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sexta-feira, 24 de dezembro de 2010

DILATAÇÃO LINEAR

Neste trabalho trataremos apenas a dilatação linear. As dilatações superficiais e volumétricas serão assuntos de um próximo tópico. Ao longo do texto o estudante de ciências exatas vai perceber que é indispensável os conhecimentos adquiridos sobre matemática básica, especialmente nos assuntos sobre transformação de unidades de comprimento, multiplicação de números decimais, regra de três simples, porcentagem e notação científica. As equações são escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas no navegador Firefox. Você pode estudar diante do computador e ao mesmo tempo rabiscar os exercícios em um caderno (ou borrão) e isso, pode se tornar prazeroso e enriquecedor para você. Bons estudos.

A DILATAÇÃO LINEAR

Quanto maior a temperatura de um corpo, maior será sua vibração molecular o que ocasiona o aumento da distância entre suas partículas e, consequentemente, o aumento (a dilatação), no tamanho desse corpo. Por exemplo, quando o dia está bem quente podemos notar que nos fios dos postes aparecem pequenas concavidades voltadas para cima ou "barrigas" ou "flechas". Estas "barrigas" (dilatações) são maiores em dias quentes e menores em dias frios.
Dilatações nos fios de postes.
A galera que trabalha em ferrovias, que já teve a chance de ver ou andar por sobre os trilhos, pode perceber que entre suas extremidades são deixados pequenos espaços (juntas de expansão ou de dilatação) com o objetivo de permitir sua dilatação, quando houver um aumento de temperatura, e sua contração, quando houver uma diminuição de temperatura. Isso evita a deformação dos trilhos.
Pequenos espaços entre trilhos
Na pontes feitas de concreto também são deixados espaços em intervalos regulares para suportar a dilatação e contração do concreto devido a variação (mudança) de temperatura ou, também, devido ao movimento das pontes. Isso evita a deformação das pontes.

A dilatação é muito usado no nosso cotidiano. Um outro exemplo é podermos retirar a tampa de metal de um vidro: mergulhando a tampa em água quente, a mesma dilata-se mais do que o recipiente de vidro, ou seja, fica um pouco mais folgada facilitando sua retirada.

Vamos exercitar sobre a dilatação linear, ou seja, vamos analisar a dilatação em uma única dimensão.

A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO DA BARRA

Na prática, sabemos que a dilatação ocorre nas três dimensões (largura, altura e comprimento), porém, nos exercícios seguintes analisaremos a dilatação em apenas uma dimensão, por isso o nome dilatação linear. Caderno e lápis nas mãos.

1ª) Um trilho de ferro, com comprimento inicial de 1000 m, ao passar de uma temperatura de 0°C para uma temperatura de 42°C, obteve quantos metros de aumento no seu comprimento, dado que seu coeficiente de dilatação linear é 

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

O fenômeno correlacionado a este problema é o seguinte:

- Antes da barra sofrer um aumento no seu comprimento, ela está a uma temperatura inicial $$(T_{I})$$ igual a 0°C e com um comprimento inicial $$ (L_{I} ) $$ igual a 1000 m.

- Depois de um certo tempo, o comprimento da barra fica maior $$ (\Delta L) $$, ou seja, ela sofre uma dilatação e esta, depende do coeficiente de dilatação linear $$ (\alpha ) $$ que está relacionado à natureza do seu material, no caso o ferro.

Dados:

O comprimento inicial (em metros) é dado por:

$$L_{I} =1000m = 10^{3}m$$;

A temperatura inicial equivale a:

$$T_{I} =0^\circ C $$;

A temperatura final equivale a:

$$T_{F} =42^\circ C$$;

A variação da temperatura é:

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =42^\circ C -0^\circ C= 42^\circ C$$;

O coeficiente de dilatação linear do ferro equivale a:

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

Eis a questão: quanto vale a variação do comprimento $$ (\Delta L) = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe}.\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos

$$\Delta_{L} = 10^3.12.10^{-6}.42 =12.10^{-3} =504.0,001=0,504m.$$

Portanto, o aumento (variação) do comprimento do trilho é

$$\Delta_{L} =0,504m.$$

Se o problema pedisse a variação do comprimento em cm?

No nosso minicurso sobre transformações de unidades de medidas de comprimento aprendemos a transformar metros para centímetros. Portanto, o resultado seria

$$\Delta_{L} =50,4cm.$$

Obs: como calcular o comprimento $$L_{F}$$ da barra? A diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial da barra é dado por

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I} \rightarrow 1000m=L_{F} -0,504m.$$

Portanto, 

$$L_{F} =1000m+0,504m=1000,504m.$$

O COMPRIMENTO DA BARRA

O fenômeno correlacionado ao problema seguinte é semelhante ao problema anterior. Porém, neste caso, pede-se o comprimento da barra $$(L_{F})$$ e não a variação do comprimento da barra $$(\Delta L).$$ Vamos à prática:

2ª) Uma barra de ferro apresenta, a 10°C, um comprimento de 100 cm. Calcule o comprimento da barra a 90°C, dado que 

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$


Dados:

$$L_{I} =100cm = 1m$$;

$$T_{I} =10^\circ C$$;

$$T_{F} =90^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =90^\circ C -10^\circ C= 80^\circ C$$;

$$\alpha _{Fe} =1,2.10^{-5}^{\circ}C^{-1} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}$$

$$\Delta L = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe} .\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$\Delta_{L} = 1.12.10^{-6}.80 =960.10^{-6} =96.10^{1}.10^{-6}$$

Portanto, 

$$\Delta_{L} =96.10^{-5}=96.0,00001.$$

Se o estudante se empenhou em nosso estudo, em forma de minicurso, sobre multiplicação de números decimais  não terá dificuldades em resolver esta última multiplicação. Portanto, a variação de comprimento que a barra sofreu foi bem pequena, ou seja, equivalente a

$$\Delta_{L} = 0,00096m.$$

Agora vamos calcular o comprimento $$L_{F}$$ ou $$L$$ da barra:

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I}\rightarrow 0,00096m=L_{F}-1m\rightarrow$$

$$L_{F} =0,00096m+1m=1,00096m.$$

O PERCENTUAL DE DILATAÇÃO

Como tirar percentualmente a dilatação sofrida pela barra? Vamos usar uma regra de três simples: A barra intacta sem dilatação equivale a 100%. A barra, após uma variação de comprimento, equivale a quantos por cento (que vamos chamar de x)?

3ª) O comprimento de uma barra de ferro aumenta quando ocorre uma variação de temperatura de 40°C para 140°C. Determine percentualmente a dilatação sofrida pela barra.

Dados:

$$T_{I} =40^\circ C$$;

$$T_{F} =140^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =140^\circ C -40^\circ C= 100^\circ C$$;

$$\alpha _{Fe} =1,2.10^{-5}^{\circ}C^{-1} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}$$;

$$\Delta L=?$$.

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe} .\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$\Delta_{L} = L_{I} .12.10^{-6}.10^{2}=12.10^{-4}.$$
 Portanto,

$$\Delta_{L} =12.0,0001=0,0012.L_{I}.$$

Usando os conhecimentos adquiridos no minicurso sobre regra de tres simples-exercícios resolvidos, o estudante não terá dificuldades em realizar esta operação:

$$L_{I}\rightarrow 100%$$

$$0,0012L_{I}\rightarrow x$$

Portanto,

$$x= \frac{100.0,0012L_{I}}{L_{I}} =0,12%.$$

Portanto, a dilatação sofrida pela barra foi em torno de 0,12%.

Usando os conhecimentos adquiridos no minicurso sobre porcentagem-exercícios resolvidos, o estudante percebe que houve pouco aumento percentual, ou seja, 0,12% = 0,12/100 = 0,0012.

O COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR

O coeficiente de dilatação linear é tabelado, está relacionado à natureza da substância que forma o corpo e nos permite comparar qual substância se dilata ou se contrai mais facilmente, ou seja, quanto maior for seu valor, mais facilidade terá o material para aumentar seu comprimento quando aquecido, ou diminuir seu comprimento, quando esfriado. Por exemplo, podemos citar duas substâncias, o chumbo e o alumínio, cujos coeficientes de dilatação linear são, respectivamente,

$$\alpha _{Pb} ={27.10^{-6}^\circ C$$

e

$$\alpha_{Al} = {22.10^{-6}^\circ C.$$

Percebemos que o chumbo, cujo símbolo é Pb, comparado com o alumínio, tem mais facilidade para aumentar seu comprimento quando aquecido, ou diminuir seu tamanho, quando esfriado.

4ª) O comprimento de uma barra feita de um determinado material equivale 10 m, em uma temperatura equivalente a 40°C. Após um determinado tempo, seu comprimento é de 10,004 m, em uma temperatura equivalente a 240°C. Determine o coeficiente de dilatação linear deste material.

Dados:

$$T_{I} =40^\circ C$$;

$$T_{F} =240^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =240^\circ C -40^\circ C= 200^\circ C = 2.10^{2}^\circ C$$;

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I} =10,004m-10m=0,004m=4.10^{-3}m$$;

$$\alpha _{Subst} = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Subst}.\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$4.10^{-3} = 10 .\alpha _{Subst}.2.10^{2} \rightarrow 4.10^{-3} =2.10^{3} .\alpha _{Subst}.$$

Portanto,

$$\alpha _{Subst}=\frac{4.10^{-3}}{2.10^{3}}=2.10^{-6}^\circ C,$$

ou, se o estudante se esforçou para prender os assuntos do nosso minicurso sobre notação científica e Exercícios resolvidos sobre notação científica não terá dificuldades em trabalhar a expressão

$$\alpha _{Subst}=2.10^{-6}^\circ C =0,2.10^{-5}^\circ C. $$

Estes são bons fundamentos para você poder se aprofundar neste assunto tão maravilhoso. Com esta sólida base de conhecimentos você pode estudar e encarar com mais tranquilidade exercícios mais complexos. sobre o assunto. Como fica pesado para o blog suportar tantas equações, este estudo sterá continuação em forma de minicurso. Se você tem interesse, escreva-me e solicite um exemplar. Espero ter ajudado você. Bons estudos!

5 comentários:

kelly_pasqualim disse...

gostei muito obrigado me ajudou!!! beijus

Anônimo disse...

Muito bom mesmo!

vanessa santos disse...

muito bommmmmmm

cleiton silva disse...

bem legal

google disse...

cotinue ajudando as pessoas e Deus continuara lhe abençoando.
Míller de jesus

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.