Nas dicas desta postagem vamos enfatizar o elemento dual do espaço KET, chamado BRA. Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!
O BRA é representado pelo símbolo
$$\langle \beta |.$$
Portanto, para todo vetor KET
$$|\beta\rangle,$$
existe um correspondende dual (CD) BRA, representado por
$$\langle \beta|.$$
► A correspondência dual (CD) dos autokets
$$|\ a' \rangle, |\ a'' \rangle,|\ a''' \rangle,...$$
equivale a
$$\langle \ a'|, \langle \ a''|,\langle \ a'''|,....$$
► A correspondência dual dos KETS
$$|\alpha\rangle+|\gamma\rangle$$
é igual
$$\langle \alpha|+\langle\gamma|.$$
► A correspondência dual do KET
$$|\alpha\rangle$$
equivale a
$$\langle \alpha|$$
e pode ser representada como:
$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|.$$
► Como pode ser representado a correspondência dual do produto de um número complexo c por um KET alfa?
A CD Pode ser representada como
$$c|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c^*\langle \alpha|,$$
onde, c com asteristo é o conjugado complexo de c.
► Represente a correspondência dual (CD) da seguinte soma:
$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\ .$$
Sua correspondência dual é representada por
$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c_{\alpha}^*\langle \alpha|+c_{\beta}^*\langle \beta|.$$
O produto interno entre um BRA e um KET resulta em um BRAKET (à direita da igualdade abaixo) dado por:
$$\left( \langle \beta|\right)\cdot\left( |\alpha\rangle\right)=\langle \beta|\alpha\rangle\ .$$
Nesse produto interno, que geralmente é um número complexo, por definição o BRA fica pela esquerda e o KET fica pela direita. O produto interno entre um BRA e um KET obedece algumas propriedades:
► Primeira propriedade:
$$\langle \beta|\alpha\rangle\ =\langle \alpha|\beta\rangle\ ^*,$$
ou seja, são conjugados complexos um do outro.
► Segunda propriedade:
Dado o KET
$$|\alpha\rangle\ $$
e o KET
$$|\beta\rangle\, $$
os mesmos são ortogonais se
$$\langle \alpha|\beta\rangle\ =0.$$
► Terceira propriedade: o produto
$$\langle \alpha|\alpha\rangle\ = \langle \alpha|\alpha\rangle\ ^*$$
resulta em um número real.
► Quarta propriedade: a igualdade de
$$\langle \alpha|\alpha\rangle\geq0$$
só é válida se o KET
$$|\alpha\rangle\ $$
for nulo.
Para não ficar muito cansativo para o leitor, vamos dar continuidade sobre esta maravilhosa notação na próxima postagem. Não perca!
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