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17 de setembro de 2010

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


RAÍZES REAIS E IGUAIS

Vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre equações diferenciais com coeficientes constantes resolvendo alguns exemplos, agora em poucos passos, cujas raízes de suas equações características são reais e iguais.
Já sabemos que a forma padrão de uma equação diferencial ordinária de ordem 2, homogênea e com coeficientes constantes é a seguinte:

$$a\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+b\frac{dy}{dx}+cy = 0$$

ou

ay" + by' + cy = 0.


1º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0. $$ 

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial. A equação diferencial pode ser escrita como

y'' - 4y' + 4y = 0 

que comparada com

ay" + by' + cy = 0,

nos fornecerá as constantes

a = 1, b = -4 e c = 4.

Segundo passo: por motivo de estarmos estudando equações diferenciais com coeficientes constantes com raízes reais e iguais, aceitar que as soluções particulares são do tipo exponenciais da forma

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$

e

$$y_{2} (x)=xe^{mx}$$

Obs: se a solução escolhida y(2) fosse igual à solução y(1) elas não seriam soluções L.I (linearmente independentes), já que seriam iguais. Portanto, a última solução y(2) foi escolhida por ser L.I em relação à primeira solução y(1).

Vamos achar a equação característica da equação diferencial. Procedimentos:

- derivar a primeira solução exponencial.

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(e^{mx}) }{dx} =me^{mx}.$$

- derivar novamente.

$$\frac{d^{2} y}{dx^{2} }=\frac{d}{dx}\left( \frac{d(e^{mx}) }{dx} \right)=\frac{d\(me^{mx}) }{dx}= m^{2} e^{mx}.$$

- substituir os resultados acima na equação diferencial. Assim:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4me^{mx}+4e^{mx}=0.$$

Portanto, conseguimos achar a equação característica dada por:

$$e^{mx}(m^{2} -4m+4)=0 \rightarrow m^{2} -4m+4=0.$$

- achar as raízes da equação característica.
Computado por Wolfram Mathematica.
A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = m2 = 2, reais e iguais.
Substituindo a raíz da equação característica na equação da solução exponencial, temos que a solução particular

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$

pode ser escrita como

$$y_{1} (x)=e^{2x}.$$

Obs: vamos provar que esta é uma das soluções da equação diferencial, substituindo o resultado acima na equação diferencial. Assim:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4me^{mx}+4e^{mx}=0.$$

$$\rightarrow 4 e^{2x}-4.2e^{2x}+4e^{2x}=0 \rightarrow -4e^{2x}+4e^{2x}=0.$$

Assim, percebemos que

$$y_{1} (x)=e^{2x}$$

é uma das soluções da equação diferencial.

Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = 2) nas equações de soluções particulares exponenciais (lá do segundo passo), resulta que

$$y_{1} (x)=e^{2x}$$

e

$$y_{2} (x)=2e^{2x}$$

Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$

Portanto,

$$y(x)=c_{1} e^{2x}} +c_{2} xe^{2x},$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Compare estas soluções no WolframAlpha.

2º) Calcule a solução geral da equação diferencial
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+2\frac{dy}{dx} +y=0.$$

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial.

A equação diferencial pode ser escrita como

$$y''+2y'+y=0$$

que comparada com

$$ay"+by'+cy=0,$$

nos fornecerá as constantes

a = 1, b = 2 e c = 1.

Segundo passo: aceitar que as soluções são do tipo exponenciais da forma

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$ 

e

$$y_{2} (x)=xe^{mx}.$$

Agora, sem muitos detalhes, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Substituindo os resultados das derivadas da soluçaõ exponencial, efetuadas no exemplo 1, na equação diferencial, temos que

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+2\frac{dy}{dx} +y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}+2me^{mx}+e^{mx}=0,$$

resulta na equação característica

$$e^{mx}(m^{2} +2m+1)=0 \rightarrow m^{2} +2m+1=0.$$

Vamos achar as raízes da equação característica.
Computado por Wolfram Mathematica.
A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = m2 = -1, reais e iguais.

Terceiro passo: achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = -1) nas equações de soluções exponenciais (lá do segundo passo), resulta que

$$y_{1} (x)=e^{-1x}.$$
e

$$y_{2} (x)=xe^{-1x}$$

Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$

Portanto, a equação geral da equação diferencial é dada pela expressão

$$y(x)=c_{1} e^{-1x}}+c_{2} xe^{-1x} =c_{1} e^{-x}}+c_{2}e^{-x}x.$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
3º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$9\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+6\frac{dy}{dx} +y=0.$$

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial.

A equação diferencial pode ser escrita como

9y'' + 6y' + y = 0

que comparada com

ay" + by' + cy = 0,

nos fornecerá as constantes

a = 9, b = 6 e c = 1.

Segundo passo: aceitar que as soluções são do tipo exponenciais da forma

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$
e
$$y_{2} (x)=xe^{mx}$$

Vamos encontrar a equação característica da equação diferencial: substituindo os resultados das derivadas, efetuadas no exemplo 1, na equação diferencial, temos que

$$9\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+6\frac{dy}{dx} +y=0 \rightarrow 9m^{2} e^{mx}+6me^{mx}+e^{mx}=0,$$

resulta ma equação característica

$$e^{mx}(9m^{2} +6m+1)=0 \rightarrow 9m^{2} +6m+1=0.$$

Vamos achar as raízes da equação característica. 
Computado por Wolfram Mathematica.
A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = m2 = -1/3, reais e iguais.

Terceiro passo: achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = -1/3) nas equações de soluções exponenciais (lá do segundo passo), resulta que

$$y_{1} (x)=e^{-\frac{1}{3}x}.$$

e

$$y_{2} (x)=xe^{-\frac{1}{3}x}.$$

Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$

Portanto, a equação geral da equação diferencial é dada pela expressão

$$y(x)=c_{1} e^{-\frac{1}{3}x }}+c_{2} xe^{-\frac{1}{3}x }=c_{1} e^{-\frac{1}{3}x }}+c_{2} e^{-\frac{1}{3}x }x=c_{1} e^{-\frac{x}{3} }}+c_{2} e^{-\frac{x}{3}}x.$$
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.


2 comentários:

Anônimo disse...

Felipe
Belo Horizonte

Parabens pelo blog, a didática é muito boa. Me ajudou bastante.

Leonardo Ferreira disse...

Parabéns pelo blog, ótima explicação, está me ajudando muito.
Tenho uma dúvida, quando eu tenho os valores iniciais nesse caso das duas raízes serem reais e iguais, e tenho que encontrar os valores de c1 e c2, como faço?

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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Atenciosamente,
Elísio.

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