo a 0º, seu cosseno se igualará a 1 e a expressão acima torna-se
Vimos, de acordo com a última figura, que no sistema de coordenadas cartesianas os vetores podem ser especificados pelas suas respectivas componentes vetoriais, nesse caso, por:
e por
PRODUTO ESCALAR EM FUNÇÃO DAS COMPONENTES VETORIAIS
O cálculo do produto escalar destes vetores em função das suas componentes pode ser efetuado da seguinte maneira:
Utilizando as seguintes propriedades dos versores
e
podemos multiplicar cada termo das componentes vetoriais do vetor alfa
por cada termo das componentes vetoriais do vetor beta
com o intuito de obter a expressão do produto interno como um número real (um escalar) e obtermos para o espaço tridimensional a seguinte expressão:
E, para o espaço bidimensional, a relação acima se reduz a
CÁLCULO DA DERIVADA DE UM VETOR
Dado um vetor
sua derivada em relação a variável x pode ser dada por:
Para o espaço bidimensional a relação acima se reduz a
A seguir, vamos praticar o que aprendemos até aqui por meio de exercícios.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1
Derive o seguinte vetor em relação a x:
A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:
Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.
Basta substituir o x por 1 e temos que
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2
Derive o seguinte vetor em relação a x:
A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:
Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.
Basta substituir o x por 1 e temos que
CÁLCULO DA DERIVADA DE UM PRODUTO ESCALAR
Já estudamos um pouco sobre a derivada do produto usando o método usual no estudo intitulado Como calcular facilmente a derivada do produto. Pois bem, o método usual para a derivada do produto é análoga à da derivada de um produto escalar e pode ser obtida mediante a seguinte regra:
A seguir, vamos praticar o que aprendemos na teoria por meio de exercícios.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3
Considere os vetores
e
Derive o produto escalar entre esses vetores.
Aplicando a regra de derivação de um produto escalar, temos que
Calculando a derivada do vetor alfa
Calculando a derivada do vetor beta
Substituindo esses valores na expressão da regra do produto interno, temos
Portanto,
equivale a:
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4
Calcule por outro método o produto escalar dos vetores do exercício anterior.
Podemos fazer esta operação do seguinte modo:
Inicialmente, fazer o produto escalar do vetor alfa com o vetor beta:
Depois, derivar o resultado em relação a x e encontraremos novamente o resultado
CONTINUE APRENDENDO
Viu como foi fácil derivar um vetor? Agora é sua vez de fazer a sua parte, repetindo os cálculos feitos por aqui no seu caderno, lendo mais nos livros didáticos ou na rede sobre vetores unitários, regras de derivação de vetores, componentes vetoriais e produto escalar. Espero que este estudo ajude você de alguma maneira. Se ajudou comente aí. Se você estiver gostando do meu trabalho, recomende-o para os colegas e amigos de escolas e de universidades. Obrigado pela paciência e sucesso para você.
2 comentários:
No exercício de fixação 2, quando o sr deriva a ultima parte -2x²K logo em baixo fica derivado como -2xK, neste caso para onde vai o ² do -2x? foi feito alguma regra?
Obrigado, excelente Blog, Ótimo trabalho
Olá, na verdade a expressão para derivar é a seguinte:
.
Ajeitei lá. Muito agradecido.
Gostou do estudo? Comente abaixo.
No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.
Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.
Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!
Atenciosamente,
Elísio.