6ª) Integre a expressão
$$dv=e^{3x}dx. $$
Integrando ambos os membros da expressão, temos
$$\int dv=v=\int e^{3x}dx.$$
Para resolver a integral acima, chamaremos
$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$
Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:
$$\int e^{3x}dx=\int e^{u}\frac{du}{3} =\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u}.$$
Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que
$$\frac{1}{3} \int e^{u}du=\frac{1}{3} e^{u} =\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$
Finalmente, o resultado da integral é dado por
$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}+c.$$
Albert Einstein: “Triste época! É mais fácil desintegrar um átomo do que um preconceito”. |
7ª) Integre a expressão
$$\int \frac{e^{3x}}{3}dx.$$
Para resolver a integral faremos
$$u=3x\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}.$$
Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:
$$\int \frac{e^{3x}}{3}dx=\int \frac{e^{u}}{3} \frac{du}{3}=\frac{1}{9} \int e^{u}du=\frac{1}{9} e^{u}.$$
Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que
$$\frac{1}{9} \int e^{u}du=\frac{1}{9} e^{3x}.$$
Finalmente, o resultado da integral é dado por
$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx=\frac{1}{9} e^{3x}+c.$$
8ª) Usando o método de integração por partes, calcule:
$$\int x{e}^{3x}dx. $$
- Primeiro passo: achar dv.
Basta fazer
$$dv=e^{3x}dx.$$
- Segundo passo: achar v.
Integramos a expressão acima (desenvolvido na 6ª questão), e achamos que
$$v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3} e^{3x}.$$
- Terceiro passo: achar u.
Fazer
u = x.
- Quarto passo: achar du.
Derivando a expressão acima, temos
du = dx.
- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:
$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$
Portanto,
$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3} -\int \frac{e^{3x}}{3} dx+c.$$
Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,
$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx, $$
(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que
$$\int \frac{e^{3x}}{3} dx=\frac{1}{9} e^{3x}.$$
Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por
$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{9} e^{3x}+c=\left( \frac{x}{3}-\frac{1}{9} \right)e^{3x}+c$$
ou
$$\int x{e}^{3x}dx=x\frac{e^{3x}}{3} -\frac{1}{9} e^{3x}+c=\frac{1}{9}e^{3x}\left(3x-1\right)+c.$$
9ª) Integre a expressão
$$dv=e^{nx}dx. $$
Integrando ambos os membros da expressão, temos
$$\int dv=v=\int e^{nx}dx.$$
Para resolver a integral acima, chamaremos
$$u=nx\rightarrow du=ndx\rightarrow dx=\frac{du}{n}.$$
Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral e resolvê-la. Assim:
$$\int e^{nx}dx=\int e^{u}\frac{du}{n} =\frac{1}{n} \int e^{u}du=\frac{1}{n} e^{u}.$$
Substituindo o valor de u por nx no resultado acima, temos que
$$\int e^{u}\frac{du}{n} =\frac{1}{n} \int e^{u}du=\frac{1}{n} e^{u}=\frac{1}{n} e^{nx}.$$
Finalmente, o resultado da integral é dado por
$$v=\int e^{nx}dx=\frac{1}{n} e^{nx}+c.$$
10ª) Integre a expressão
$$\int \frac{e^{nx}}{n}dx, $$
chamando
$$u=nx\rightarrow du=ndx\rightarrow dx=\frac{du}{n}.$$
Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral dada e resolvê-la. Assim:
$$\int \frac{e^{nx}}{n}dx=\int \frac{e^{u}}{n} \frac{du}{n} =\frac{1}{n^2} \int e^{u}du=\frac{1}{n^2} e^{u}.$$
Substituindo o valor de u no resultado acima, temos que
$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{u}=\frac{1}{n^2} e^{nx}.$$
Finalmente, o resultado da integral é dado por
$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{nx}+c.$$
11ª) Usando o método de integração por partes, calcule:
$$\int x{e}^{nx}dx.$$
- Primeiro passo: achar dv.
Basta fazer
$$dv=e^{nx}dx. $$
- Segundo passo: achar v.
Integrando ambos os membros da expressão, temos
$$\int dv=v=\int e^{nx}dx.$$
Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,
$$\int e^{nx}dx, $$
(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que
$$v=\int e^{nx}dx=\frac{1}{n} e^{nx}.$$
- Terceiro passo: achar u.
Fazer
u = x.
- Quarto passo: achar du.
Derivando a expressão acima, temos
du = dx.
- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:
$$\int udv=uv-\int vdu + c.$$
Portanto,
$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\int \frac{e^{nx}}{n} dx+c.$$
Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,
$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx, $$
(desenvolvido na 10ª questão), e achamos que
$$\int \frac{e^{nx}}{n} dx=\frac{1}{n^2} e^{nx}.$$
Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por
$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\frac{1}{n^2} e^{nx}+c=\left( \frac{x}{n}-\frac{1}{n^2} \right)e^{nx}+c$$
ou
$$\int x{e}^{nx}dx=x\frac{e^{nx}}{n} -\frac{1}{n^2} e^{nx}+c=\frac{1}{n^2}e^{nx}\left(nx-1\right)+c.$$
Observação - Podemos usar a fórmula acima, exemplos:
Para n = 1 (já calculado):
$$\int x{e}^{1x}dx=\frac{1}{1^2}e^{1x}\left(1x-1\right)+c =e^x(x-1)+c.$$
Para n = 2 (já calculado):
Para n = 3 (já calculado):
$$\int x{e}^{3x}dx=\frac{1}{3^2}e^{3x}\left(3x-1\right)+c =\frac{1}{9}e^{3x}\left(3x-1\right)+c.$$
Para n = 10:
$$\int x{e}^{10x}dx=\frac{1}{10^2}e^{10x}\left(10x-1\right)+c =\frac{1}{100}e^{10x}\left(10x-1\right)+c.$$
CONTINUA...
3 comentários:
Cara sou estudande de matemativa e vc me ajudou d+.
Amei o blog.
Abração
Seu blog esta de parabéns também faço licenciatura em matemática e esta mim ajudando muito muito obrigado professor.
Nossa!! foi otimo eu ter estudado por esses exercicios!!
obrigada!!
Gostou do estudo? Comente abaixo.
No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.
Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.
Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!
Atenciosamente,
Elísio.