e achar uma fórmula geral para estes formatos de integrais. Vamos, também, resolver integrais por partes que envolvem exponenciais do seguinte formato:
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e achar uma fórmula geral para estes tipos de integrais. Bons estudos e boa sorte!
1ª) Para começar nosso estudo: Integre ambos os membros da expressão abaixo:
Sabemos que a integral da diferencial de uma variável (dv) é a própria variável (v) e que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:
2ª) Usando o método de integração por partes, calcule:
Passo ❶: achar dv.
Basta fazer
Passo ❷: achar v.
Integrando a expressão acima (desenvolvido na 1ª questão), temos
Fazer
u = x.
Passo ❹: achar du.
Derivando a expressão acima, temos
du = dx.
Passo ❺: de posse dos valores de dv, v, u e du, substituí-los na fórmula de integração por partes:
3ª) Integre a expressão
Integrando ambos os membros da expressão, temos
Vamos resolver a integral acima. Sabemos que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:
ou usaremos outro método: basta fazer
Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la:
Vamos substituir o valor de u por 2x no resultado acima, ou seja,
Finalmente, o resultado da integral é dado por
4ª) Integre a expressão
Para resolver a integral faremos
Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la. Assim:
Substituindo o valor de u por 2x no resultado acima, temos que
Finalmente, o resultado da integral é dado por
5ª) Usando o método de integração por partes, calcule:
Passo ❶: achar dv.
Basta fazer
Passo ❷: achar v.
Integramos a expressão acima (desenvolvido na 3ª questão), e achamos que
Basta fazer
u = x.
Passo ❹: achar du.
Derivando a expressão acima, temos
du = dx.
Passo ❺: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:
Portanto,
A integral do segundo membro já foi trabalhada na 4ª questão e resultou que
Finalmente o resultado da nossa integral é dado por
ou
| Integration by Parts Calculator | ||
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1 comentários:
Ótimo trabalho sobre integração por partes, você está de parabens, e obrigado por disponibilizar seu conhecimento de forma clara e intuitiva.
Gostou do estudo? Comente abaixo.
No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.
Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.
Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!
Atenciosamente,
Elísio.