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4 de maio de 2010

DERIVADAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Objetivos desta aula:

* Calcular a derivada de uma função constante;

* Calcular a derivada de potências com expoentes inteiros negativos;

* Calcular a derivada de potências com expoentes inteiros positivos.

A DERIVADA DE UMA CONSTANTE

Se f(x) é igual a uma constante c, sendo c pertecente ao conjunto dos números reais, sua derivada é igual a zero. Em outras palavras: a derivada de um número real é igual a zero.

Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


a) $$f(x) =2$$

    Esta função pode ser escrita como

    $$y =2.$$

    Obs:  f(x) = y = 2 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

    $$f'(y)=f'(2)=0.$$

    Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

    $$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

    na função y. Assim:

    $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(2)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$


    b) $$f(x) =100$$

      Esta função constante (número) pode ser escrita como

      $$y =100.$$

      Obs: f(x) = y = 100 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

      $$f'(y)=f'(100)=0.$$

      Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

      $$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$

      na função y. Assim:

      $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(100)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$


      c) $$f(x) =-40$$

        Esta função constante (número) pode ser escrita como

        $$y =-40.$$

        Obs: f(x) = y = -40 é igual a uma constante (um número), portanto sua derivada é igual a zero, ou seja,

        $$f'(y)=f'(-40)=0.$$

        Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

        $$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
         na função y. Assim:

        $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(-40)} }{\mathrm{d} x}}=0.$$

        Não esqueça: a derivada de um número real é igual a zero.

        A DERIVADA DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS NEGATIVOS

        Regra:

        Se

        $$f(x) =x^{-n},$$

        onde -n é um número inteiro negativo e x é diferente de zero, então

        $$f'(x) =-n.x^{-n-1}.$$

        Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


        d) $$f(x) = \frac{3}{x^{5}}$$

          Esta função pode ser escrita como

          $$y = \frac{3}{x^{5}}$$

          ou da forma

          $$y = \frac{3}{x^{5}}=3.x^{-5}.$$

          Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

          $$f'(y)=f'(3.x^{-5}.)=3.(-5.x^{-5-1})=-15.x^{-6}=-\frac{15}{x^{6}}.$$

          Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

          $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}}$$

          na função y. Assim:

          $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(3.x^{-5})}}{\mathrm{d} x}}=3.(-5.x^{-5-1}).$$

          Portanto,

          $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=3.(-5.x^{-6})=-15.x^{-6}=-\frac{15}{x^{6}}.$$


          e) $$f(x) = \frac{1}{x^{3}}$$

            Esta função pode ser escrita como

            $$y = \frac{1}{x^{3}}$$

            ou da forma

            $$y = \frac{1}{x^{3}}=1.x^{-3}=x^{-3}.$$

            Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

            $$f'(y)=f'(x^{-3})=-3.x^{-3-1}=-3.x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}.$$

            Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

            $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$$

            na função y. Assim:

            $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{-3})}}{\mathrm{d} x}}=-3.x^{-3-1}=-3.x^{-4}=-3.\frac{1}{x^{4}} =-\frac{3}{x^{4}}.$$

            A DERIVADA DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

            Regra:

            Se

            $$f(x) =x^{n},$$

            onde n é um número inteiro positivo e x é diferente de zero, então

            $$f'(x) =n.x^{n-1}.$$

            Vamos à prática. Derive as seguinte funções:


            f) $$f(x) = 8x^{11}$$

              Esta função pode ser escrita como

              $$y = 8x^{11}.$$

              Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

              $$f'(y)=f'(8x^{11} )=8.(11.x^{11-1})=88x^{10}.$$

              Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

              $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$$

              na função y. Assim:

              $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(8x^{11} )}}{\mathrm{d} x}}=8(11x^{11-1})=88x^{10}.$$


              g) $$f(x) = \sqrt{x}$$

                Esta função pode ser escrita como

                $$y = \sqrt{x}$$

                ou da forma

                $$y = x^{\frac{1}{2}}.$$

                Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

                $$f'(y)=f'(x^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1} =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x} } =\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

                Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador

                $$\mathit{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}}$$

                na função y. Assim:

                $$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{\frac{1}{2}}}) }{\mathrm{d}x}}.$$

                Resolvendo a expressão acima, temos:

                $$\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{\frac{1}{2}}}) }{\mathrm{d} x}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1} =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x} } =\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

                Por hoje é só. Espero que tenham gostado.

                57 comentários:

                Artur disse...

                É um bom trabalho, ajuda muito.

                Unknown disse...

                muito bom! tem como me mandar isso como pdf ou doc pra eu imprimir? valeu!

                Unknown disse...

                Show o site, parabéns.

                Anônimo disse...

                OBRIGADO PROF
                ESTAVA PRECISANDO DE UMA ABORDAGEM MAIS TRANQUILA E DE BOA COMPREENSÃO
                PARABÉNS
                SUCESSO

                BRUNO- ECONOMIA UFPA

                tah lopes disse...

                salvou a minha vidaaa.. muito obrigada. haha . otimo profissional, parabéns (: bjbj

                Unknown disse...

                Obrigada, ajudou bastante essas explicações!
                otimo trabalho!

                Bia disse...

                Um ótimo trabalho, com lista de calculo pra fazer e prova chegando, o site caiu como uma luva. ajudou muuuuuito mesmo
                Obrigada,
                Bianca - Eng. Elétrica - UFU

                Anônimo disse...

                Excelente material, bem didático.
                Parabéns

                Anônimo disse...

                Vlw Cara ^^
                muito bom Prof =D

                Obrigado pela materia ! me ajudou D+++ agoraaaa !!

                Leandro - Eng. Civil e Ambiental - Univale

                Anônimo disse...

                Muito Bom, foi muito bem organizado o conteudo e de muito valor pra mim.

                Filipe - MBA Business School São Paulo

                Anônimo disse...

                Meu deus.. mt bom.. continue pondo mais tópicos .. adorei...

                Anônimo disse...

                Ótimo!!!!!!!!! Me ajudou bastante

                Anônimo disse...

                Muito bom mesmo,se 1/3 dos professores fizessem estes exercicios,os alunos com certeza não teriam tantas dificuldades.Parabéns,você realmente é professor.Obrigada.

                Hades disse...

                Gostei vlw me salvo da recu recu te agradeço porisso..

                Bruno Freixo disse...

                excelente!
                posta aí usando a regra da cadeia, professor!
                mto obrigado, show!!!

                Anônimo disse...

                Regra da cadeia na sua didatica seria interessante, poste ai.
                Parabens gostei muito.

                Gustavo disse...

                Os livros de matematica e fisica deveriam utilizar uma linguagem tão simples como essa utilizada por vc, sem tanta teoria e palavriados dificeis para interpretar, o simples e facil e o que e facil se torna gostozo de aprender. PARABENS PELA INICIATIVA.

                Bruna Dias disse...

                conteúdo muito importante. parabéns!

                Anônimo disse...

                mto bom....
                conteudo simple e facil de entender..

                Anônimo disse...

                Parabens Professor, conteúdo colocado de forma simples e prática quebrou um galho.

                Anônimo disse...

                Parabéns! entendi direitinho como fazer aplicação de derivada. Otimo

                Anônimo disse...

                parabéns pela explicação!!!!!!!!!!

                Paulinha disse...

                nossa adorei, estava precisando muito dessa ajuda,parabéns pelo o blog!!!!!!valeu

                Taticano disse...

                parabéns, marcio itajai

                Anônimo disse...

                muito bom o site ,consegui tirar varias duvidas...

                Anônimo disse...

                essas explicações foi de muita ajuda...brigaduu

                Anônimo disse...

                Parabens professor, tem pessoas que nascem com o dom de ensinar. Sergio Marcelino - PE

                Anônimo disse...

                parabens professor! admirei a forma do senhor explicar detalhe por detalhe!! valeu praf abraço. marcio engenharia unip 2011

                Anônimo disse...

                obrigado pela ajuda !!!!!!
                que Deus te ilumine cada dia mais

                Anônimo disse...

                Sou mais uma nessa lista!
                Adorei o trabalho.
                Parabéns
                "Netinha" - MG

                Anônimo disse...

                Oi,bom dia, faço eng civil na umc de mogi das cruzes e estou com dificuldades em derivadas. Adorei sua materia, teria como vc me enviar por email para que imprimir e estudar? tenho prova na proxima terça.
                luluzinha_0812@hotmail.com

                Obrigada

                Elysium disse...

                Olá luluzinha. Enviei o estudo para seu e-mail. Boa sorte!

                Anônimo disse...

                Valeuu! muito bom o seu trabalho. Quando lançar o seu livro nos informe! rsrs

                Anônimo disse...

                EVERTOM muitom bom valeu

                Anônimo disse...

                Parabéns pelo site. Ajudou muito. Obrigada.
                Isabella. ECONOMIA UNB

                Anônimo disse...

                nós como futuros engenheiros, dependemos muito de muita informação, e cada livro entendido, cada site visitado e compreendido, nos facilita a resolver problemas do cotidiano, tudo que envolve o dia a dia dos brasileiros, querendo ou nao, envolve engenheiros, a casa que voce mora, o carro, a moto, o onibus, a biciceta que anda, são projetados por egenheiros. a luz e agua que voce consome, tambem. por isso agradecemos por tudo que existe no mundo para formar novos engenheiros. Obrigado Lynckonl Marques Sales. Joinville - SC

                Edilson disse...

                EDILSON ALMEIDA - CUIABA MT > EXCELENTE MATERIAL, SOU CONTADOR E NAO SABIA NADA DE CALC. I, E ME AJUDOU PELA SIMPLICIDADE E CLAREZA.

                GENIVALDO JÚNIOR disse...

                BOM DIA! GOSTARIA DE SABER MELHOR COMO FAÇO PRA CALCULAR log E ln EM DERIVADAS DO CALCULO 1.

                Anônimo disse...

                Bom Dia, teria como me enviar essa apostila ?

                e-mail é bruuno.carnielli@hotmail.com

                Tenho uma prova de derivadas essa semana =(

                Anônimo disse...

                gostaria de receber a apostila

                e-mail bruuno.arnielli@hotmail.com

                Daiana , disse...

                nossa, muito bom ,e me AJUDOU muuito mesmo .
                parabéns ,

                Shanaylla disse...

                Estava estudando expansão de Taylor e acabei relembrando de verdade! O que aluno precisa é de exemplo numérico! Obs.: não encontrei EDO's por expansão mas valeu a pena. Obrigada professor
                Larissa- Rio de janeiro - UERJ larissapecis@hotmail.com

                Regina disse...

                Muito legal a maneira como explica cada questão, aprendi bastante.

                Anônimo disse...

                goatei tudo fica mais claro quando e explicado com clareza

                Juci disse...

                Muito bom! Explicação simples e direta. É o que eu preciso! Parabéns!

                Anônimo disse...

                Olá faço engenharia civil 1º período e estou precisando de ajuda você pode me mandar por email assuntos de cálculo 1 e física 1 até.
                email: arley_felype@hotmail.com

                Débora disse...

                SOU ESTUDANTE DE QUÍMICA
                calculo I é bem complexo, exige mesmo do aluno. prof Elísio seu conteúdo me ajudou muito por não ter tanta teoria e ser direto, sem rodeios, muito bom mesmo, gostaria muito de o ter como meu prof. rs
                parabens !
                tudo de bom :)

                Unknown disse...

                Obrigado pela ajuda, com esse material consegui entender a matéria, bom seria se nossos professores tivessem a mesma didática utilizada no material acima.

                Alex Santos - Economia UFSM

                Gafanhoto disse...

                Parabéns pelo trabalho, os assuntos abordados que muito me ajudou e ao esforço que fez para chegar até onde chegou. Sei que não vai parar por aí. Boa sorte.

                Sérgio - Física (Licenciatura) IFRO.

                Anônimo disse...

                Obrigada! Sou estudante de eng° Civil e estou completamente perdida. mas esta me ajudando muito

                Nerd em ação disse...

                Ajudou bastante agora é só fazer a prova...
                Engenharia de biosistemas-USP

                Celio Ferraro Drigo disse...

                Celio Drigo - Meus parabens -excelente material de estudo

                excluido disse...

                Boa Noite .
                Será que você pode me ajudar a derivar essas duas funções.
                E que tem tanto tempo que eu estudei isso que não me lembro, se poder me ajudar agradeço.
                as funções são:
                P= -0,3x +900 e a outra é Q= - T+ 8T
                OBS. esse primeiro - T é ao quadrado certo.

                Unknown disse...

                Excelente! Parabéns!

                Unknown disse...

                Muito bom. A melhor explicação que já tive.
                Sucesso

                eds disse...

                Muito Obrigado tirou uma dúvida que tivera ... thanks continue o bom trabalho ..

                Marasalvatrucha disse...

                Fico muito feliz em saber que posso contar com esta pagina desde já agradeço, foi feito um bom trabalho aqui.
                Parabéns a todos os envolvidos..

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