NÚMEROS COMPLEXOS POTÊNCIAS DE I - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Objetivos da aula sobre números complexos (potências de i):

* Estudar as potências de i;

* Operar potências de i;

* Determinar uma potência de i superior a 4;

* Calcular divisões com potências de i.

O matemático e engenheiro hidráulico italiano, Raffaeli Bombeli (1526-1573), escreveu seu tratado de Álgebra por volta de 1550, publicou sua primeira edição em 1572 e a segunda em 1579.

Raffaeli Bombeli (1526-1573), matemático e engenheiro hidráulico italiano.

Figura - Créditos ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

São obras fundamentais para a história da matemática e em particular para a história da álgebra e geometria. Nestas obras o matemático também trata sobre raízes quadradas de números negativos e conjuntos dos números complexos.

Tratato de Álgebra sobre números complexos escrito por Raffaeli Bombeli.

Figura - Créditos ao site: http://mathematica.sns.it

Para resolvermos os exercícios desta aula, sobre números complexos (potências de i), temos que saber apenas que

a) $$i^{0} = 1.$$

b) $$i^{1} = i.$$

c) $$i^{2} = i.i = -1.$$

d) $$i^{3}= i^{2}.i = (-1)i = -i.$$

e) $$i^{4}= i^{2}.i^{2} = -1(-1) =1.$$

Para determinar uma potência de i superior a 4, você deve dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas o i elevado ao resto dessa divisão. Exemplos:

Calcule

1) $$i^{13}$$

13 é maior do que 4. Dividindo 13 por 4 resulta 3 e resto 1. Vamos considerar apenas o resto 1. Sabemos que

$$i^{1}=i.$$

Assim,

$$i^{13}=i^{1}=i.$$

2) $$i^{123}$$

123 é maior do que 4. Dividindo 123 por 4 resulta 30 e resto 3. Vamos considerar apenas o resto 3. Sabemos que

$$i^{3}=i^{2}.i=(-1).i=-i.$$

Assim,

$$i^{123}=i^{3} =-i.$$

3) $$i^{100}$$

100 é maior do que 4. Dividindo 100 por 4 resulta 25 e resto 0. Vamos considerar apenas o resto 0. Sabemos que

$$i^{0} =1.$$

Assim,

$$i^{100}=i^{0} =1.$$

4) $$i^{243}$$

243 é maior do que 4. Dividindo 243 por 4 resulta 60 e resto 3. Vamos considerar apenas o resto 3. Sabemos que

$$i^{3} =i^{2}.i=(-1).i=-i.$$

Assim,

$$i^{243}=i^{3}=-i.$$

5) $$i^{28}$$

28 é maior do que 4. Dividindo 28 por 4 resulta 7 e resto 0. Vamos considerar apenas o resto 0. Sabemos que

$$i^{0}=1.$$

Assim,

$$i^{28}=i^{0}=1.$$

5) $$i^{10}$$

10 é maior do que 4. Dividindo 10 por 4 resulta 2 e resto 2. Vamos considerar apenas o resto 2. Sabemos que

$$i^{2}=-1.$$

Assim,

$$i^{10}=i^{2}=-1.$$

6) $$i^{100}-i^{200}$$

100 é maior do que 4. Dividindo 100 por 4 resulta 25 e resto 0. Vamos considerar apenas o resto 0. Sabemos que

$$i^{0}=1.$$

Assim,

$$i^{100}=i^{0}=1.$$

200 é maior do que 4. Dividindo 200 por 4 resulta 50 e resto 0. Vamos considerar apenas o resto 0. Sabemos que

$$i^{0}=1.$$

Assim,

$$i^{200}=i^{0}=1.$$

Portanto,

$$i^{100}-i^{200}=i^{0}-i^{0}=1-1=0.$$

7) Use os macetes das questões anteriores e resolva no caderno os seguintes itens:

a) $$\frac{i^{33}-i^{100}}{i^{12}}$$

$$\frac{i^{33}-i^{100}}{i^{12}}=\frac{i-1}{1} =i-1=-1+i.$$

b) $$\frac{i^{31}-i^{110}}{i^{13}}$$

$$\frac{i^{31}- i^{110}}{i^{13}}=\frac{i^{3}-i^{2}}{i}=\frac{-i+1}{-i}.\left( \frac{-i}{-i} \right)=\frac{-1-i}{-1}=1+i.$$