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terça-feira, 4 de maio de 2010

DERIVADAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Objetivos desta aula:

* Calcular a derivada de uma função constante;

* Calcular a derivada de potências com expoentes inteiros negativos;

* Calcular a derivada de potências com expoentes inteiros positivos.

A DERIVADA DE UMA CONSTANTE

Se f(x) é igual a uma constante c, sendo c pertecente ao conjunto dos números reais, sua derivada é igual a zero. Em outras palavras: a derivada de um número real é igual a zero.

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


a) $$f(x) =2$$

    Esta função pode ser escrita como

    $$y =2.$$

    Obs:  f(x) = y = 2 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

    $$f'(y)=f'(2)=0.$$

    Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

    $$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

    na função y. Assim:

    $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(2)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$


    b) $$f(x) =100$$

      Esta função constante (número) pode ser escrita como

      $$y =100.$$

      Obs: f(x) = y = 100 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

      $$f'(y)=f'(100)=0.$$

      Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

      $$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

      na função y. Assim:

      $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(100)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$


      c) $$f(x) =-40$$

        Esta função constante (número) pode ser escrita como

        $$y =-40.$$

        Obs: f(x) = y = -40 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

        $$f'(y)=f'(-40)=0.$$

        Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

        $$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
         na função y. Assim:

        $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(-40)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$

        Não esqueça: a derivada de um número real é igual a zero.

        A DERIVADA DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS NEGATIVOS

        Regra:

        Se

        $$f(x) =x^{-n},$$

        onde -n é um número inteiro negativo e x é diferente de zero, então

        $$f'(x) =-n.x^{-n-1}.$$

        Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


        d) $$f(x) = \frac{3}{x^{5}}$$

          Esta função pode ser escrita como

          $$y = \frac{3}{x^{5}}$$

          ou da forma

          $$y = \frac{3}{x^{5}}=3.x^{-5}.$$

          Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

          $$f'(y)=f'(3.x^{-5}.)=3.(-5.x^{-5-1})=-15.x^{-6}=-\frac{15}{x^{6}}.$$

          Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

          $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}}$$

          na função y. Assim:

          $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(3.x^{-5})}}{\mathrm{d} x}}=3.(-5.x^{-5-1}).$$

          Portanto,

          $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=3.(-5.x^{-6})=-15.x^{-6}=-\frac{15}{x^{6}}.$$


          e) $$f(x) = \frac{1}{x^{3}}$$

            Esta função pode ser escrita como

            $$y = \frac{1}{x^{3}}$$

            ou da forma

            $$y = \frac{1}{x^{3}}=1.x^{-3}=x^{-3}.$$

            Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

            $$f'(y)=f'(x^{-3})=-3.x^{-3-1}=-3.x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}.$$

            Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

            $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$$

            na função y. Assim:

            $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{-3})}}{\mathrm{d} x}}=-3.x^{-3-1}=-3.x^{-4}=-3.\frac{1}{x^{4}} =-\frac{3}{x^{4}}.$$

            A DERIVADA DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

            Regra:

            Se

            $$f(x) =x^{n},$$

            onde n é um número inteiro positivo e x é diferente de zero, então

            $$f'(x) =n.x^{n-1}.$$

            Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


            f) $$f(x) = 8x^{11}$$

              Esta função pode ser escrita como

              $$y = 8x^{11}.$$

              Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

              $$f'(y)=f'(8x^{11} )=8.(11.x^{11-1})=88x^{10}.$$

              Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

              $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$$

              na função y. Assim:

              $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(8x^{11} )}}{\mathrm{d} x}}=8(11x^{11-1})=88x^{10}.$$


              g) $$f(x) = \sqrt{x}$$

                Esta função pode ser escrita como

                $$y = \sqrt{x}$$

                ou da forma

                $$y = x^{\frac{1}{2}}.$$

                Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

                $$f'(y)=f'(x^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1} =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x} } =\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

                Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

                $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}}$$

                na função y. Assim:

                $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{\frac{1}{2}}}) }{\mathrm{d}x}}.$$

                Resolvendo a expressão acima, temos:

                $$\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{\frac{1}{2}}}) }{\mathrm{d} x}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1} =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x} } =\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

                Por hoje é só. Espero que tenham gostado.

                SOBRE A APOSTILA DE DERIVADAS ➠ A pedido de vários alunos, iniciantes de cursos superiores, finalmente estou elaborando um e-book (apostila) em pdf com vários exercícios resolvidos sobre técnicas de derivação. Eu digito pela madrugada, onde reina a tranquilidade, porém, a digitação é um pouco cansativa, mas vou conseguir terminar a apostila. Quando entrei na universidade não sabia nada de derivadas e nem da matemática básica necessária para aprender derivadas. Chegava do trabalho cansado e entendia bem pouco. Porém, nas universidades não é observado essa parte (se aluno trabalha ou não - eles querem é passar conteúdo para poder terminar sua carga horária). Mas, com o passar do tempo e muito esforço consegui aprender alguma coisa e quero passar para vocês. A linguagem é bem simples, semelhante à linguagem desta postagem, clara e sem arrodeios, na linguagem do aluno e tudo passo-a-passo. O público-alvo: estudantes iniciantes das áreas exatas, engenharia civil, ambiental, elétrica, Física, Química, MTM, MBA, áreas humanas, enfim, todos os cursos superiores que precisam de Cálculo I. Destinados a esses alunos que dispõem de pouco tempo para decifrar aqueles livros grossos de Cálculo, pois suas atividades profissionais lhes exigem muito tempo e trabalham duramente. A falta da matemática básica também é um forte obstáculo para o aprendizado sobre derivadas - mas, vamos também tratar essa situação na apostila. Se você tem boa vontade, certamente vai aprender o assunto. Então, se você tiver interesse em adquirir a apostila, escreva-me (elisiofisico1@gmail.com). Além da apostila gostaria de passar outros materiais para você. Já consegui digitar (no Latex) 23 folhas. O e-book terá mais ou menos 100 páginas e tem um pequeno preço. 11/out/2011. Elísio.

                No nosso curso básico sobre derivadas você tem os conteúdos do Ebook. Acessando o curso, não o perca de vista, por isso, subscreva seu e-mail lá no site e também, se possível, no google friends. Para acessá-lo é só clicar em CURSO BÁSICO SOBRE DERIVADAS. Se tal curso ajudar você, diga como, ou seja, comente. Sabia que, os seus comentários podem ajudar muitos colegas seus de variadas instituições de ensino? Portanto, aproveite o curso. Até o momento já estamos na 3ª aula. Bons estudos! 30/jan/2012. Elísio.

                55 comentários:

                Artur disse...

                É um bom trabalho, ajuda muito.

                Carlos Vinicius disse...

                muito bom! tem como me mandar isso como pdf ou doc pra eu imprimir? valeu!

                Moacir disse...

                Show o site, parabéns.

                Anônimo disse...

                OBRIGADO PROF
                ESTAVA PRECISANDO DE UMA ABORDAGEM MAIS TRANQUILA E DE BOA COMPREENSÃO
                PARABÉNS
                SUCESSO

                BRUNO- ECONOMIA UFPA

                tah lopes disse...

                salvou a minha vidaaa.. muito obrigada. haha . otimo profissional, parabéns (: bjbj

                kellyta disse...

                Obrigada, ajudou bastante essas explicações!
                otimo trabalho!

                Bia disse...

                Um ótimo trabalho, com lista de calculo pra fazer e prova chegando, o site caiu como uma luva. ajudou muuuuuito mesmo
                Obrigada,
                Bianca - Eng. Elétrica - UFU

                Anônimo disse...

                Excelente material, bem didático.
                Parabéns

                Leandro disse...

                Vlw Cara ^^
                muito bom Prof =D

                Obrigado pela materia ! me ajudou D+++ agoraaaa !!

                Leandro - Eng. Civil e Ambiental - Univale

                Anônimo disse...

                Muito Bom, foi muito bem organizado o conteudo e de muito valor pra mim.

                Filipe - MBA Business School São Paulo

                Anônimo disse...

                Meu deus.. mt bom.. continue pondo mais tópicos .. adorei...

                Anônimo disse...

                Ótimo!!!!!!!!! Me ajudou bastante

                Anônimo disse...

                Muito bom mesmo,se 1/3 dos professores fizessem estes exercicios,os alunos com certeza não teriam tantas dificuldades.Parabéns,você realmente é professor.Obrigada.

                Hades disse...

                Gostei vlw me salvo da recu recu te agradeço porisso..

                Bruno Freixo disse...

                excelente!
                posta aí usando a regra da cadeia, professor!
                mto obrigado, show!!!

                Anônimo disse...

                Regra da cadeia na sua didatica seria interessante, poste ai.
                Parabens gostei muito.

                Gustavo disse...

                Os livros de matematica e fisica deveriam utilizar uma linguagem tão simples como essa utilizada por vc, sem tanta teoria e palavriados dificeis para interpretar, o simples e facil e o que e facil se torna gostozo de aprender. PARABENS PELA INICIATIVA.

                Bruna Dias disse...

                conteúdo muito importante. parabéns!

                Anônimo disse...

                mto bom....
                conteudo simple e facil de entender..

                Anônimo disse...

                Parabens Professor, conteúdo colocado de forma simples e prática quebrou um galho.

                Anônimo disse...

                Parabéns! entendi direitinho como fazer aplicação de derivada. Otimo

                Anônimo disse...

                parabéns pela explicação!!!!!!!!!!

                Paulinha disse...

                nossa adorei, estava precisando muito dessa ajuda,parabéns pelo o blog!!!!!!valeu

                Taticano disse...

                parabéns, marcio itajai

                ronaldorafael_ disse...

                muito bom o site ,consegui tirar varias duvidas...

                Anônimo disse...

                essas explicações foi de muita ajuda...brigaduu

                Anônimo disse...

                Parabens professor, tem pessoas que nascem com o dom de ensinar. Sergio Marcelino - PE

                Anônimo disse...

                parabens professor! admirei a forma do senhor explicar detalhe por detalhe!! valeu praf abraço. marcio engenharia unip 2011

                Anônimo disse...

                obrigado pela ajuda !!!!!!
                que Deus te ilumine cada dia mais

                Anônimo disse...

                Sou mais uma nessa lista!
                Adorei o trabalho.
                Parabéns
                "Netinha" - MG

                Anônimo disse...

                Oi,bom dia, faço eng civil na umc de mogi das cruzes e estou com dificuldades em derivadas. Adorei sua materia, teria como vc me enviar por email para que imprimir e estudar? tenho prova na proxima terça.
                luluzinha_0812@hotmail.com

                Obrigada

                Elísio Físico disse...

                Olá luluzinha. Enviei o estudo para seu e-mail. Boa sorte!

                Anônimo disse...

                Valeuu! muito bom o seu trabalho. Quando lançar o seu livro nos informe! rsrs

                Anônimo disse...

                EVERTOM muitom bom valeu

                Anônimo disse...

                Parabéns pelo site. Ajudou muito. Obrigada.
                Isabella. ECONOMIA UNB

                Lynckonl disse...

                nós como futuros engenheiros, dependemos muito de muita informação, e cada livro entendido, cada site visitado e compreendido, nos facilita a resolver problemas do cotidiano, tudo que envolve o dia a dia dos brasileiros, querendo ou nao, envolve engenheiros, a casa que voce mora, o carro, a moto, o onibus, a biciceta que anda, são projetados por egenheiros. a luz e agua que voce consome, tambem. por isso agradecemos por tudo que existe no mundo para formar novos engenheiros. Obrigado Lynckonl Marques Sales. Joinville - SC

                Edilson disse...

                EDILSON ALMEIDA - CUIABA MT > EXCELENTE MATERIAL, SOU CONTADOR E NAO SABIA NADA DE CALC. I, E ME AJUDOU PELA SIMPLICIDADE E CLAREZA.

                GENIVALDO JÚNIOR disse...

                BOM DIA! GOSTARIA DE SABER MELHOR COMO FAÇO PRA CALCULAR log E ln EM DERIVADAS DO CALCULO 1.

                Anônimo disse...

                Bom Dia, teria como me enviar essa apostila ?

                e-mail é bruuno.carnielli@hotmail.com

                Tenho uma prova de derivadas essa semana =(

                Anônimo disse...

                gostaria de receber a apostila

                e-mail bruuno.arnielli@hotmail.com

                Daiana , disse...

                nossa, muito bom ,e me AJUDOU muuito mesmo .
                parabéns ,

                Shanaylla disse...

                Estava estudando expansão de Taylor e acabei relembrando de verdade! O que aluno precisa é de exemplo numérico! Obs.: não encontrei EDO's por expansão mas valeu a pena. Obrigada professor
                Larissa- Rio de janeiro - UERJ larissapecis@hotmail.com

                Regina disse...

                Muito legal a maneira como explica cada questão, aprendi bastante.

                Anônimo disse...

                goatei tudo fica mais claro quando e explicado com clareza

                Juci disse...

                Muito bom! Explicação simples e direta. É o que eu preciso! Parabéns!

                Anônimo disse...

                Olá faço engenharia civil 1º período e estou precisando de ajuda você pode me mandar por email assuntos de cálculo 1 e física 1 até.
                email: arley_felype@hotmail.com

                Débora disse...

                SOU ESTUDANTE DE QUÍMICA
                calculo I é bem complexo, exige mesmo do aluno. prof Elísio seu conteúdo me ajudou muito por não ter tanta teoria e ser direto, sem rodeios, muito bom mesmo, gostaria muito de o ter como meu prof. rs
                parabens !
                tudo de bom :)

                Alex Santos disse...

                Obrigado pela ajuda, com esse material consegui entender a matéria, bom seria se nossos professores tivessem a mesma didática utilizada no material acima.

                Alex Santos - Economia UFSM

                Gafanhoto disse...

                Parabéns pelo trabalho, os assuntos abordados que muito me ajudou e ao esforço que fez para chegar até onde chegou. Sei que não vai parar por aí. Boa sorte.

                Sérgio - Física (Licenciatura) IFRO.

                Daniele Santos disse...

                Obrigada! Sou estudante de eng° Civil e estou completamente perdida. mas esta me ajudando muito

                Nerd em ação disse...

                Ajudou bastante agora é só fazer a prova...
                Engenharia de biosistemas-USP

                Celio Ferraro Drigo disse...

                Celio Drigo - Meus parabens -excelente material de estudo

                excluido disse...

                Boa Noite .
                Será que você pode me ajudar a derivar essas duas funções.
                E que tem tanto tempo que eu estudei isso que não me lembro, se poder me ajudar agradeço.
                as funções são:
                P= -0,3x +900 e a outra é Q= - T+ 8T
                OBS. esse primeiro - T é ao quadrado certo.

                Rodrigo Brunoro disse...

                Excelente! Parabéns!

                Ozeas de souza ramos disse...

                Muito bom. A melhor explicação que já tive.
                Sucesso

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                No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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                Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

                Atenciosamente,
                Elísio.