OPERAÇÕES COM BRA-KETS

Nas aulas anteriores foram dadas noções sobre os estados kets, seus duais (veja o estudo sobre os bras), suas notações, correspondência dual, bra-kets, operadores, propriedades do produto interno entre o bra e o ket, etc. Hoje, vamos continuar este assunto aprofundando-o mais um pouco. Tentaremos descrever por etapas, através do formalismo matemático da Mecânica Quântica, as leis probabilísticas da natureza no pequeníssimo mundo das partículas atômicas. É muito difícil explicar uma notação matemática abstrata de maneira que todos a possam entender, mas vamos tentar fazê-lo, afinal essa é uma das funções do licenciado em Física. Bons estudos!

Em todos os espaços vetoriais existem duas operações comuns: a multiplicação por um escalar e a adição de vetores. Outro aspecto de muitos espaços vetoriais é a existência da operação chamada produto interno. Já estamos familiarizados com estas operações em espaços euclidianos tridimensionais e, nesta postagem, vamos fazer analogias das mesmas com o espaço de Hilbert(H), ou seja, um espaço vetorial de dimensão infinita onde a linguagem da Mecânica Quântica pode formular-se em termos de espaço vetorial por meio de uma notação, criada por Paul Dirac, chamada de notação bra-ket.

VETOR NORMALIZADO

Sabemos que um vetor unitário (versor) em um espaço vetorial normalizado possui comprimento 1. Já temos noções sobre a  definição de produto escalar (estudo guardado no disco virtual Scribd) entre dois versores. Como exemplo veremos que, dado um vetor unitário, podemos formar um vetor normalizado da seguinte maneira:

ou seja, qualquer vetor não nulo (no exemplo acima, o vetor unitário) dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado.

Sendo estes dois vetores paralelos (na origem 0), com angulo teta igual a zero, obteremos, por definição de produto escalar, um número (chamado escalar), veja:

Vamos fazer uma analogia do vetor unitário, do exemplo acima, com o vetor de estado ket. Dado um ket

não nulo, podemos formar um ket

normalizado da seguinte forma:

que equivale a

com a propriedade

Em geometria euclidiana a definição de módulo ou norma do versor

é dada por

Fazendo analogia com a definição acima, a norma do estado quântico (ket), representado pelo vetor unitário

é dada pela expressão

Isso nos faz deduzir que, se a norma ou magnitude de um vetor unitário é igual a 1, então

Portanto, qualquer vetor não nulo dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado. No espaço ket, apenas a direção é importante na representação de um estado físico, por isso convém que os kets usados para representar os estados sejam normalizados.

Resumindo o que já aprendemos: Um sistema físico é estudado por meio de informações oriundas de suas medições. O conjunto de todas as informações possíveis do sistema, em um certo tempo, define o seu estado quântico e todos os estados quânticos são representados por vetores não nulos em um espaço vetorial chamado espaço de Hilbert (H) que é um generalização do espaço euclidiano. Um estado quantico é representado por um vetor unitário (ket) e a soma algébrica de dois estados também é um estado. Estudamos também que a norma de um vetor unitário é igual a 1. A norma de vetores de estado não possui significado físico, portanto, todos os vetores devem ser normalizados.

Em geometria euclidiana dois vetores distintos são ortogonais quando o seu produto escalar for igual a zero. Na postagem anterior foi dado noções sobre vetores ortogonais e vimos que

e, isso nos faz deduzir que

OPERADORES

Vamos estabelecer uma analogia entre o conceito de função f(x) e de operador. Uma função f(x) traduz uma regra de correspondência entre dois números, ou seja, entre o x (variável independente) e y = f(x) (variável dependente). Podemos aplicar esta regra de correspondência entre vetores usando operadores. Vamos estabelecer esta regra de correspondência no espaço H (de Hilbert) com o seguinte exemplo: O operador X, ao atuar sobre o vetor-H (vetor de estado no espaço de Hilbert) chamado ket alfa, transforma este vetor no vetor-H, chamado ket gama. Veja:

OPERADORES ATUANDO EM KETS

Sabemos que os observáveis, no espaço vetorial, são representados por operadores. No post anterior estudamos que os operadores atuam nos kets pela esquerda.

► OPERADORES IGUAIS

Se

podemos dizer que os operadores X e Y são iguais.

► OPERADOR NULO

Se

podemos dizer que o operadores X é nulo.

► ADIÇÃO DE OPERADORES

Propriedade comutativa:

Propriedade associativa:

Obs: Já estudamos que um operador sempre atua em um ket pelo lado esquerdo resultando em outro ket, veja:

OPERADOR LINEAR

Um operador é linear quando

OPERADORES ATUANDO EM BRAS

Um operador sempre atua em um bra pelo lado direito resultando em outro bra, veja:

Já estudamos que

porém,  o ket

e o bra

não são duais. Como fazê-los duais? Veremos.

OPERADOR HERMITIANO

Quantidades como energia, posição, spin, etc que podem ser medidas, são representadas por operadores chamados hermitianos (observáveis). X é denominado operador hermitiano quando

onde

é chamado adjunto de X ou adjunto hermitiano, a fim de que

Continua com multiplicação de operadores. Não perca!