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12 de outubro de 2010

O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Continuação sobre o método de integração por partes:


6ª) Integre a expressão

$$dv=e^{3x}dx. $$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

 $$\int dv=v=\int e^{3x}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:


$$\int e^{3x}dx=\int e^{u}\frac{du}{3} =\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

$$\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u} =\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$
Albert Einstein: “Triste época! É mais fácil desintegrar um átomo do que um preconceito”.



 7ª) Integre a expressão

$$\int \frac{e^{3x}}{3}dx.$$

Para resolver a integral faremos

$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int \frac{e^{3x}}{3}dx=\int \frac{e^{u}}{3} \frac{du}{3}=\frac{1}{9} \int e^{u}du=\frac{1}{9} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

$$\frac{1}{9} \int e^{u}du=\frac{1}{9} e^{3x}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx=\frac{1}{9} e^{3x}+c.$$

8ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{3x}dx. $$

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{3x}dx.$$

- Segundo passo: achar v.

Integramos a expressão acima (desenvolvido na 6ª questão), e achamos que

$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}.$$

- Terceiro passo: achar u.

 Fazer
u = x.

- Quarto passo: achar du.

Derivando a expressão acima, temos
du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto, 
$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3} -\int \frac{e^{3x}}{3} dx+c.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx, $$

(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que

$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx=\frac{1}{9} e^{3x}.$$

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{9} e^{3x}+c=\left( \frac{x}{3}-\frac{1}{9} \right)e^{3x}+c$$

ou

$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3} -\frac{1}{9} e^{3x}+c=\frac{1}{9}e^{3x}\left(3x-1\right)+c.$$

9ª) Integre a expressão

$$dv=e^{nx}dx. $$

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{nx}dx.$$

Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=nx\rightarrow du=ndx\rightarrow dx=\frac{du}{n}.$$

Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral e resolvê-la. Assim:

$$\int e^{nx}dx=\int e^{u}\frac{du}{n} =\frac{1}{n} \int e^{u}du=\frac{1}{n} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u por nx no resultado acima, temos que

$$\int e^{u}\frac{du}{n} =\frac{1}{n} \int e^{u}du=\frac{1}{n} e^{u}=\frac{1}{n} e^{nx}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=\int e^{nx}dx=\frac{1}{n} e^{nx}+c.$$

10ª) Integre a expressão

$$\int \frac{e^{nx}}{n}dx, $$ 

chamando

$$u=nx\rightarrow du=ndx\rightarrow dx=\frac{du}{n}.$$

Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral dada e resolvê-la. Assim:


$$\int \frac{e^{nx}}{n}dx=\int \frac{e^{u}}{n} \frac{du}{n} =\frac{1}{n^2} \int e^{u}du=\frac{1}{n^2} e^{u}.$$

Substituindo o valor de u no resultado acima, temos que

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{u}=\frac{1}{n^2} e^{nx}.$$

Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{nx}+c.$$

11ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

$$\int x{e}^{nx}dx.$$

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{nx}dx. $$

- Segundo passo: achar v.

Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$\int dv=v=\int e^{nx}dx.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int e^{nx}dx, $$

(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que

$$v=\int e^{nx}dx=\frac{1}{n} e^{nx}.$$

- Terceiro passo: achar u.

Fazer
u = x.

- Quarto passo: achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:


$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$

Portanto,

$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\int \frac{e^{nx}}{n} dx+c.$$

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx, $$

(desenvolvido na 10ª questão), e achamos que

$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{nx}.$$

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\frac{1}{n^2} e^{nx}+c=\left( \frac{x}{n}-\frac{1}{n^2} \right)e^{nx}+c$$

ou

$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\frac{1}{n^2} e^{nx}+c=\frac{1}{n^2}e^{nx}\left(nx-1\right)+c.$$

Observação - Podemos usar a fórmula acima, exemplos:

Para n = 1 (já calculado):

$$\int x{e}^{1x}dx=\frac{1}{1^2}e^{1x}\left(1x-1\right)+c =e^x(x-1)+c.$$

Para n = 2 (já calculado):

$$\int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2^2}e^{2x}\left(2x-1\right)+c =\frac{1}{4}e^{2x}\left(2x-1\right)+c.$$
Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.
Para n = 3 (já calculado):

$$\int x{e}^{3x}dx=\frac{1}{3^2}e^{3x}\left(3x-1\right)+c =\frac{1}{9}e^{3x}\left(3x-1\right)+c.$$

Para n = 10:

$$\int x{e}^{10x}dx=\frac{1}{10^2}e^{10x}\left(10x-1\right)+c =\frac{1}{100}e^{10x}\left(10x-1\right)+c.$$

CONTINUA...

3 comentários:

Neto disse...

Cara sou estudande de matemativa e vc me ajudou d+.
Amei o blog.
Abração

Manoel_Juraci Melo disse...

Seu blog esta de parabéns também faço licenciatura em matemática e esta mim ajudando muito muito obrigado professor.

Betania Oliveira disse...

Nossa!! foi otimo eu ter estudado por esses exercicios!!
obrigada!!

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.

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