EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS DO PRIMEIRO GRAU – EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Esta é uma oportunidade para os meus alunos da EJA (Educação de Jovens e Adultos) aprenderem sobre equações fracionárias do 1º grau. A matemática pode ficar muito interessante e divertida para você, basta que haja amor e dedicação aos estudos de situações problemas que envolvem números. Bons estudos.

Desafio 1

    * Determine a solução do sistema de equações fracionárias do 1° grau:

$$\frac{3x}{y} =1$$

$$\frac{2}{x} =\frac{5}{y-1} \cdot $$

Ao solucionar o sistema de equações temos que fazer algumas considerações: o y, no denominador, da primeira equação deve ser diferente de zero pois, se y = 0 veja o que acontece:

$$\frac{3x}{0} $$
não podemos dividir qualquer número por zero.

O x do primeiro termo da segunda equação também deve ser diferente de zero pois, se  
x = 0 veja o que acontece:

$$\frac{2}{0}$$
não pode.

O y do segundo termo da segunda equação deve ser diferente de um pois, se y = 1 veja o que acontece:

$$\frac{5}{1-1} =\frac{5}{0}$$
não pode.

Portanto, vamos considerar que

$$y\ne 0,$$

$$x\ne 0$$

 e

$$y\ne 1.$$

Primeiro passo: reduzir as equações fracionárias para sua forma mais simples.

Obs: Existe o número 1, subentendido, no denominador do segundo termo da equação

$$\frac{3x}{y} =1,$$

ou seja,

$$\frac{3x}{y} =1\rightarrow \frac{3x}{y} =\frac{1}{1}\cdot$$

O produto (multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos:

$$3x.1 = y.1\rightarrow 3x=y.$$

Assim,

$$3x=y$$

é a forma mais simples da primeira equação fracionária do nosso sistema.

Agora vamos reduzir

$$\frac{2}{x} =\frac{5}{y-1}$$

para sua forma mais simples.

O produto (multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos:

$$2\left(y-1\right)=5x \rightarrow 2y-2=5x\rightarrow 2y=5x+2.$$

Assim,

$$2y=5x+2$$

é a forma mais simples da segunda equação fracionária do sistema dado.

Observe que o nosso sistema de equações fracionárias se transformou nas equações reduzidas

$$3x=y.$$

e

$$2y=5x+2.$$

Segundo passo: Achar o valor da incógnita x.

- Vamos isolar o valor de y na primeira equação. Opps! Ele já está isolado e equivale a 3x.

- Usando o método algébrico da substituição (aula passada), vamos substituir o valor de y (que é 3x) na segunda equação do sistema:

$$2(3x) = 5x +2\rightarrow 6x=5x+2\rightarrow 6x-5x=2\rightarrow x=2.$$

Portanto, já temos o valor de x, que é igual a 2.

Terceiro passo: Achar o valor da incógnita y.

- Vamos substituir o valor de x encontrado, que é igual a 2, em qualquer uma das equações do nosso sistema. Vamos substituir x na equação mais fácil para o aluno trabalhar que é

$$3x=y.$$

Assim,

$$3(2)=y\rightarrow 6=y$$

ou

$$y =6.$$

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,6), ou seja,

$$S=\left\{ (2,6)\right\}.$$