DERIVADAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Objetivos desta aula:

* Calcular a derivada de uma função constante;

* Calcular a derivada de potências com expoentes inteiros negativos;

* Calcular a derivada de potências com expoentes inteiros positivos.

A DERIVADA DE UMA CONSTANTE

Se f(x) é igual a uma constante c, sendo c pertecente ao conjunto dos números reais, sua derivada é igual a zero. Em outras palavras: a derivada de um número real é igual a zero.

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


a) $$f(x) =2$$

Esta função pode ser escrita como

$$y =2.$$

Obs:  f(x) = y = 2 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

$$f'(y)=f'(2)=0.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(2)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$

b) $$f(x) =100$$

Esta função constante (número) pode ser escrita como

$$y =100.$$

Obs: f(x) = y = 100 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

$$f'(y)=f'(100)=0.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(100)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$

c) $$f(x) =-40$$

Esta função constante (número) pode ser escrita como

$$y =-40.$$

Obs: f(x) = y = -40 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

$$f'(y)=f'(-40)=0.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

 na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(-40)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$

Não esqueça: a derivada de um número real é igual a zero.

A DERIVADA DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS NEGATIVOS

Regra:

Se

$$f(x) =x^{-n},$$

onde -n é um número inteiro negativo e x é diferente de zero, então

$$f'(x) =-n.x^{-n-1}.$$

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


d) $$f(x) = \frac{3}{x^{5}}$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = \frac{3}{x^{5}}$$

ou da forma

$$y = \frac{3}{x^{5}}=3.x^{-5}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(3.x^{-5}.)=3.(-5.x^{-5-1})=-15.x^{-6}=-\frac{15}{x^{6}}.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(3.x^{-5})}}{\mathrm{d} x}}=3.(-5.x^{-5-1}).$$

Portanto,

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=3.(-5.x^{-6})=-15.x^{-6}=-\frac{15}{x^{6}}.$$

e) $$f(x) = \frac{1}{x^{3}}$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = \frac{1}{x^{3}}$$

ou da forma

$$y = \frac{1}{x^{3}}=1.x^{-3}=x^{-3}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(x^{-3})=-3.x^{-3-1}=-3.x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{-3})}}{\mathrm{d} x}}=-3.x^{-3-1}=-3.x^{-4}=-3.\frac{1}{x^{4}} =-\frac{3}{x^{4}}.$$

A DERIVADA DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

Regra:

Se

$$f(x) =x^{n},$$

onde n é um número inteiro positivo e x é diferente de zero, então

$$f'(x) =n.x^{n-1}.$$

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


f) $$f(x) = 8x^{11}$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = 8x^{11}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(8x^{11} )=8.(11.x^{11-1})=88x^{10}.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(8x^{11} )}}{\mathrm{d} x}}=8(11x^{11-1})=88x^{10}.$$

g) $$f(x) = \sqrt{x}$$

Esta função pode ser escrita como

$$y = \sqrt{x}$$

ou da forma

$$y = x^{\frac{1}{2}}.$$

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

$$f'(y)=f'(x^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1} =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x} } =\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

$$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}}$$

na função y. Assim:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{\frac{1}{2}}}) }{\mathrm{d}x}}.$$

Resolvendo a expressão acima, temos:

$$\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{\frac{1}{2}}}) }{\mathrm{d} x}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1} =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x} } =\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Por hoje é só. Espero que tenham gostado.