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20 de março de 2011

NOTAÇÃO DE DIRAC - INTRODUÇÃO

Este estudo é dedicado aos nobres alunos do 6º período de Física que desejam revisar a notação de Dirac de uma maneira bem elementar, com algumas dicas de fácil aprendizado. Uma vez que já passaram pelas disciplinas Estrutura da Matéria, Mecânica Quântica I, Física Matemática I e II não terão dificuldades em revisar esse assunto.

Começaremos estudando noções sobre o vetor de estado ket. O próximo estudo será sobre o elemento dual do ket, ou seja, o bra e, em seguida, resolucionaremos exercícios relacionados com os brakets. Utilizamos para pesquisa e fonte o livro Modern Quantum Mechanics, cujo autor é J. J. Sakurai. Vamos tentar traduzir esta notação para uma linguagem mais acessível aos alunos. As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Um sistema em Física quântica pode se referir a um próton, a um elétron, a um sistema de partículas isolado ou que interagem entre si, a um grupo de moléculas, a um átomo de hidrogênio etc. O estado físico de um dado sistema são todas as informações possíveis que podemos obter desse sistema (exemplo de estado físico: um átomo com orientação de spin definida) e que pode ser representado por uma função complexa de onda ou por um vetor de estado, que é um vetor contido em um espaço vetorial complexo.

Experimentos de Física Quântica comprovam que spins, por exemplo, não podem ser representados por um espaço vetorial em três dimensões. A notação matemática usada para representar esses estados físicos foi  fundamentada em espaços vetoriais complexos chamados kets e introduzidas por Paul Dirac.

Portanto, para resumir o que foi exposto até agora, um estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor de estado, chamado ket, que contém todas as informações possíveis sobre o estado de um sistema físico.

O vetor do espaço dos estados, kets, é representado pelo símbolo

$$|\ \rangle\ $$

e um elemento do dual desse espaço, chamado de bra, é representado pelo símbolo

$$\langle\  |.$$

Exemplos: para cada estado ket,

$$| \alpha \rangle\,$$

existe um vetor estado, bra, representado por

$$\langle\alpha|.$$

E, o produto escalar desses estados é representado por

$$\langle\alpha|\alpha\rangle\ ,$$

sendo denominado de brakets. Percebemos que nesta notação não simbolizamos um vetor em negrito ou com uma seta em cima da letra, pois se tata de um espaço vetorial abstrato, cujos vetores  saõ os kets. Notamos também que, geralmente, os kets são representados por letras gregas.

Os operadores são ordens ou instruções matemáticas que podem ser aplicados em funções podendo ser representados por letras latinas maiúsculas, exemplos:os operadores observáveis(momento, componentes de spin etc) usualmente representados letras A, B, C, etc e os operadores da classe geral são representados pelas letras X, Y, Z, etc. Os operadores podem também ser representados por letras com acento cincunflexo, exemplos: Ê, Ô, Â, etc. Um operador sempre atua sobre um ket pelo lado esquerdo.

Um operador atuando em um ket resulta em outro ket, veja:

$$A.|\alpha \rangle\  =A|\alpha \rangle\ .$$

Nesta notação, os números complexos serão representados por letras latinas minúsculas, exemplos: a,  b, c, etc. O produto de um ket por um número complexo a resulta em um novo ket, veja:

$$a|\alpha  \rangle\ =|\alpha  \rangle\ a.$$

Se a = 0, temos como resultado um ket nulo.

Neste outro exemplo:

$$c|\alpha \rangle\ =|\gamma \rangle\ ,$$

se c = 0, também temos como resultado um ket nulo.

Se somarmos dois kets resultará um novo ket, veja:

$$|\beta \rangle\ +|\alpha \rangle\ =|\eta \rangle\ .$$

Os kets especiais, muito usados em situações problemas de Mecânica Quântica, são chamados de autokets do operador observável A e são representados por letras minúsculas com linhas da seguinte maneira:

$$|\ a' \rangle\,|\ a'' \rangle, |\ a''' \rangle\,...$$

com a seguinte propriedade

$$A|\ a' \rangle\ = a'|\ a' \rangle\,$$

$$A|\ a'' \rangle\ = a''|\ a'' \rangle\,$$

$$A|\ a''' \rangle\ = a'''|\ a''' \rangle\, ....$$

onde as letras a', a'' e a''' representam números. Convém notar que, quando aplicamos o operador A em autokets, resultam nos mesmos kets, porém com números (a', a'', a''') multiplicativos.

Os autovalores do operador A podem ser representados da seguinte maneira:

$$\left\{a', a'', a''',...\right\}$$

ou, mais compactadamente,
$$\left\{a'\right\}.$$

Assim como o estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor de estado, chamado ket, um estado fisico correspondente a um autoket é chamado autoestado.

Obs: qualquer ket arbitrário
$$| \alpha \rangle\,$$

pode ser escrito como
$$|\alpha \rangle\ =\sum \limits_{a'} c_{a'}| \ a' \rangle\ .$$

Para não sobrecarregar o blog com mais equações, vamos deixar o estudo do bra e as aplicações desta notação para a próxima postagem. Não perca!

1 comentários:

Anônimo disse...

Muito bom.
Ajudou bastante

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No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço aos leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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