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21 de março de 2011

ESTUDO SOBRE O ESPAÇO VETORIAL BRA DE DIRAC

Na pesquisa sobre férmions, guardada no disco virtual Scribd, aprendemos que elétrons são partículas de spin 1/2, que possuem momentum angular intrínseco e que os físicos Paul Dirac juntamente com Enrico Fermi, descobriram as leis estatísticas que regem estas partículas. A Física comprova que experimentos com partículas de spin 1/2 podem ser, matematicamente, mais facilmente descritos usando a notação de Dirac, chamada de BRA-KET. No estudo anterior sobre notação KET enfatizamos que um estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor do espaço desse estado, chamado KET, que contém todas as informações possíveis sobre o estado de um sistema físico.

Nas dicas desta postagem vamos enfatizar o elemento dual do espaço KET, chamado BRA. Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

O BRA é representado pelo símbolo

$$\langle \beta |.$$

Portanto, para todo vetor KET

$$|\beta\rangle,$$

existe um correspondende dual (CD) BRA, representado por

$$\langle \beta|.$$

► A correspondência dual (CD) dos autokets

$$|\ a' \rangle, |\ a'' \rangle,|\ a''' \rangle,...$$

equivale a

$$\langle \ a'|, \langle \ a''|,\langle \ a'''|,....$$

► A correspondência dual dos KETS

$$|\alpha\rangle+|\gamma\rangle$$

é igual

$$\langle \alpha|+\langle\gamma|.$$

► A correspondência dual do KET

$$|\alpha\rangle$$

equivale a

$$\langle \alpha|$$

e pode ser representada como:

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|.$$

► Como pode ser representado a correspondência dual do produto de um número complexo c por um KET alfa?

A CD Pode ser representada como

$$c|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c^*\langle \alpha|,$$

onde, c com asteristo é o conjugado complexo de c.

► Represente a correspondência dual (CD) da seguinte soma:

$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\ .$$

Sua correspondência dual é representada por

$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c_{\alpha}^*\langle \alpha|+c_{\beta}^*\langle \beta|.$$

O produto interno entre um BRA e um KET resulta em um BRAKET (à direita da igualdade abaixo) dado por:

$$\left( \langle \beta|\right)\cdot\left( |\alpha\rangle\right)=\langle \beta|\alpha\rangle\ .$$

Nesse produto interno, que geralmente é um número complexo, por definição o BRA fica pela esquerda e o KET fica pela direita. O produto interno entre um BRA e um KET obedece algumas propriedades:

► Primeira propriedade:

$$\langle \beta|\alpha\rangle\ =\langle \alpha|\beta\rangle\ ^*,$$

ou seja, são conjugados complexos um do outro.

► Segunda propriedade:

Dado o KET

$$|\alpha\rangle\ $$

e o KET

$$|\beta\rangle\, $$

os mesmos são ortogonais se

$$\langle \alpha|\beta\rangle\ =0.$$

► Terceira propriedade: o produto

$$\langle \alpha|\alpha\rangle\ = \langle \alpha|\alpha\rangle\ ^*$$

resulta em um número real.

► Quarta propriedade: a igualdade de

$$\langle \alpha|\alpha\rangle\geq0$$

só é válida se o KET

$$|\alpha\rangle\ $$

for nulo.

Para não ficar muito cansativo para o leitor, vamos dar continuidade sobre esta maravilhosa notação na próxima postagem. Não perca!

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