DEDUZINDO A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

Aos 19 anos Joseph Louis Lagrange (1736-1813) solucionou um dos problemas mais antigos da geometria, o Problema Isoperimétrico e, esta solução foi enviada para a apreciação de Leonhard Euler (1707-1783) em 12 agosto de 1755. Das constantes correspondências científicas entre Euler e Lagrange surgiu o cálculo das variações que foi introduzido no livro escrito por Lagrange, entre 1772 e 1788, intitulado Méchanique Analytique, ou seja, uma reformulação da mecânica clássica chamada de Mecânica Lagrangiana.

Albert Einstein em 1920. "A leitura após certa idade distrai excessivamente o espírito humano das suas reflexões criadoras. Todo o homem que lê de mais e usa o cérebro de menos adquire a preguiça de pensar." Albert Einstein.

Dando continuidade ao nosso estudo sobre funcionais, nesta etapa chegaremos à equação de Euler-Lagrange.

3º) Ache a condição de extremo para o seguinte funcional

Podemos escrever o funcional acima da seguinte maneira

que é composto por uma integral que depende da função y(x) e de sua derivada y'(x), ou seja, da forma

Sua correspondente variação infinitesimal vai ser dada por

Expandindo em série de Taylor o termo

em torno de y, usando a fórmula de Taylor,

sendo que, no caso, os valores

e

serão substituídos na fórmula de Taylor e nos fornecerá

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, o resultado da expansão é expressa por

que substituídos na integral dada, resulta em

que equivale a

Vamos trabalhar com o segundo termo da integral

que pode ser escrito como

com a seguinte observação: na operação

x não varia.

Portanto,

Vamos Integrar por partes a última expressão. Impondo que

e que

Substituindo estes valores na fórmula que integra por partes,

resulta em

pois, a variação arbitrária

se anula em x1 e x2, de modo que

Portanto, o segundo termo da integral, ou seja,

se transformou em

valor que substituído em

nos fornecerá

A condição de extremo

implica que

e, consequentemente, que

que é chamada equação de Euler-Lagrange e condição de extremo para o funcional

AGUARDE A CONTINUAÇÃO.