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24 de março de 2011

OPERAÇÕES COM BRA-KETS

Nas aulas anteriores foram dadas noções sobre os estados kets, seus duais (veja o estudo sobre os bras), suas notações, correspondência dual, bra-kets, operadores, propriedades do produto interno entre o bra e o ket, etc. Hoje, vamos continuar este assunto aprofundando-o mais um pouco. Tentaremos descrever por etapas, através do formalismo matemático da Mecânica Quântica, as leis probabilísticas da natureza no pequeníssimo mundo das partículas atômicas. É muito difícil explicar uma notação matemática abstrata de maneira que todos a possam entender, mas vamos tentar fazê-lo, afinal essa é uma das funções do licenciado em Física. Bons estudos!

Em todos os espaços vetoriais existem duas operações comuns: a multiplicação por um escalar e a adição de vetores. Outro aspecto de muitos espaços vetoriais é a existência da operação chamada produto interno. Já estamos familiarizados com estas operações em espaços euclidianos tridimensionais e, nesta postagem, vamos fazer analogias das mesmas com o espaço de Hilbert(H), ou seja, um espaço vetorial de dimensão infinita onde a linguagem da Mecânica Quântica pode formular-se em termos de espaço vetorial por meio de uma notação, criada por Paul Dirac, chamada de notação bra-ket.

VETOR NORMALIZADO

Sabemos que um vetor unitário (versor) em um espaço vetorial normalizado possui comprimento 1. Já temos noções sobre a  definição de produto escalar (estudo guardado no disco virtual Scribd) entre dois versores. Como exemplo veremos que, dado um vetor unitário, podemos formar um vetor normalizado da seguinte maneira:

$$\hat{\alpha}=\frac{\vec{\alpha}}{\left\|\vec{\alpha}\right\|} =\frac{\vec{\alpha}}{\sqrt{\left\alpha\right\ }},$$

ou seja, qualquer vetor não nulo (no exemplo acima, o vetor unitário) dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado.

Sendo estes dois vetores paralelos (na origem 0), com angulo teta igual a zero, obteremos, por definição de produto escalar, um número (chamado escalar), veja:

$$\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}= \alpha \alpha cos\theta=1.1.1=1.$$

Vamos fazer uma analogia do vetor unitário, do exemplo acima, com o vetor de estado ket. Dado um ket

$$|\alpha\rangle\ $$

não nulo, podemos formar um ket

$$|\tilde{\alpha}\rangle$$

normalizado da seguinte forma:

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\left( \sqrt{\frac{1}{\langle \alpha|\alpha\rangle} } \right) |\alpha\rangle=\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle$$

que equivale a

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle=\frac{|\alpha\rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}} ,$$

com a propriedade

$$\langle \tilde{\alpha} |\tilde{\alpha}\rangle=1.$$

Em geometria euclidiana a definição de módulo ou norma do versor

$${\hat{\alpha}}$$

é dada por

$$\hat{\alpha} =\left| \hat{\alpha}\right| =\sqrt{\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}}=1.$$

Fazendo analogia com a definição acima, a norma do estado quântico (ket), representado pelo vetor unitário

$$|\alpha\rangle\ $$

é dada pela expressão

$$\left| |\alpha\rangle \right| =\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}.$$

Isso nos faz deduzir que, se a norma ou magnitude de um vetor unitário é igual a 1, então

$$\langle \alpha|\alpha\rangle=1.$$

Portanto, qualquer vetor não nulo dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado. No espaço ket, apenas a direção é importante na representação de um estado físico, por isso convém que os kets usados para representar os estados sejam normalizados.

Resumindo o que já aprendemos: Um sistema físico é estudado por meio de informações oriundas de suas medições. O conjunto de todas as informações possíveis do sistema, em um certo tempo, define o seu estado quântico e todos os estados quânticos são representados por vetores não nulos em um espaço vetorial chamado espaço de Hilbert (H) que é um generalização do espaço euclidiano. Um estado quantico é representado por um vetor unitário (ket) e a soma algébrica de dois estados também é um estado. Estudamos também que a norma de um vetor unitário é igual a 1. A norma de vetores de estado não possui significado físico, portanto, todos os vetores devem ser normalizados.

Em geometria euclidiana dois vetores distintos são ortogonais quando o seu produto escalar for igual a zero. Na postagem anterior foi dado noções sobre vetores ortogonais e vimos que

$$\langle\alpha|\beta\rangle\ = 0$$

e, isso nos faz deduzir que

$$\langle\beta| \alpha\rangle\ =0.$$

OPERADORES

Vamos estabelecer uma analogia entre o conceito de função f(x) e de operador. Uma função f(x) traduz uma regra de correspondência entre dois números, ou seja, entre o x (variável independente) e y = f(x) (variável dependente). Podemos aplicar esta regra de correspondência entre vetores usando operadores. Vamos estabelecer esta regra de correspondência no espaço H (de Hilbert) com o seguinte exemplo: O operador X, ao atuar sobre o vetor-H (vetor de estado no espaço de Hilbert) chamado ket alfa, transforma este vetor no vetor-H, chamado ket gama. Veja:

$$X|\alpha\rangle\ =|\gamma\rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM KETS

Sabemos que os observáveis, no espaço vetorial, são representados por operadores. No post anterior estudamos que os operadores atuam nos kets pela esquerda.

OPERADORES IGUAIS

Se

$$X| \alpha\rangle\ =Y| \alpha\rangle\ ,$$

podemos dizer que os operadores X e Y são iguais.

OPERADOR NULO

Se

$$X| \alpha\rangle\ =0,$$

podemos dizer que o operadores X é nulo.

ADIÇÃO DE OPERADORES

Propriedade comutativa:

$$X+Y=Y+X.$$

Propriedade associativa:

$$X+(Y+Z)=(X+Y)+Z.$$

Obs: Já estudamos que um operador sempre atua em um ket pelo lado esquerdo resultando em outro ket, veja:

$$\left( X\cdot | \alpha\rangle\right) =X|\alpha\rangle\ .$$

OPERADOR LINEAR

Um operador é linear quando

$$X\left( c_{\alpha} | \alpha\rangle\ +c_{\beta } | \beta \rangle\ \right)=c_{\alpha}X | \alpha\rangle\ +c_{\beta} X|\beta \rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM BRAS

Um operador sempre atua em um bra pelo lado direito resultando em outro bra, veja:

$$\left(\langle \alpha|\cdot X\right)=\langle \alpha| X.$$

Já estudamos que

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|,$$

porém,  o ket

$$X|\alpha\rangle\ $$

e o bra

$$\langle \alpha|X$$

não são duais. Como fazê-los duais? Veremos.

OPERADOR HERMITIANO

Quantidades como energia, posição, spin, etc que podem ser medidas, são representadas por operadores chamados hermitianos (observáveis). X é denominado operador hermitiano quando

$$X=X^{\dagger},$$

onde

$$X^{\dagger}$$

é chamado adjunto de X ou adjunto hermitiano, a fim de que

$$X|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|X^{\dagger}$$

Continua com multiplicação de operadores. Não perca!

3 comentários:

Ser Universitário disse...

Parabéns pelo seu Blog!

Gostaria de fazer uma parceria com seu blog e o Portal Ser Universitário!

O Portal SU é destinado a estudantes e universitários!

Por favor entrar em contato pelo email: rodrigo[arroba]seruniversitario.com.br
ou por um dos emails do próprio site, mencionando a parceria e meu nome.

Att
Rodrigo Siqueira

Obrigado!
Abraço

Unknown disse...

Foi bem útil.

Leomar Ribeiro disse...

Excelente!!!

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

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