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sexta-feira, 17 de setembro de 2010

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


RAÍZES REAIS E IGUAIS

Vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre equações diferenciais com coeficientes constantes resolvendo alguns exemplos, agora em poucos passos, cujas raízes de suas equações características são reais e iguais.
Já sabemos que a forma padrão de uma equação diferencial ordinária de ordem 2, homogênea e com coeficientes constantes é a seguinte:

$$a\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+b\frac{dy}{dx}+cy = 0$$

ou

ay" + by' + cy = 0.


1º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0. $$ 

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial. A equação diferencial pode ser escrita como

y'' - 4y' + 4y = 0 

que comparada com

ay" + by' + cy = 0,

nos fornecerá as constantes

a = 1, b = -4 e c = 4.

Segundo passo: por motivo de estarmos estudando equações diferenciais com coeficientes constantes com raízes reais e iguais, aceitar que as soluções particulares são do tipo exponenciais da forma

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$

e

$$y_{2} (x)=xe^{mx}$$

Obs: se a solução escolhida y(2) fosse igual à solução y(1) elas não seriam soluções L.I (linearmente independentes), já que seriam iguais. Portanto, a última solução y(2) foi escolhida por ser L.I em relação à primeira solução y(1).

Vamos achar a equação característica da equação diferencial. Procedimentos:

- derivar a primeira solução exponencial.

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(e^{mx}) }{dx} =me^{mx}.$$

- derivar novamente.

$$\frac{d^{2} y}{dx^{2} }=\frac{d}{dx}\left( \frac{d(e^{mx}) }{dx} \right)=\frac{d\(me^{mx}) }{dx}= m^{2} e^{mx}.$$

- substituir os resultados acima na equação diferencial. Assim:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4me^{mx}+4e^{mx}=0.$$

Portanto, conseguimos achar a equação característica dada por:

$$e^{mx}(m^{2} -4m+4)=0 \rightarrow m^{2} -4m+4=0.$$

- achar as raízes da equação característica.
Computado por Wolfram Mathematica.
A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = m2 = 2, reais e iguais.
Substituindo a raíz da equação característica na equação da solução exponencial, temos que a solução particular

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$

pode ser escrita como

$$y_{1} (x)=e^{2x}.$$

Obs: vamos provar que esta é uma das soluções da equação diferencial, substituindo o resultado acima na equação diferencial. Assim:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4\frac{dy}{dx} +4y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4me^{mx}+4e^{mx}=0.$$

$$\rightarrow 4 e^{2x}-4.2e^{2x}+4e^{2x}=0 \rightarrow -4e^{2x}+4e^{2x}=0.$$

Assim, percebemos que

$$y_{1} (x)=e^{2x}$$

é uma das soluções da equação diferencial.

Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = 2) nas equações de soluções particulares exponenciais (lá do segundo passo), resulta que

$$y_{1} (x)=e^{2x}$$

e

$$y_{2} (x)=2e^{2x}$$

Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$

Portanto,

$$y(x)=c_{1} e^{2x}} +c_{2} xe^{2x},$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Compare estas soluções no WolframAlpha.

2º) Calcule a solução geral da equação diferencial
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+2\frac{dy}{dx} +y=0.$$

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial.

A equação diferencial pode ser escrita como

$$y''+2y'+y=0$$

que comparada com

$$ay"+by'+cy=0,$$

nos fornecerá as constantes

a = 1, b = 2 e c = 1.

Segundo passo: aceitar que as soluções são do tipo exponenciais da forma

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$ 

e

$$y_{2} (x)=xe^{mx}.$$

Agora, sem muitos detalhes, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Substituindo os resultados das derivadas da soluçaõ exponencial, efetuadas no exemplo 1, na equação diferencial, temos que

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+2\frac{dy}{dx} +y=0 \rightarrow m^{2} e^{mx}+2me^{mx}+e^{mx}=0,$$

resulta na equação característica

$$e^{mx}(m^{2} +2m+1)=0 \rightarrow m^{2} +2m+1=0.$$

Vamos achar as raízes da equação característica.
Computado por Wolfram Mathematica.
A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = m2 = -1, reais e iguais.

Terceiro passo: achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = -1) nas equações de soluções exponenciais (lá do segundo passo), resulta que

$$y_{1} (x)=e^{-1x}.$$
e

$$y_{2} (x)=xe^{-1x}$$

Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$

Portanto, a equação geral da equação diferencial é dada pela expressão

$$y(x)=c_{1} e^{-1x}}+c_{2} xe^{-1x} =c_{1} e^{-x}}+c_{2}e^{-x}x.$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
3º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$9\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+6\frac{dy}{dx} +y=0.$$

Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial.

A equação diferencial pode ser escrita como

9y'' + 6y' + y = 0

que comparada com

ay" + by' + cy = 0,

nos fornecerá as constantes

a = 9, b = 6 e c = 1.

Segundo passo: aceitar que as soluções são do tipo exponenciais da forma

$$y_{1} (x)=e^{mx}$$
e
$$y_{2} (x)=xe^{mx}$$

Vamos encontrar a equação característica da equação diferencial: substituindo os resultados das derivadas, efetuadas no exemplo 1, na equação diferencial, temos que

$$9\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+6\frac{dy}{dx} +y=0 \rightarrow 9m^{2} e^{mx}+6me^{mx}+e^{mx}=0,$$

resulta ma equação característica

$$e^{mx}(9m^{2} +6m+1)=0 \rightarrow 9m^{2} +6m+1=0.$$

Vamos achar as raízes da equação característica. 
Computado por Wolfram Mathematica.
A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = m2 = -1/3, reais e iguais.

Terceiro passo: achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica (m1 = m2 = -1/3) nas equações de soluções exponenciais (lá do segundo passo), resulta que

$$y_{1} (x)=e^{-\frac{1}{3}x}.$$

e

$$y_{2} (x)=xe^{-\frac{1}{3}x}.$$

Quarto passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.
As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e iguais a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} xe^{m_{2} x}.$$

Portanto, a equação geral da equação diferencial é dada pela expressão

$$y(x)=c_{1} e^{-\frac{1}{3}x }}+c_{2} xe^{-\frac{1}{3}x }=c_{1} e^{-\frac{1}{3}x }}+c_{2} e^{-\frac{1}{3}x }x=c_{1} e^{-\frac{x}{3} }}+c_{2} e^{-\frac{x}{3}}x.$$
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.


1 comentários:

Anônimo disse...

Felipe
Belo Horizonte

Parabens pelo blog, a didática é muito boa. Me ajudou bastante.

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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