DEDUZINDO A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

Aos 19 anos Joseph Louis Lagrange (1736-1813) solucionou um dos problemas mais antigos da geometria, o Problema Isoperimétrico e, esta solução foi enviada para a apreciação de Leonhard Euler (1707-1783) em 12 agosto de 1755. Das constantes correspondências científicas entre Euler e Lagrange surgiu o cálculo das variações que foi introduzido no livro escrito por Lagrange, entre 1772 e 1788, intitulado Méchanique Analytique, ou seja, uma reformulação da mecânica clássica chamada de Mecânica Lagrangiana.

Albert Einstein em 1920. "A leitura após certa idade distrai excessivamente o espírito humano das suas reflexões criadoras. Todo o homem que lê de mais e usa o cérebro de menos adquire a preguiça de pensar." Albert Einstein.

Dando continuidade ao nosso estudo sobre funcionais, nesta etapa chegaremos à equação de Euler-Lagrange.

3º) Ache a condição de extremo para o seguinte funcional

$$F=F\left( y(x), y'(x),x \right).$$

Podemos escrever o funcional acima da seguinte maneira

$$I=I\left[ y,y'],$$

que é composto por uma integral que depende da função y(x) e de sua derivada y'(x), ou seja, da forma

$$I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(y(x),y'(x),x)dx.$$

Sua correspondente variação infinitesimal vai ser dada por

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ F(y+\delta y,y'+\delta y',x)-F(y,y',x)\right]dx.$$

Expandindo em série de Taylor o termo

$$F(y+\delta y,y'+\delta y',x),$$

em torno de y, usando a fórmula de Taylor,

$$f(y)=F(y,y',x)+\left[ \frac{\partial f}{\partial y}(y-y_{0})+\frac{\partial f}{\partial y'}(y'-y_{0}) \right ]+$$

$$\frac{F}{2} \left [ \frac{\partial }{\partial y}( y-y_{0})+ \frac{\partial }{\partial y'}\ (y'-y_{0})\right] ^2+....$$

sendo que, no caso, os valores

$$f(y)=F(y+\delta y,y'+\delta y',x), $$

$$y=y_{0} +\delta y\rightarrow y-y_{0}=\delta y$$

e

$$y'=y_{0} +\delta y'\rightarrow y'-y_{0}=\delta y'$$

serão substituídos na fórmula de Taylor e nos fornecerá

$$F(y+\delta y,y'+\delta y',x)=F(y,y',x)+\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' +$$

$$\frac{F}{2} \left( \frac{\partial }{\partial y}\delta y+ \frac{\partial }{\partial y'}\delta y' \right) ^2+....$$

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, o resultado da expansão é expressa por

$$F(y+\delta y,y'+\delta y',x)=F(y,y',x)+\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'$$

que substituídos na integral dada, resulta em

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ F(y,y',x)+\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'-F(y,y',x)\right]dx$$

que equivale a

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ \frac{\partial F}{\partial y}(\delta y) +\frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y') \right] dx$$

Vamos trabalhar com o segundo termo da integral

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y')dx,$$

que pode ser escrito como

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta\frac{dy}{dx})dx, $$

com a seguinte observação: na operação

$$\delta \frac{d}{dx}=\frac{d}{dx} \delta,$$

x não varia.

Portanto,

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial F}{\partial y'}(\delta\frac{dy}{dx})dx=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial F}{\partial y'}\frac{d}{dx}(\delta y) dx.$$

Vamos Integrar por partes a última expressão. Impondo que

$$u=\frac{\partial F}{\partial y'} \rightarrow du=\frac{d}{dx} \left(\frac{\partial F}{\partial y'} \right)dx$$

e que

$$v=\delta y\rightarrow dv=d(\delta y).$$

Substituindo estes valores na fórmula que integra por partes,

$$\int_{x_{1}} ^{x_{2}}udv=\int_{x_{1}} ^{x_{2}} uv-\int_{x_{1}} ^{x_{2}} vdu,$$

resulta em

$$\int_{x_{1}} ^{x_{2}}\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{d}{dx}(\delta y)dx=\int_{x_{1}} ^{x_{2}}\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y\ -\int_{x_{1}} ^{x_{2}} \delta y\frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'}dx\rightarrow$$

$$\left[ \frac{\partial F}{\partial y'}\delta y\ \right]_{x_{1} }^{x_{2} } -\int_{x_{1}} ^{x_{2}} \delta y\frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'}dx=-\int_{x_{1}} ^{x_{2}} \delta y\frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'}dx,$$

pois, a variação arbitrária

$$\delta y$$

se anula em x1 e x2, de modo que

$$\delta y(x_{1}) =\delta y(x_{2})=0.$$

Portanto, o segundo termo da integral, ou seja,

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y')dx$$

se transformou em

$$-\int_{x_{1}} ^{x_{2}} \delta y\frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'}dx,$$

valor que substituído em

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ \frac{\partial F}{\partial y}(\delta y) +\frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y') \right] dx$$

nos fornecerá

$$\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'} \right]\delta y dx.$$

A condição de extremo

$$\delta I=0$$

implica que

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'} \right]\delta y dx=0$$

e, consequentemente, que

$$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\ \frac{\partial F}{\partial y'}=0,$$

que é chamada equação de Euler-Lagrange e condição de extremo para o funcional

$$I=I\left[ y,y'].$$

AGUARDE A CONTINUAÇÃO.