Como transformar várias unidades de medida de tempo

O aluno que estuda Ciências exatas, principalmente a Física, precisa conhecer as unidades de medida de tempo para poder empregá-las em cálculos que as exigem. Nesta aula vamos aprender a transformar horas em segundos, minutos em segundos, horas em minutos, horas em minutos e segundos, segundos em horas, 1 segundo equivale a quanto da hora, 1 minuto equivale a quanto da hora, 1 segundo equivale a quanto do minuto, transformar km/h em km/s, km/h em m/s, m/s em km/h, milissegundos em segundos, microssegundos em segundos, nanossegundos em segundos e picossegundos em segundos. Para melhor visualização da aula é necessário ter instalado no seu computador o Adobe Flash Player. O navegador mais adequado para a visualização desse blog é o Mozila Firefox. Após clicar no link (botão) abaixo, abrirá a postagem na qual você poderá Clicar em Fullscreen e depois em Zoom (+) para visualizar a aula em tela cheia. Bons estudos e boa sorte!

Aprendendo a transformar unidades de medida de tempo

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

OS PASSOS DA DIVISÃO

Os professores, em sala de aula, ensinam variados métodos de como fazer uma divisão, uns ensinam o método breve (curto), muito usado no 6º ano (5ª série) do fundamental, outros ensinam o método longo e outros o método americano. A verdade é que nas salas de aula, tanto do ensino médio como do fundamental, existem bem poucos alunos que sabem, realmente, dividir. Com a chegada dos celulares o desinteresse cresceu assustadoramente. Poucos alunos querem fazer contas usando a caneta e caderno. Será que isso é bom para a sociedade? Vamos lembrar que em concursos, no ENEM, por exemplo, não se usa a calculadora do celular.

Muitos projetos que vejo por aí enfatizam muito a dança, a diversão, gincana, passeios, etc. Porém, o sistema educacional deveria entregar também trabalhos de base, como esse que posto aqui, aos alunos em forma de projetos, pois as instituições de ensino sabem que a falta de matemática básica é uma das carências dos alunos. Fazer, por exemplo, mini cursos, passo a passo e na linguagem do aluno, ajudaria muito as escolas públicas.

Vamos lembrar, novamente, que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Portanto, se você recebe esse estudo por e-mail, no Brasil, em Portugal, Angola e países vizinhos é bom visualizar as equações no Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

Se você já sabe dividir, parabéns! Mas saiba que, tanto para o aluno aprender como para o professor ensinar como dividir é um processo demorado e trabalhoso - quem vive nas salas de aula sabe disso. O processo de ensinar, a engenharia didática, a linha de frente, o trabalho de base e braçal com a sala requer muita paciência por parte do educador. O professor não pode falar difícil senão o aluno não aprende, sente pavor de contas e assim, começam os bloqueios na aprendizagem do aluno. Sem contar que existem os alunos que não querem aprender o assunto. Como proceder? Como construir esse conhecimento? O processo que vamos descrever abaixo talvez amenize essa situação é o método longo da divisão, mas com o processo algorítmico bem detalhado, espero que ajude alguém. Esse método é de grande utilidade e tem ajudado muito as pessoas com as seguintes características:

• Possuem muita dificuldade em dividir;

• Nunca conseguiram entender o método da divisão e, como consequência, nunca aprenderam o método curto;

• Pais e mães que buscam uma metodologia de ensino sobre divisão para poder aprender com calma e assim, ensinar seus filhos;

• Professores que gostariam de ensinar para os seus queridos alunos uma técnica branda, divertida e produtiva no ensino da divisão;

• Alunos que realmente possuem interesse em aprender o assunto e dar um show no quadro branco ou verde para toda a sala;

• Para alunos determinados em vencer as olimpíadas de matemática;

• Universitários(as) que nunca aprenderam de fato a dividir e carregam aquela insegurança e, no futuro, não vão poder ensinar divisão aos seus filhos que serão, talvez, futuros físicos, médicos e engenheiros;

• Alunos do nível médio que fingem que sabem dividir, usam muito o celular para fazer contas e tiram notas baixíssimas em matemática, física e química, pois tais matérias exigem que o aluno saiba o processo de divisão;

• Aqueles que já sabem dividir, mas querem se aprofundar mais no assunto; 

• Meninos(as) que ficaram de recuperação em assuntos que envolvem divisão. Note que a maioria dos assuntos em matemática envolvem divisão;

• Alunos que passaram de ano sem saber o método da divisão. Se tais alunos ainda possuem um pouco de interesse no método e esperança em aprendê-lo, mãos à obra.

No seu dia a dia escolar o aluno se depara com divisões de números da ordem do milhar ou de dezenas de milhar por número da ordem da dezena, com zero intercalado no quociente. Veja exemplos: 

1º) Faça a seguinte divisão 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{}& 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & & & & & & & & & \\ & & & & & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Obs: esse pequeno estudo faz parte de um eBook que estou escrevendo sobre os passos da divisão, para os alunos da comunidade que um dia, talvez, se tornarão físicos e engenheiros, mestres e doutores, segundo o desejo dos seus corações. No eBook teremos muitas contas resolvidas passo a passo, como veremos aqui, com várias etapas e processos de aprendizagem. É muito trabalhoso para mim digitar essas equações. Como o blog não aguenta essas grandes equações, faremos apenas dois exemplos.

Inicialmente vamos separar, com um apóstrofo ('), os primeiros algarismos (51) dos demais, pois sua representação (o número 51) deve ser maior ou igual ao divisor (25). No caso, podemos notar que 51 é maior que 25. Portanto, a nossa divisão fica representada assim: 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1' & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & & & & & & & & & \\ & & & & & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Você pode notar que o 1 (do 51) ficou abaixo de C (centenas de unidades simples ou centenas), portanto, podemos lê o 51 assim: 51 centenas. Segue que 51 centenas dividido por 25 resultam em 2 C e, 2 C vezes 25 é igual a 50 C. Note que 50 C para 51 C dá 1C, ou seja, 51 - 50 = 1. Atenção: somente depois desse passo, podemos abaixar o 7. Veja: 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1' & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & & \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Somente depois de baixar o 7, fazemos a pergunta: o novo dividendo (17) é maior ou igual ao divisor (25)? Não é maior e nem é igual, é menor. E agora? Cuidado, sempre que a resposta for não, iremos intercalar um zero no quociente. Veja os passos: o número 7 (do 17) ficou abaixo de D (dezenas), portanto, lê-se 17 dezenas dividido por 25 dá 0 dezenas. Coloca-se esse zero (0) intercalado no quociente. Segue que 0 dezenas vezes 25 dá 0 e, 0 para 17 dá 17 (17 - 0 = 17). Depois dessa etapa, abaixa-se o 5. Já podemos retirar o tracinho (apóstrofo) do 51. Veja: 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & 0 & \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ & & - & & 0 & & & & & \\ \cline{4-5} & & & 1 & 7 & 5 & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o 5, fazemos a pergunta: o novo dividendo (175) é maior ou igual ao divisor (25)? Sim, é maior. O 5 (do 175) ficou abaixo de U (unidades simples), portanto lê-se 175 unidades dividido por 25 dá 7 unidades. Coloca-se esse 7 no quociente. Segue que 7 vezes 25 dá 175 e, 175 para 175 dá 0, Pergunta final: tem algum outro número para baixar? Não. Portanto, é uma divisão exata pois o resto é igual a zero.

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & 0 & 7 \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ & & - & & 0 & & & & & \\ \cline{4-5} & & & 1 & 7 & 5 & & & & \\ & & - & 1 & 7 & 5 & & & & \\ \cline{4-6} & & & & & 0 & & & & \\ \end{tabular}$ 

2º) Faça a seguinte divisão

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

Vamos separar, com um apóstrofo ('), os primeiros algarismos (20) dos demais, pois sua representação (o número 20) deve ser maior ou igual ao divisor (20). No caso, podemos notar que o 20 do dividendo é igual  ao 20 do divisor. Portanto, a nossa divisão fica representada assim: 

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0' & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

O zero (do 20) ficou abaixo do M (unidade de milhar, milhar ou mil), portanto a leitura é: 20 mil ou 20 unidades de milhar. Segue que 20 mil dividido por 20 resultam em 1 milhar (mil) e, 1 mil vezes 20 é igual a 20 milhar. Note que de 20 para 20 dá 0. Depois desse passo abaixe o segundo 0.  Veja 

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0' & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & & & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o segundo 0 (zero), fazemos a pergunta: o novo dividendo (0) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar um zero no quociente, veja os passos: o zero(0) ficou abaixo de C (centena), portanto lê-se 0 centenas dividido por 20 dá 0 centenas, o qual é intercalado no quociente. Segue que 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 0 dá 0. A seguir abaixa-se o outro 0 (note que será o terceiro 0). Veja 

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o terceiro 0, fazemos a pergunta: o novo dividendo (0) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar mais um zero no quociente, veja os passos: o 0 ficou abaixo de D (dezena), portanto lê-se 0 dezenas dividido por 20 dá 0 dezenas. Coloca-se o zero (0) intercalado no quociente. Segue que esse 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 0 dá 0. A seguir abaixa-se o 4. Veja:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & 0 & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ & & & - & 0 & & & & & & \\ \cline{5-5} & & & & 0 & 4 & & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o 4, fazemos a pergunta: o novo dividendo (4) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar outro zero no quociente, veja os passos: o 4 ficou abaixo de U (unidade), portanto lê-se 4 unidades dividido por 20 dá 0 unidades e, esse 0 é intercalado no quociente. Segue que esse 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 4 dá 4. Pergunta final: tem algum outro número para baixar? Não. Segue que o resto, no caso é 4. Como o resto é diferente de zero a divisão é não exata. Veja:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ & & & - & 0 & & & & & & \\ \cline{5-5} & & & & 0 & 4 & & & & & \\ & & & & - & 0 & & & & & \\ \cline{6-6} & & & & & 4 & & & & & \\ \end{tabular}$

Bons estudos e sucesso aí!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

MINICURSO SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Sejam todos bem-vindos ao minicurso sobre notação científica. Este minicurso foi escrito, com muita paciência e boa vontade, para todas as pessoas que, de alguma forma, irão aplicar esses conhecimentos no seu cotidiano e para alunos que possuem certas dificuldades em trabalhar com números. Enfim, para todos aqueles que querem vencer nos estudos e na vida, passar em um concurso, arrumar um bom emprego e cursar uma universidade.

A pedido dos alunos do nível fundamental, da EJA, técnico e médio, temos mais um minicurso digitado em nosso blog que tem auxiliado centenas de pessoas. A técnica ou metodologa utilizada aqui é a prática e a repetição, ou seja,  o aluno estuda com certo interesse uma questão e, após entendê-la, tenta refazê-la no seu caderno. Ao longo do minicurso o aluno aplica o mesmo racicínio usados nas questões anteriores. O minicurso está dividido em quatro tópicos:

1º TÓPICO:

COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

Clique na figura:

2º TÓPICO:

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Clique na figura:

3º TOPICO:

COMO DESLOCAR A VÍRGULA EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Clique na figura:

4º TÓPICO:

NOTAÇÃO CIENTÍFICA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Clique na figura:

Se o educador ou o aluno quiser propagar o método e o conhecimento sobre notação científica, basta apontar o mouse na caixinha na lateral do blog, copiar e colar o código para a barra lateral do seu blog ou para uma postagem-aula que fale sobre o assunto - aparecerá um logotipo (bem leve). Ao clicar neste logotipo, usuário acessa o minicurso. Procure "- Minicurso Notação Científica -" na barra lateral do blog.

Bons estudos!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

COMO DESLOCAR A VÍRGULA EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Existem áreas da ciência onde são empregados números bem pequenos que ajudam a descrever fenômenos, resultados  e discussões de pesquisas. Por exemplo, na nanotecnologia podemos medir espessuras de filmes finos, agrupamentos de nanotubos de carbono e diâmetros atômicos. Porém, na astronomia e cosmologia são empregados números bem grandes para medir, como exemplos, diâmetros de sóis, comprimento de galáxias, anos-luzes e densidades de buracos negros. Para representar esses pequenos e grandes números precisamos de uma notação matemática chamada de notação científica. Ao final desse minicurso o aluno deverá saber representar qualquer número em notação científica. Neste tópico vamos analisar 9 situações que envolvem técnicas, já estudadas, de notação científica, com ênfase para o deslocamento da vírgula. Cada questão estudada deverá ser refeita no seu caderno. Vamos lembrar que esse estudo é a continuação do módulo anterior COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA e que as equações desta minicurso foram escritas em Latex, podendo ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

25º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

$$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 2, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -4 + 1 = -3 ), ou seja, de -4 aumenta para -3. Lembre-se: -3 é maior que -4. Portanto,

 $$23.10^{-4}=2,3.10^{-3}.$$

$$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 6, para isso vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula duas casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de dois números ( -11 + 2 = -9 ), ou seja, de -11 passa para -9. Lembre-se: -9 é maior que -11. Portanto,

$$679.10^{-11}=6,79.10^{-9}.$$

$$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 9, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casas decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -2 + 1 = -1), ou seja, de -2 sobe para -1. Lembre-se: -1 é maior que -2. Portanto,

 $$99.10^{-2}=9,9.10^{-1}.$$

$$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -2 + 1 = -1 ), ou seja, de -2 sobe para -1. Lembre-se: -1 é maior que -2. Portanto,

$$10.10^{-2}=1.10^{-1}.$$

$$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la duas casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula duas casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de dois números ( -3 + 2 = -1 ), ou seja, de -3 aumenta para -1. Lembre-se: -1 é maior que -3. Portanto,

$$100.10^{-3}=1.10^{-1}.$$

$$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 2, para isso vamos deslocá-la uma casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -4 + 1 = -3 ), ou seja, de -4 aumenta para -3. Lembre-se: -3 é maior que -4. Portanto,

$$23.10^{-4}=2,3.10^{-3}.$$

$$g)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 9, para isso vamos deslocá-la sete casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula sete casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de sete números ( -24 + 7 = -14 ), ou seja, de -24 aumenta para -17. Lembre-se: -17 é maior que -24. Portanto,

$$99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{-17}.$$

$$h)\qquad 5,963148.10^{6}=596314,8.10^{?}.$$

No caso, queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 4, para isso vamos deslocá-la cinco casas decimais para a direita. Mas, ao deslocarmos a vírgula cinco casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de cinco números ( 6 - 5 = 1 ), ou seja, de 6 diminui para 1. Portanto,

$$5,963148.10^{6}=596314,8.10^{1}.$$

$$i)\qquad 6,451789.10^{8}=6451,789.10^{?}.$$

No caso, queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la três casas decimais para a direita. Mas, ao deslocarmos a vírgula três casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de três números ( 8 - 3 = 5 ), ou seja, de 8 diminui para 5.  Portanto,

$$6,451789.10^{8}=6451,789.10^{5}.$$

26º) Desafio para você: expresse em notação científica os seguintes números:

$$a)\qquad 596.10^{22}.$$

$$b)\qquad 16.10^{-20}.$$

$$c)\qquad 567,9.$$

$$d)\qquad 3456,9.$$

$$e)\qquad 566.10^{-6}.$$

$$f)\qquad 33.10^{-5}.$$

$$g)\qquad 651.10^{-9}.$$

Estas questões serão respondidas na continuação desse estudo em

NOTAÇÃO CIENTÍFICA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.

Bons estudos!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A notação científica é muito empregada nas Engenharias, na Física, na Matemática e em outras ciências. Por isso é urgente que os alunos do fundamental e médio usem essa ferramenta de cálculo. Já dissemos antes que existem várias técnicas para usar a notação científica, que são descritas em livros, apostilas, sites, mas, todas direcionam para o mesmo resultado.  Neste estudo vamos analisar e resolver 9 situações que envolvem técnicas de notação científica. A cada questão lida o aluno deverá tentar resolvê-la no seu caderno. Vamos lembrar que esse estudo é a continuação do módulo TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA  e que as equações desta minicurso foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

16º) 99999,999

Mesmo caso do exemplo anterior: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999999), sem vírgula, por 10. Veja:

$$\Large 99999999.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 99999,999. No caso, existem 3 algarismos (999). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 99999999.10^{-3}.$$

Agora, queremos que a vírgula (subentendida, oculta), do número 99999999 (que está localizada em 99999999,) fique imediatamente após o primeiro 9, ou seja, vamos deslocá-la 7 casas decimais para a esquerda, assim: 9,9999999. O novo expoente a ser acrescentado será 7 (positivo). Assim:

$$\Large 9,9999999.10^{7}.10^{-3}=9,9999999.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 99999,999=9,9999999.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

17º) 140,56

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 14056), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 14056.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 140,56. No caso, existem 2 algarismos (56). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 14056.10^{-2}.$$

Agora, vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 14056. Note que ela fica após o 6, veja: 14056, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 4 casas decimais para a esquerda, assim: 1,4056. O expoente a ser acrescentado será o 4 (positivo). Assim:

$$\Large 1,4056.10^{4}.10^{-2}=1,4056.10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 140,56=1,4056.10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

18º) 16,78

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1678), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1678.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 16,78. No caso, existem 2 algarismos (78). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 1678.10^{-2}.$$

Vamos localizar a vírgula (subentendida) do número 1678. Note que ela fica após o 8, veja: 1678, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,678. O expoente a ser acrescentado será o 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,678.10^{3}.10^{-2}=1,678.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 16,78=1,678.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

19º) 156.10³

Será que a nossa técnica dará certo para esse número? Sim. Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 156) por 10. Assim:

$$\Large 156.10^{?}.10^{3}.$$

Mas, o que colocar no primeiro expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 156 (ou seja, do 156,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10 e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 156.10^{0}.10^{3}.$$

Lembrando que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Já localizamos a vírgula, subentendida, do número 156. Notamos que ela fica após o 6, veja: 156, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 1,56. O expoente a ser acrescentado será o 2 (positivo). Assim:

$$\Large 1,56.10^{2}.1.10^{3}=1,56.10^{5}=1,56.10^{5}.$$

Portanto,

$$\Large 156.10^{3}=1,56.10^{5}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário. 

20º) 267,9 

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2679), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 2679.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 267,9. No caso, existe 1 algarismo (9). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda desse algarismo) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 2679.10^{-1}.$$

Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 2679. Note que ela fica após o 9, veja: 2679, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 2,679. O expoente a ser acrescentado será o 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,679.10^{3}.10^{-1}=2,679.10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 267,9=2,679.10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

21º) 15

E agora, aplicaremos a mesma regra? Sim, sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 15) por 10. Assim:

$$\Large 15.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula (do 15,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 15.10^{0}.$$

Lembrando que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Após localizar a vírgula, subentendida, do número 15, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda, assim: 1,5. O expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 1,5.10^{1}.10^{0}=1,5.10^{1}.1=1,5.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 15=1,5.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário. 

22º) 2

E neste caso, aplicaremos a mesma regra? Sim, sempre multiplicar os algarismo diferente de zero (no caso, 2) por 10. Assim:

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, o que escrever no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula (do 2,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 2.10^{0}.$$

Vamos lembrar que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Portanto,

$$\Large 2=2.10^{0}=2.1=2.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário. 

23º) Para refletir: note que no número abaixo, ao deslocarmos a vírgula para a esquerda, o expoente positivo de base 10 aumenta.

$$\Large 5963148.10^{0}=5963148.1.=5963148.$$

$$\Large 596314,8.10^{1}=5963148.$$

$$\Large 59631,48.10^{2}=5963148.$$

$$\Large 5963,148.10^{3}=5963148.$$

$$\Large 596,3148.10^{4}=5963148.$$

$$\Large 59,63148.10^{5}=5963148.$$

$$\Large 5,963148.10^{6}=5963148.$$

No último exemplo notamos que a vírgula ficou imediatamente na frente do 5, para isso tivemos que deslocá-la 6 casas decimais para a esquerda, ou seja, 5,963148. Mas, ao deslocarmos a vírgula seis casas decimais para a esquerda, o expoente positivo de base 10 aumenta de seis números.

24º) Para refletir: note que no número abaixo (0,314145), ao deslocarmos a vírgula para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui. Aqui, a propósito, queremos que a vírgula chegue até o final do último algarismo (5).

$$\Large 0,314145.10^{0}=0,314145.1=0,314145.$$

$$\Large 3,14145.10^{-1}=0,314145.$$

$$\Large 31,4145.10^{-2}=0,314145.$$

$$\Large 314,145.10^{-3}=0,314145.$$

$$\Large 3141,45.10^{-4}=0,314145.$$

$$\Large 31414,5.10^{-5}=0,314145.$$

$$\Large 314145.10^{-6}=0,314145.$$

No último exemplo notamos que a vírgula ficou imediatamente (e subentendida) na frente do 5, para isso tivemos que deslocá-la deslocá-la 6 casas decimais para a direita, ou seja, 314145,. Mas, ao deslocarmos a vírgula seis casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de seis números.

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Vamos dar continuidade ao estudo sobre o desenvolvimento de técnicas para representar números, dessa vez maiores que 1, em números decimais que contêm potências de base 10. Existem muitas maneiras diferentes de fazer essas representações, que são descritas em livros, em apostilas e em sites. Porém, alguns alunos acham muito difícil e complicada a linguagem de resolução adotada nessas representações e perdem a vontade de prosseguir, pois perdem o ânimo e incentivo em resolvê-las. Neste curso vamos resolver 5 situações, todas com o mesmo raciocínio e técnica de resolução (através de repetições). Mas, você aprenderá de verdade se, após a leitura da resolução das questões, exercitá-las no caderno. Espero que isso ajude você em seus estudos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (maiores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

11º) 42000

Passos:

Baseado na técnica do estudo anterior (COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10), sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 42) por 10. Assim:

$$\Large 42.10^{?}.$$ 

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 42000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) será colocada no expoente, veja:

$$\Large 42.10^{3}.$$

Em notação científica a vírgula fica imediatamente após o primeiro algarismo (no caso, o 4) e o chamamos de n, um número natural maior ou igual a 1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ n < 10. Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 4 (do 42), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 42. Note que ela fica após o 2, veja: 42, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 4, ou seja, vamos deslocá-la 1 casa para a esquerda, assim: 4,2. Como 4,2 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 4,2.10^{1}.10^{3}=4,2.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 42000=4,2.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

12º) 2000
 
Passos:

Baseado na técnica da questão anterior sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2) por 10. Assim: 

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) vai para o expoente, veja:

$$\Large 2.10^{3}.$$

Portanto,

$$\Large 2000=2.10^{3}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

13º) 2570000

Passos:

Baseado na técnica das questões anteriores, sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 257) por 10. assim:

$$\Large 257.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2570000. Temos 4 zeros. Essa quantidade (4) vai para o expoente, veja:

$$\Large 257.10^{4}.$$ 

Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 2 (do 257), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 257. Note que ela fica após o 7, veja: 257, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2, para isso, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 2,57. Como 2,57 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,57.10^{2}.10^{4}=2,57.10^{6}.$$

Portanto,

$$\Large 2570000=2,57.10^{6}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.  

14º) 100

Passos:

Multiplicaremos o algarismo diferente de zero (no caso, 1) por 10. Assim:

$$\Large 1.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 100. Temos 2 zeros. Essa quantidade (2) vai para o expoente, veja:

$$\Large 1.10^{2} = 10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 100=10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.  

15º) 17,65

Como fica nossa técnica nesse caso, será que dá certo? Sim, faça o mesmo procedimento: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1765), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1765.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 17,65. No caso, existem 2 algarismos (65). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda desses 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim: 

$$\Large 1765.10^{-2}.$$

Queremos que a vírgula, subentendida, do número 1765 (que está localizada em 1765,) fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,765. Como 1,765 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,765.10^{3}.10^{-2}= 1,765.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 17,65=1,765.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

A continuação desse estudo está em

COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

Nossos alunos do Fundamental e médio devem sempre utilizar técnicas matemáticas que lhes proporcionem o desenvolvimento de resoluções de problemas. Hoje vamos aprender uma técnica, muito fácil, que nos ajudará a representar números decimais, menores que 1, em números de potências de base 10. Essa técnica é muito usada nas áreas de Física, Engenharias e cursos técnicos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (menores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

1º) 0,2.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 2) por 10. Assim:

$$2.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existe apenas 1 (que é o 2). Representar essa quantidade por -1, (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 2) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$2.10^{-1}.$$

2º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

3º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

4º) 0,99.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, 99) por 10. Assim:

$$99.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (99). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99.10^{-2}.$$

5º) 0,1.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 1) por 10. Assim:

$$1.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 1 algarismo (1). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 1) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$1.10^{-1}=10^{-1}.$$

6º) 0,10.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 10) por 10. Assim:

$$10.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (10). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$10.10^{-2}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

7º) 0,100.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 100) por 10. Assim:

$$100.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 3 algarismos (100). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$100.10^{-3}=10^{2}.10^{-3}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

8º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

9º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

10º) 0, 000000000000000099999679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999679) por 10. Assim:

$$99999679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 24 algarismos (000000000000000099999679). Representar essa quantidade por -24 (pois a vírgula está à esquerda dos 24 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99999679.10^{-24}.$$

11º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

 $$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

 $$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

 $$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

 $$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

 $$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

 $$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

 $$g)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

 $$h)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Estas questões serão respondidas no decorrer do minicurso. A continuação desse estudo está em

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

INTRODUÇÃO A EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Sejam bem vindos a mais um estudo maravilhoso da matemática. O assunto da aula de hoje é sobre equação de segundo grau, dando ênfase à forma incompleta. É importante dominar este assunto, pois o mesmo é muito usado em concursos, na resolução de sistemas de equações, em cálculos de dimensões de figuras geométricas, na Física em movimento uniformemente variado e nos lançamentos verticais para cima. Neste estudo objetivamos identificar a forma normal de uma equação do segundo grau e reconhecer seus parâmetros, reconhecer as formas incompletas de uma equação do segundo grau e identificar seus coeficientes, reconhecer o termo independente e sua importância na resolução de exercícios, enfatizar a forma incompleta ax² + c = 0 de uma equação de segundo grau através de resoluções (passo a passo) de sete exercícios, estudar e desenvolver um programa de computador que calcule uma equação do segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0.

Obs: As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Na forma geral (ou normal) de uma equação do segundo grau seus coeficientes (ou parâmetros) a, b e c são números reais. Se pelo menos um dos seus coeficientes, com exceção de a, for igual a zero a equação será chamada de incompleta. Veja a forma geral (completa):

$$ax^2+bx+c=0\qquad(1)$$

Exemplos: quando c = 0 a relação (1) é transformada na equaçao de forma incompleta

$$ax^2+bx=0.\qquad(2)$$

Quando b = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2+c=0.\qquad(3)$$

Quando b = c = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2=0.\qquad(4)$$

A seguir, vamos aplicar estes conhecimentos na resolução de exercícios.

1º) Resolver as seguintes equações incompletas:

$$a)\quad 4x^2-64=0$$

Resolver uma equação é achar seu conjunto verdade. Vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$4x^2-64=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -64. Obs: o termo c é chamado de constante ou termo conhecido ou termo independente.

Transpondo a constante c = -64 para o segundo membro da equação temos

$$4x^2=64.$$

Importante: se o segundo menbro é constituído por um número positivo (no caso, 64) o conjunto verdade terá dois elementos, ou seja, dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{64}{4}$$

ou

$$x^2 =16.$$

Portanto,

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois elementos:

$$V=\left\{ -4,4 \right\}.$$

Elaboramos um programa em JavaScript que calcula as raízes de uma equação de segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0. Os problemas aqui propostos devem ser feitos manualmente e suas respostas comparadas com as do programa. O programa é melhor visualizado com o navegador Firefox. No internet explorer o programa é visualizado sem muita estética. Quando você digitar números decimais use o ponto e não a vírgula. Nas próximas postagens teremos o código fonte do programa, mas com a equação da forma completa.

X²+-

Solução da equação (use o ponto no lugar da vírgula):

Digite os dados da questão acima no programa e compare as respostas.

$$b)\quad -3x^2+48=0$$

O coeficiente a deve ser sempre positivo, portanto vamos multiplicar a equação por (-1) e teremos

$$3x^2-48=0$$

Para determinar os coeficientes vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$3x^2-48=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 3, b = 0 e o termo c = -48. Transpondo a constante c = -48 para o segundo membro da equação temos

$$3x^2=48.$$

No segundo membro temos um número positivo (48), portanto, o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a teremos

$$\frac{3x^2}{3} =\frac{48}{3}$$

ou

$$x^2 =16.$$

Isolando x, temos

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-4,4 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$c)\quad x^2-1=0$$

A equação acima pode ser escrita como

$$1.x^2-1=0.$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$1.x^2-1=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = -1. Transpondo a constante c = -1 para o segundo membro da equação, temos

$$x^2=1.$$

No segundo membro temos um número positivo (1), então o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Isolando x, temos que

$$x =\sqrt{1}=\pm 1,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-1,1 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$d)\qquad 4x^2-9=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$4x^2-9=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -9. Transpondo a constante c = -9 para o segundo membro da equação, temos

$$4x^2=9.$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então já sabemos que o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Portanto, dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{9}{4}$$

ou

$$x^2 =\frac{9}{4}\cdot$$

Portanto,

$$x =\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2} = \pm 1,5.$$

O conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\}\cdot$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$e)\qquad 10x^2+10=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$10x^2+10=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 10 , b = 0 e o termo c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação temos

$$10x^2=-10.$$

Importante: quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -10), o conjunto verdade ficará vazio.

Dividindo os membros da equação acima pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{10x^2}{10} =-\frac{10}{10}$$

ou

$$x^2 =-1.$$

Isolando o x:

$$x =\sqrt{-1}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$f)\qquad x^2+16=0$$

Comparando a eq. acima com a eq. (3), temos:

$$x^2+16=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = 16. Transpondo a constante c = 16 para o segundo membro da equação, temos que

$$x^2=-16.$$

Quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -16), o conjunto verdade será vazio.

$$x =\sqrt{-16}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Podemos sim extrair esta raiz, mas no conjunto dos números complexos. A solução não pertence ao conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$g)\quad -5t^2+10=0$$

Desta vez não vamos multiplicar a equação por (-1) e veremos que a solução é a mesma. Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$-5t^2+10=0$$

e

$$at^2+c=0.$$

Note que, na comparação com a eq. (3), substituimos x² por t². Os coeficientes são: a = -5 , b = 0 e a constante c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação, temos

$$-5t^2=-10.$$

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{-5t^2}{-5} =\frac{-10}{-5}$$

ou

$$t^2 =2.$$

Isolando o t, temos que

$$t =\sqrt{2}\simeq \pm 1,41421....$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então o conjunto verdade da equação terá dois números reais relativos simétricos:

$$V= \left\{ -\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

Na próxima aula exercitaremos sobre equação do segundo grau incompleta da forma

$$ax^2+bx=0.$$

Fique antenado, não perca a próxima aula! Mas, como você saberá da publicação da próxima aula? Muito fácil: no lado direito do blog, onde está escrito "RECEBA POR E-MAIL OS NOSSOS ESTUDOS", você faz o cadastro. Após o cadastro você receberá um e-mail para confirmação. Após você receber e confirmar (não esqueça de confirmar) o e-mail, ficará sabendo automaticamente da próxima publicação. Bons estudos!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

COMO ESCREVER RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

Objetivos desta aula:

Identificar o que é radical, radicando, índice do radicando, raiz do radical, índice ou grau do radical e o sinal do radical; Escrever sob a forma de radical potências com expoentes decimais, fracionários positivos e negativos; Escrever radicais sob forma de potência com expoente fracionário.

Esta é a 3ª parte do nosso estudo envolvendo potências e radicais. Aos poucos, com a resolução de vários exercícios, vamos aprendendo, passo a passo, sobre potências e radicais. Nesta postagem teremos 12 exercícios resolvidos. Para melhor compreensão dos mesmos é importante o acompanhamento do estudo anterior sobre potenciação e expoentes negativos, onde paramos na 4ª questão, na letra c.

Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

IDENTIFICANDO AS RAÍZES E OS ELEMENTOS DOS RADICAIS

Vamos identificar os elementos que compõem a seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$

Nesta igualdade, $$\sqrt[4]{9^{2}}$$ é o radical, o número 9 é o radicando, o número 2 é o índice do radicando, o número 3 é a raiz do radical, o número 4 é o índice ou grau do radical e o $$\sqrt{}$$ é o sinal do radical. Leitura: raiz quarta de nove elevado a dois (ou ao quadrado) é igual a 3.

Vamos identificar os elementos da seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{81}=3.$$

É o mesmo exemplo. O que muda é o radicando, que agora é o 81, e o índice do radicando (1). Veja:

$$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{81^{1} }=3.$$

No exemplo

$$\sqrt{25} =5,$$

o número 25 é o radicando, o 5 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 2. Veja:

$$\sqrt{25} =\sqrt[2]{25^{1} } =5.$$

Leitura: raiz quadrada de 25 é igual a 5 (na verdade é igual a mais ou menos 5, veremos isso mais na frente).

No exemplo

$$\sqrt[3]{8}=2,$$

O número 8 é o radicando e o 2 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 3. Veja:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{8^{1} }=2.$$

Leitura: raiz cúbica de 8 é igual a 2.

No exemplo

$$\sqrt[n]{a} =m.$$

O número representado pela letra a é o radicando, o número representado pela letra n é o índice do radical e o número representado pela letra m é a raiz do radical. Leitura: raiz n-ésima de a é igual a m.

Agora que já sabemos os nomes dos elementos que compõem os radicais vamos estudar sobre potência com expoente fracionário positivo

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS POSITIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$

Definição: toda potência com expoente fracionário e positivo é equivalente a um radical de índice igual ao denominador do expoente. O radicando é uma potência da mesma base com expoente inteiro idêntica ao numerador.

Portanto, entendemos que:

- Pela definição a base da potência será o radicando;

- Desta base de expoente fracionário, o numerador será igual ao expoente do radicando e o denominador será igual ao índice do radical.

Para entender esta definição vamos exercitá-la:

5º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$$\mathbf{a)\quad a^{\frac{5}{8}}}$$

A base da potência (a) tem o expoente fracionário é igual a 5/8, onde o 8 é o denominador do expoente e o 7 é o numerador do expoente. Pela definição a base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (8) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (5) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{5}{8}}=\sqrt[8]{a^5}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad (y+1)^{\frac{1}{2}}}$$

Pela definição a base da potência (y + 1) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{(y+1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(y+1)^{1}} = \sqrt{(y+1)}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{\frac{m}{n}}}$$

A base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (n) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (m) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$}.$$

$${\mathbf{d)\quad 3^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (3) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} =\sqrt[2]{3^1} =\sqrt{3}}$}.$$

$${\mathbf{e)\quad 2^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{2^1}=\sqrt{2}}$}.$$

$${\mathbf{f)\quad 2^{0,25}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$2^{\frac{25}{100}} =2^{\frac{1}{4}}}.$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (4) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{0,25} =2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2^1} =\sqrt[4]{2}}$}.$$

$${\mathbf{g)\quad 5^{0,5}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$5^{0,5}=5^{\frac{1}{2}}.$$

A base da potência (5) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{5^1}}$}.$$

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS NEGATIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

No estudo anterior, usamos regras práticas baseado nas definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Vale a mesma regra para expoente fracionário negativo. Siga os passos:

- Quando o expoente é negativo (ou positivo) sempre coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base elevado ao expoente. Se o expoente for negativo, fica no denominador com o sinal positivo e se o expoente for positivo fica no denominador com o sinal negativo.

Para entender melhor esta definição vamos exercitá-las. Mãos à obra.

6º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$${\mathbf{a)\quad 3^{-\frac{4}{3}}}$$

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 4/3. Veja que este expoente, que era negativo (-4/3), fica no denominador com o sinal positivo (4/3). Assim:

$$3^{-\frac{4}{3}} =\frac{1}{3^{\frac{4}{3}}}.$$

Na questão anterior aprendemos que este denominador pode ser escrito na forma de radical:

$${3^{\frac{4}{3}}}=\sqrt[3]{3^4},$$

Portanto, substituindo o radical na expressão acima obtemos

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad 3^{-\frac{2}{5}}}}$$

Siga os passos:

- O 1 vai para o numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 2/5. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{3^{\frac{2}{5}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${3^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{3^2}.$$

Portanto,

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{\sqrt[5]{3^2}}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{-\frac{m}{n}}}$$

Sendo a um número real positivo (a > 0) e m e n números inteiros e positivos podemos aplicar os passos:

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (a) elevado ao expoente m/n. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$a^{-\frac{m}{n}} =\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${a^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{a^m},$$

portanto,

$$\fbox{$\mathbf{a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}}$}.$$

ESCREVENDO RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

7º) Escreva os seguintes radicais sob forma de potência com expoente fracionário:

$${\mathbf{a)\quad \sqrt{b^{2}-4ac}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt{b^{2}-4ac} =\sqrt[2]{(b^{2}-4ac)^{1}}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (1) do radicando e o denominador será igual ao índice (2) do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{({b^{2}-4ac} )^{1} }=(b^{2} -4ac)^{\frac{1}{2}}}.$$

$${\mathbf{b)\quad \sqrt{(a+b)^3}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando (a + b) será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (3) do radicando e o denominador será igual ao índice (2), subentendido, do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}} =(a+b)^{\frac{3}{2}}.$$

Este estudo continua no próximo post. Aguarde! Bons estudos!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►