ESTUDO SOBRE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Bem vindo ao nosso simples estudo sobre integrais por partes para iniciantes. A integração por partes é um método de integração muito utilizado e é aplicado em várias circunstâncias. É um método que pode ser utilizado para resolver integrais quando seus integrandos são, como exemplos, funções algébricas, exponenciais, trigonométricas e logarítmicas. A integração por partes é um estudo muito importante dentro de cálculo. Vamos aplicar a técnica, passo-a-passo com exemplos resolvidos. O objetivo deste estudo é resolver as integrais por partes, que envolvem exponenciais, do tipo:

$$\int x{e}^{x}dx,$$

$$\int x{e}^{2x}dx,$$

$$\int x{e}^{3x}dx,$$

$$\int x{e}^{4x}dx,$$

$$\int x{e}^{10x}dx,$$

$$\int x{e}^{nx}dx$$

e achar uma fórmula geral para estes formatos de integrais. Vamos, também, resolver integrais por partes que envolvem exponenciais do seguinte formato:

$$\int x{e}^{-x}dx,$$

$$\int x{e}^{-2x}dx,$$

$$\int x{e}^{-3x}dx,$$

$$\int x{e}^{-10x}dx,$$

.

.

.

$$\int x{e}^{-nx}dx$$

e achar uma fórmula geral para estes tipos de integrais. Bons estudos e boa sorte!

1ª) Para começar nosso estudo: Integre ambos os membros da expressão abaixo:

$$dv=e^xdx.$$

Sabemos que a integral da diferencial de uma variável (dv) é a própria variável (v) e que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:

$$\int dv=\int e^xdx\rightarrow v=\frac{e^x}{\frac{d(x)}{dx}}+c=e^x+c.$$

2ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{x}dx.$$

Passo ❶: achar dv.

Basta fazer
 

$$dv=e^xdx.$$

 
Passo ❷: achar v.

Integrando a expressão acima (desenvolvido na 1ª questão), temos

$$\int dv=\int e^xdx\rightarrow v=e^x.$$

Passo ❸: achar u.

Fazer

 u = x.

Passo ❹: achar du.

Derivando a expressão acima, temos

  
du = dx.

Passo ❺: de posse dos valores de dv, v, u e du, substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,

$$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+c=( x-1)e^x+c.$$

3ª) Integre a expressão

$$dv=e^{2x}dx.$$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{2x}dx.$$

Vamos resolver a integral acima. Sabemos que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:

$$\int dv=\int e^{2x}dx\rightarrow v=\frac{e^{2x}}{\frac{d(2x)}{dx}}=\frac{e^{2x}}{2} +c=\frac{1}{2} e^{2x} +c,$$

ou usaremos outro método: basta fazer

$$u=2x\rightarrow du=2dx\rightarrow dx=\frac{du}{2}.$$

Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la:

$$\int e^{2x}dx=\int e^{u}\frac{du}{2} =\frac{1}{2} \int e^{u}du=\frac{1}{2} e^{u}.$$

Vamos substituir o valor de u por 2x no resultado acima, ou seja,

$$\int e^{u}\frac{du}{2}=\frac{1}{2} e^{u} =\frac{1}{2} e^{2x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2} e^{2x} +c.$$

4ª) Integre a expressão

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx. $$

Para resolver a integral faremos

$$u=2x\rightarrow du=2dx\rightarrow dx=\frac{du}{2}.$$

Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx=\int \frac{e^{u}}{2} \frac{du}{2} =\frac{1}{4} \int e^{u}du=\frac{1}{4} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 2x no resultado acima, temos que

$$\int \frac{e^{u}}{2} \frac{du}{2} =\frac{1}{4} \int e^{u}du=\frac{1}{4} e^{2x}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx=\frac{1}{4} e^{2x}.$$

5ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{2x}dx. $$

Passo ❶: achar dv.


Basta fazer

$$dv=e^{2x}dx. $$

Passo ❷: achar v.

Integramos a expressão acima (desenvolvido na 3ª questão), e achamos que

$$v=\frac{1}{2} e^{2x}.$$

Passo ❸: achar u.

Basta fazer

 u = x.

Passo ❹: achar du.

Derivando a expressão acima, temos

  
du = dx.

Passo ❺: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,

 $$\int x{e}^{2x}dx=x\frac{e^{2x}}{2} -\int \frac{e^{2x}}{2} dx+c.$$

A integral do segundo membro já foi trabalhada na 4ª questão e resultou que

$$\int \frac{e^{2x}}{2} dx=\frac{1}{4} e^{2x}.$$ 

Finalmente o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{2x}dx=x\frac{e^{2x}}{2} -\frac{1}{4} e^{2x}+c=\left( \frac{x}{2}-\frac{1}{4} \right)e^{2x}+c$$

ou

$$\int x{e}^{2x}dx=x\frac{e^{2x}}{2} -\frac{1}{4} e^{2x}+c=\frac{1}{4} e^{2x}\left( 2x-1\right)+c.$$

Use o programa abaixo para calcular integrais usando o método (por partes) desta postagem:

CONTINUAÇÃO DESTE ESTUDO (PAPEL E CANETA NAS MÃOS)