Nas aulas anteriores foram dadas noções sobre os estados
kets, seus duais (veja o estudo sobre os
bras), suas notações, correspondência dual,
bra-kets, operadores, propriedades do produto interno entre o
bra e o
ket, etc. Hoje, vamos continuar este assunto aprofundando-o mais um pouco. Tentaremos descrever por etapas, através do formalismo matemático da Mecânica Quântica, as leis probabilísticas da natureza no pequeníssimo mundo das partículas atômicas. É muito difícil explicar uma notação matemática abstrata de maneira que todos a possam entender, mas vamos tentar fazê-lo, afinal essa é uma das funções do licenciado em Física. Bons estudos!
Em todos os espaços vetoriais existem duas operações comuns: a multiplicação por um escalar e a adição de vetores. Outro aspecto de muitos espaços vetoriais é a existência da operação chamada produto interno. Já estamos familiarizados com estas operações em espaços euclidianos tridimensionais e, nesta postagem, vamos fazer analogias das mesmas com o espaço de Hilbert(H), ou seja, um espaço vetorial de dimensão infinita onde a linguagem da Mecânica Quântica pode formular-se em termos de espaço vetorial por meio de uma notação, criada por Paul Dirac, chamada de notação bra-ket.
VETOR NORMALIZADO
Sabemos que um vetor unitário (versor) em um espaço vetorial normalizado possui comprimento
1. Já temos noções sobre a
definição de produto escalar (estudo guardado no disco virtual Scribd) entre dois versores. Como exemplo veremos que, dado um vetor unitário, podemos formar um vetor normalizado da seguinte maneira:
$$\hat{\alpha}=\frac{\vec{\alpha}}{\left\|\vec{\alpha}\right\|} =\frac{\vec{\alpha}}{\sqrt{\left\alpha\right\ }},$$
ou seja, qualquer vetor não nulo (no exemplo acima, o vetor unitário) dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado.
Sendo estes dois vetores paralelos (na origem 0), com angulo teta igual a zero, obteremos, por definição de produto escalar, um número (chamado escalar), veja:
$$\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}= \alpha \alpha cos\theta=1.1.1=1.$$
Vamos fazer uma analogia do vetor unitário, do exemplo acima, com o vetor de estado ket. Dado um ket
$$|\alpha\rangle\ $$
não nulo, podemos formar um
ket
$$|\tilde{\alpha}\rangle$$
normalizado da seguinte forma:
$$|\tilde{\alpha}\rangle=\left( \sqrt{\frac{1}{\langle \alpha|\alpha\rangle} } \right) |\alpha\rangle=\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle$$
que equivale a
$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle=\frac{|\alpha\rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}} ,$$
com a propriedade
$$\langle \tilde{\alpha} |\tilde{\alpha}\rangle=1.$$
Em geometria euclidiana a definição de módulo ou norma do versor
$${\hat{\alpha}}$$
é dada por
$$\hat{\alpha} =\left| \hat{\alpha}\right| =\sqrt{\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}}=1.$$
Fazendo analogia com a definição acima, a norma do estado quântico (
ket), representado pelo vetor unitário
$$|\alpha\rangle\ $$
é dada pela expressão
$$\left| |\alpha\rangle \right| =\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}.$$
Isso nos faz deduzir que, se a norma ou magnitude de um vetor unitário é igual a
1, então
$$\langle \alpha|\alpha\rangle=1.$$
Portanto, qualquer vetor não nulo dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado. No espaço ket, apenas a direção é importante na representação de um estado físico, por isso convém que os kets usados para representar os estados sejam normalizados.
Resumindo o que já aprendemos: Um sistema físico é estudado por meio de informações oriundas de suas medições. O conjunto de todas as informações possíveis do sistema, em um certo tempo, define o seu estado quântico e todos os estados quânticos são representados por vetores não nulos em um espaço vetorial chamado espaço de Hilbert (H) que é um generalização do espaço euclidiano. Um estado quantico é representado por um vetor unitário (ket) e a soma algébrica de dois estados também é um estado. Estudamos também que a norma de um vetor unitário é igual a 1. A norma de vetores de estado não possui significado físico, portanto, todos os vetores devem ser normalizados.
Em geometria euclidiana dois vetores distintos são ortogonais quando o seu produto escalar for igual a zero. Na postagem anterior foi dado noções sobre vetores ortogonais e vimos que
$$\langle\alpha|\beta\rangle\ = 0$$
e, isso nos faz deduzir que
$$\langle\beta| \alpha\rangle\ =0.$$
OPERADORES
Vamos estabelecer uma analogia entre o conceito de função f(x) e de operador. Uma função f(x) traduz uma regra de correspondência entre dois números, ou seja, entre o x (variável independente) e y = f(x) (variável dependente). Podemos aplicar esta regra de correspondência entre vetores usando operadores. Vamos estabelecer esta regra de correspondência no espaço H (de Hilbert) com o seguinte exemplo: O operador X, ao atuar sobre o vetor-H (vetor de estado no espaço de Hilbert) chamado ket alfa, transforma este vetor no vetor-H, chamado ket gama. Veja:
$$X|\alpha\rangle\ =|\gamma\rangle\ .$$
OPERADORES ATUANDO EM KETS
Sabemos que os observáveis, no espaço vetorial, são representados por operadores. No post anterior estudamos que os operadores atuam nos kets pela esquerda.
►
OPERADORES IGUAIS
Se
$$X| \alpha\rangle\ =Y| \alpha\rangle\ ,$$
podemos dizer que os operadores X e Y são iguais.
►
OPERADOR NULO
Se
$$X| \alpha\rangle\ =0,$$
podemos dizer que o operadores X é nulo.
►
ADIÇÃO DE OPERADORES
Propriedade comutativa:
$$X+Y=Y+X.$$
Propriedade associativa:
$$X+(Y+Z)=(X+Y)+Z.$$
Obs: Já estudamos que um operador sempre atua em um
ket pelo lado esquerdo resultando em outro
ket, veja:
$$\left( X\cdot | \alpha\rangle\right) =X|\alpha\rangle\ .$$
OPERADOR LINEAR
Um operador é linear quando
$$X\left( c_{\alpha} | \alpha\rangle\ +c_{\beta } | \beta \rangle\ \right)=c_{\alpha}X | \alpha\rangle\ +c_{\beta} X|\beta \rangle\ .$$
OPERADORES ATUANDO EM BRAS
Um operador sempre atua em um bra pelo lado direito resultando em outro bra, veja:
$$\left(\langle \alpha|\cdot X\right)=\langle \alpha| X.$$
Já estudamos que
$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|,$$
porém, o
ket
$$X|\alpha\rangle\ $$
e o
bra
$$\langle \alpha|X$$
não são duais. Como fazê-los duais? Veremos.
OPERADOR HERMITIANO
Quantidades como energia, posição, spin, etc que podem ser medidas, são representadas por operadores chamados hermitianos (observáveis). X é denominado operador hermitiano quando
$$X=X^{\dagger},$$
onde
$$X^{\dagger}$$
é chamado adjunto de X ou adjunto hermitiano, a fim de que
$$X|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|X^{\dagger}$$
Continua com multiplicação de operadores. Não perca!
Aqui está um template voltado para um estudo dirigido que facilitará muito a aprendizagem sobre Mecânica Quântica básica para professores, alunos iniciantes e veteranos nas áreas de Física, Matemática, Química, Engenharias e Ciências. O modelo (Lição 1) ensina passo a passo como chegar à Equação de Schrödinger independente do tempo, por meio de argumentos plausíveis e com alguns ingredientes. A técnica consiste em você poder refazer os mesmos procedimentos no modelo sem respostas (que vc pode fazer o download no link abaixo).
