EXPANSÃO EM SÉRIE DE TAYLOR (PARTE I) - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Em 03 de abril de 1712, Taylor foi eleito para a Royal Society. Foi uma eleição baseada mais nas experiência que Machin (matemático e astrônomo), Keill (matemático) e outros sabiam a respeito de Taylor. Por exemplo, Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma solução para um problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetário. Também em 1712, Taylor foi nomeado para o comitê criado para se pronunciar sobre o pedido de Newton ou Leibniz ter inventado o cálculo. De 14 de janeiro de 1714 até 21 de outubro de 1718 Taylor foi secretário da Royal Society. Na segunda parte desta aula descreveremos mais sobre a vida de Taylor. Mais detalhes sobre a vida e obra de Taylor no site:

http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

Em muitos problemas de Física desejamos uma solução exata de uma função, mas, às vezes, nos deparamos com funções com soluções aproximadas. Com tais aproximações podemos extrair o significado físico de alguns problemas. A série de Brook Taylor nos dá uma solução aproximada de uma função, além de nos permitir estimar o erro associado.

Objetivos da primeira parte deste estudo:

•  Pesquisar sobre a vida de  Brook Taylor enfatizando seu interesse pela Física;

•  Expandir funções em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;

•  Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas sobre derivadas;

•  Expandir funções trigonométricas e exponenciais em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;

•  Usar a expansão em série de Taylor para calcular o cosseno de um número muito menor que 1, comparar com o resultado da calculadora e calcular o erro percentual;

•  Usar a expansão em série de Taylor em um problema no eletromagnetismo.

Brook Taylor foi um matemático Inglês que acrescentou um novo ramo da matemática chamado “cálculo de diferenças finitas”, inventou a integração por partes e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de Taylor. Foto – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Taylor.html 

Brook Taylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton, Middlesex, Inglaterra e faleceu em 29 de dezembro de 1731 em Somerset House, Londres, Inglaterra.

A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto é a soma dos elementos da série de potências definida por

onde, n! é o fatorial de n e

denota a n-ésima derivada de f(x) no ponto
Na Física, é muito usada a notação

onde,

denota, também, a derivada n-ésima de f(x) aplicada no ponto

Portanto, a expressão acima fica assim:

Se a série convergir, ela será igual a própria função, ou seja,

chamada de expansão da função f(x) em série de Taylor em volta do ponto Para facilitar nossa vida, esta série (série de Taylor de uma função f(x)) pode ser escrita como a série de potências na seguinte notação:

Na Física trabalha-se com expansão em série de Taylor, com uma boa aproximação até segunda ordem e, nos exercícios seguintes vamos usar, pelo método passo-a-passo, esta notação. Vamos praticar:

1) Dada a função

,

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou .

- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

Substituindo 0 na função

, 

temos que

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

,

obteremos

Portanto,

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

vamos obter

Portanto,

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

temos que

Portanto,

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

e teremos

2) Dada a função

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou .

- Primeiro passo: calcular f(0).

Substituindo 0 na função

temos que

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

 

obteremos

Portanto,

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

vamos obter

Portanto,

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

vamos obter

Portanto,

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

3) Dada a função

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até segunda ordem, em torno de a = 8 ou .

- Primeiro passo: calcular f(8).

Substituindo 8 na função

temos que

- Segundo passo: calcular f'(8).

Derivando a função

obteremos

Portanto,

- Terceiro passo: calcular f''(8).

Derivando a função

vamos obter

Portanto,

 - Quarto passo: substituir f(8), f'(8), f''(8) e a=8 na fórmula de Taylor, no caso:

A continuação está neste endereço: Taylor II.