O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Continuação sobre o método de integração por partes:

6ª) Integre a expressão

$$dv=e^{3x}dx. $$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

 $$\int dv=v=\int e^{3x}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int e^{3x}dx=\int e^{u}\frac{du}{3} =\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

$$\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u} =\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$

Albert Einstein: “Triste época! É mais fácil desintegrar um átomo do que um preconceito”.

 7ª) Integre a expressão

$$\int \frac{e^{3x}}{3}dx.$$

Para resolver a integral faremos

$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int \frac{e^{3x}}{3}dx=\int \frac{e^{u}}{3} \frac{du}{3}=\frac{1}{9} \int e^{u}du=\frac{1}{9} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

$$\frac{1}{9} \int e^{u}du=\frac{1}{9} e^{3x}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx=\frac{1}{9} e^{3x}+c.$$

8ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{3x}dx. $$

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{3x}dx.$$

- Segundo passo: achar v.

Integramos a expressão acima (desenvolvido na 6ª questão), e achamos que

$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}.$$

- Terceiro passo: achar u.

 Fazer

u = x.

- Quarto passo: achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto, 

$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3} -\int \frac{e^{3x}}{3} dx+c.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx, $$

(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que

$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx=\frac{1}{9} e^{3x}.$$

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{9} e^{3x}+c=\left( \frac{x}{3}-\frac{1}{9} \right)e^{3x}+c$$

ou

$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3} -\frac{1}{9} e^{3x}+c=\frac{1}{9}e^{3x}\left(3x-1\right)+c.$$

9ª) Integre a expressão

$$dv=e^{nx}dx. $$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{nx}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=nx\rightarrow du=ndx\rightarrow dx=\frac{du}{n}.$$

Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int e^{nx}dx=\int e^{u}\frac{du}{n} =\frac{1}{n} \int e^{u}du=\frac{1}{n} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por nx no resultado acima, temos que

$$\int e^{u}\frac{du}{n} =\frac{1}{n} \int e^{u}du=\frac{1}{n} e^{u}=\frac{1}{n} e^{nx}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{nx}dx=\frac{1}{n} e^{nx}+c.$$

10ª) Integre a expressão

$$\int \frac{e^{nx}}{n}dx, $$ 

chamando

$$u=nx\rightarrow du=ndx\rightarrow dx=\frac{du}{n}.$$

Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral dada e resolvê-la. Assim:

$$\int \frac{e^{nx}}{n}dx=\int \frac{e^{u}}{n} \frac{du}{n} =\frac{1}{n^2} \int e^{u}du=\frac{1}{n^2} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u no resultado acima, temos que

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{u}=\frac{1}{n^2} e^{nx}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{nx}+c.$$

11ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{nx}dx.$$

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{nx}dx. $$

- Segundo passo: achar v.

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{nx}dx.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int e^{nx}dx, $$

(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que

$$v=\int e^{nx}dx=\frac{1}{n} e^{nx}.$$

- Terceiro passo: achar u.

Fazer

u = x.

- Quarto passo: achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,

$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\int \frac{e^{nx}}{n} dx+c.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx, $$

(desenvolvido na 10ª questão), e achamos que

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{nx}.$$

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\frac{1}{n^2} e^{nx}+c=\left( \frac{x}{n}-\frac{1}{n^2} \right)e^{nx}+c$$

ou

$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\frac{1}{n^2} e^{nx}+c=\frac{1}{n^2}e^{nx}\left(nx-1\right)+c.$$

Observação - Podemos usar a fórmula acima, exemplos:

Para n = 1 (já calculado):

$$\int x{e}^{1x}dx=\frac{1}{1^2}e^{1x}\left(1x-1\right)+c =e^x(x-1)+c.$$

Para n = 2 (já calculado):

$$\int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2^2}e^{2x}\left(2x-1\right)+c =\frac{1}{4}e^{2x}\left(2x-1\right)+c.$$

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

Para n = 3 (já calculado):

$$\int x{e}^{3x}dx=\frac{1}{3^2}e^{3x}\left(3x-1\right)+c =\frac{1}{9}e^{3x}\left(3x-1\right)+c.$$

Para n = 10:

$$\int x{e}^{10x}dx=\frac{1}{10^2}e^{10x}\left(10x-1\right)+c =\frac{1}{100}e^{10x}\left(10x-1\right)+c.$$

CONTINUA...