RAÍZES REAIS E IGUAIS
Vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre equações diferenciais com coeficientes constantes resolvendo alguns exemplos, agora em poucos passos, cujas raízes de suas equações características são reais e iguais.
Já sabemos que a forma padrão de uma equação diferencial ordinária de ordem 2, homogênea e com coeficientes constantes é a seguinte:
$$a\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+b\frac{dy}{dx}+cy = 0$$
ou
ay" + by' + cy = 0.
1º) Calcule a solução geral da equação diferencial
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0. $$
que comparada com
ay" + by' + cy = 0,
nos fornecerá as constantes
a = 1, b = -4 e c = 4.
Segundo passo: por motivo de estarmos estudando equações diferenciais com coeficientes constantes com raízes reais e iguais, aceitar que as soluções particulares são do tipo exponenciais da forma
$$y_{1} (x)=e^{mx}$$
e
$$y_{2} (x)=xe^{mx}$$
Obs: se a solução escolhida y(2) fosse igual à solução y(1) elas não seriam soluções L.I (linearmente independentes), já que seriam iguais. Portanto, a última solução y(2) foi escolhida por ser L.I em relação à primeira solução y(1).
- derivar a primeira solução exponencial.
$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(e^{mx}) }{dx} =me^{mx}.$$
$$\frac{d^{2} y}{dx^{2} }=\frac{d}{dx}\left( \frac{d(e^{mx}) }{dx} \right)=\frac{d\(me^{mx}) }{dx}= m^{2} e^{mx}.$$
- substituir os resultados acima na equação diferencial. Assim:
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4me^{mx}+4e^{mx}=0.$$
Portanto, conseguimos achar a equação característica dada por:
$$e^{mx}(m^{2} -4m+4)=0 \rightarrow m^{2} -4m+4=0.$$
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| Computado por Wolfram Mathematica. |
Substituindo a raíz da equação característica na equação da solução exponencial, temos que a solução particular
$$y_{1} (x)=e^{mx}$$
pode ser escrita como
$$y_{1} (x)=e^{2x}.$$
Obs: vamos provar que esta é uma das soluções da equação diferencial, substituindo o resultado acima na equação diferencial. Assim:
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4me^{mx}+4e^{mx}=0.$$
$$\rightarrow 4 e^{2x}-4.2e^{2x}+4e^{2x}=0 \rightarrow -4e^{2x}+4e^{2x}=0.$$
Assim, percebemos que
$$y_{1} (x)=e^{2x}$$
Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = 2) nas equações de soluções particulares exponenciais (lá do segundo passo), resulta que
$$y_{1} (x)=e^{2x}$$
e
$$y_{2} (x)=2e^{2x}$$
Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por
$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$
$$y(x)=c_{1} e^{2x}} +c_{2} xe^{2x},$$
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
Compare estas soluções no WolframAlpha.
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+2\frac{dy}{dx} +y=0.$$
Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial.
A equação diferencial pode ser escrita como
$$y''+2y'+y=0$$
$$ay"+by'+cy=0,$$
a = 1, b = 2 e c = 1.
$$y_{1} (x)=e^{mx}$$
$$y_{2} (x)=xe^{mx}.$$
Agora, sem muitos detalhes, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Substituindo os resultados das derivadas da soluçaõ exponencial, efetuadas no exemplo 1, na equação diferencial, temos que
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+2\frac{dy}{dx} +y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}+2me^{mx}+e^{mx}=0,$$
resulta na equação característica
$$e^{mx}(m^{2} +2m+1)=0 \rightarrow m^{2} +2m+1=0.$$
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| Computado por Wolfram Mathematica. |
Terceiro passo: achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = -1) nas equações de soluções exponenciais (lá do segundo passo), resulta que
$$y_{1} (x)=e^{-1x}.$$
e$$y_{2} (x)=xe^{-1x}$$
Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por
$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$
Portanto, a equação geral da equação diferencial é dada pela expressão
$$y(x)=c_{1} e^{-1x}}+c_{2} xe^{-1x} =c_{1} e^{-x}}+c_{2}e^{-x}x.$$
$$9\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+6\frac{dy}{dx} +y=0.$$
A equação diferencial pode ser escrita como
9y'' + 6y' + y = 0
que comparada com
ay" + by' + cy = 0,
nos fornecerá as constantes
a = 9, b = 6 e c = 1.
Segundo passo: aceitar que as soluções são do tipo exponenciais da forma
$$y_{1} (x)=e^{mx}$$
e$$y_{2} (x)=xe^{mx}$$
$$9\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+6\frac{dy}{dx} +y=0 \rightarrow 9m^{2} e^{mx}+6me^{mx}+e^{mx}=0,$$
resulta ma equação característica
$$e^{mx}(9m^{2} +6m+1)=0 \rightarrow 9m^{2} +6m+1=0.$$
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| Computado por Wolfram Mathematica. |
Terceiro passo: achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = -1/3) nas equações de soluções exponenciais (lá do segundo passo), resulta que
$$y_{1} (x)=e^{-\frac{1}{3}x}.$$
$$y_{2} (x)=xe^{-\frac{1}{3}x}.$$
Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por
$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$
$$y(x)=c_{1} e^{-\frac{1}{3}x }}+c_{2} xe^{-\frac{1}{3}x }=c_{1} e^{-\frac{1}{3}x }}+c_{2} e^{-\frac{1}{3}x }x=c_{1} e^{-\frac{x}{3} }}+c_{2} e^{-\frac{x}{3}}x.$$
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
2 comentários:
Felipe
Belo Horizonte
Parabens pelo blog, a didática é muito boa. Me ajudou bastante.
Parabéns pelo blog, ótima explicação, está me ajudando muito.
Tenho uma dúvida, quando eu tenho os valores iniciais nesse caso das duas raízes serem reais e iguais, e tenho que encontrar os valores de c1 e c2, como faço?
Gostou do estudo? Comente abaixo.
No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.
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Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!
Atenciosamente,
Elísio.