APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Vamos dar continuidade ao estudo sobre o desenvolvimento de técnicas para representar números, dessa vez maiores que 1, em números decimais que contêm potências de base 10. Existem muitas maneiras diferentes de fazer essas representações, que são descritas em livros, em apostilas e em sites. Porém, alguns alunos acham muito difícil e complicada a linguagem de resolução adotada nessas representações e perdem a vontade de prosseguir, pois perdem o ânimo e incentivo em resolvê-las. Neste curso vamos resolver 5 situações, todas com o mesmo raciocínio e técnica de resolução (através de repetições). Mas, você aprenderá de verdade se, após a leitura da resolução das questões, exercitá-las no caderno. Espero que isso ajude você em seus estudos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (maiores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

11º) 42000

Passos:

Baseado na técnica do estudo anterior (COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10), sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 42) por 10. Assim:

$$\Large 42.10^{?}.$$ 

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 42000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) será colocada no expoente, veja:

$$\Large 42.10^{3}.$$

Em notação científica a vírgula fica imediatamente após o primeiro algarismo (no caso, o 4) e o chamamos de n, um número natural maior ou igual a 1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ n < 10. Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 4 (do 42), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 42. Note que ela fica após o 2, veja: 42, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 4, ou seja, vamos deslocá-la 1 casa para a esquerda, assim: 4,2. Como 4,2 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 4,2.10^{1}.10^{3}=4,2.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 42000=4,2.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

12º) 2000
 
Passos:

Baseado na técnica da questão anterior sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2) por 10. Assim: 

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) vai para o expoente, veja:

$$\Large 2.10^{3}.$$

Portanto,

$$\Large 2000=2.10^{3}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

13º) 2570000

Passos:

Baseado na técnica das questões anteriores, sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 257) por 10. assim:

$$\Large 257.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2570000. Temos 4 zeros. Essa quantidade (4) vai para o expoente, veja:

$$\Large 257.10^{4}.$$ 

Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 2 (do 257), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 257. Note que ela fica após o 7, veja: 257, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2, para isso, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 2,57. Como 2,57 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,57.10^{2}.10^{4}=2,57.10^{6}.$$

Portanto,

$$\Large 2570000=2,57.10^{6}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.  

14º) 100

Passos:

Multiplicaremos o algarismo diferente de zero (no caso, 1) por 10. Assim:

$$\Large 1.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 100. Temos 2 zeros. Essa quantidade (2) vai para o expoente, veja:

$$\Large 1.10^{2} = 10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 100=10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.  

15º) 17,65

Como fica nossa técnica nesse caso, será que dá certo? Sim, faça o mesmo procedimento: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1765), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1765.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 17,65. No caso, existem 2 algarismos (65). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda desses 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim: 

$$\Large 1765.10^{-2}.$$

Queremos que a vírgula, subentendida, do número 1765 (que está localizada em 1765,) fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,765. Como 1,765 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,765.10^{3}.10^{-2}= 1,765.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 17,65=1,765.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

A continuação desse estudo está em

COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

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COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

Nossos alunos do Fundamental e médio devem sempre utilizar técnicas matemáticas que lhes proporcionem o desenvolvimento de resoluções de problemas. Hoje vamos aprender uma técnica, muito fácil, que nos ajudará a representar números decimais, menores que 1, em números de potências de base 10. Essa técnica é muito usada nas áreas de Física, Engenharias e cursos técnicos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (menores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

1º) 0,2.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 2) por 10. Assim:

$$2.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existe apenas 1 (que é o 2). Representar essa quantidade por -1, (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 2) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$2.10^{-1}.$$

2º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

3º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

4º) 0,99.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, 99) por 10. Assim:

$$99.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (99). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99.10^{-2}.$$

5º) 0,1.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 1) por 10. Assim:

$$1.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 1 algarismo (1). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 1) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$1.10^{-1}=10^{-1}.$$

6º) 0,10.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 10) por 10. Assim:

$$10.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (10). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$10.10^{-2}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

7º) 0,100.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 100) por 10. Assim:

$$100.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 3 algarismos (100). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$100.10^{-3}=10^{2}.10^{-3}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

8º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

9º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

10º) 0, 000000000000000099999679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999679) por 10. Assim:

$$99999679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 24 algarismos (000000000000000099999679). Representar essa quantidade por -24 (pois a vírgula está à esquerda dos 24 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99999679.10^{-24}.$$

11º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

 $$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

 $$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

 $$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

 $$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

 $$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

 $$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

 $$g)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

 $$h)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Estas questões serão respondidas no decorrer do minicurso. A continuação desse estudo está em

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

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A PROFESSORA E O SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO

ESSA É MUITO BOA!!!!!!!!

Havia certa vez um homem navegando com seu balão, por um lugar desconhecido. Ele estava completamente perdido, e qual grande foi sua surpresa quando encontrou uma pessoa... Ao reduzir um pouco a altitude do balão, em uma distância de 10m aproximadamente, ele gritou para a pessoa:

- Hei, você aí , aonde eu estou? E então a jovem respondeu:

- Você está num balão a 10 m de altura!

Então o homem fez outra pergunta:

- Você é professora, não é?

A moça respondeu:

- Sim...puxa! Como o senhor adivinhou?

E o homem:

- É simples, Você me deu uma resposta tecnicamente correta, mas que não me serve para nada...

Então a professora pergunta:

- O senhor é secretário da educação, não é?

E o homem:

- Sou...Como você adivinhou???

E a Professora:

- Simples: o senhor está completamente perdido, não sabe fazer nada e ainda quer colocar a culpa no professor.

Profª Pábula Monteiro ( E não sou culpada...)

Gostaram? Comentem!

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OPERAÇÕES COM BRA-KETS

Nas aulas anteriores foram dadas noções sobre os estados kets, seus duais (veja o estudo sobre os bras), suas notações, correspondência dual, bra-kets, operadores, propriedades do produto interno entre o bra e o ket, etc. Hoje, vamos continuar este assunto aprofundando-o mais um pouco. Tentaremos descrever por etapas, através do formalismo matemático da Mecânica Quântica, as leis probabilísticas da natureza no pequeníssimo mundo das partículas atômicas. É muito difícil explicar uma notação matemática abstrata de maneira que todos a possam entender, mas vamos tentar fazê-lo, afinal essa é uma das funções do licenciado em Física. Bons estudos!

Em todos os espaços vetoriais existem duas operações comuns: a multiplicação por um escalar e a adição de vetores. Outro aspecto de muitos espaços vetoriais é a existência da operação chamada produto interno. Já estamos familiarizados com estas operações em espaços euclidianos tridimensionais e, nesta postagem, vamos fazer analogias das mesmas com o espaço de Hilbert(H), ou seja, um espaço vetorial de dimensão infinita onde a linguagem da Mecânica Quântica pode formular-se em termos de espaço vetorial por meio de uma notação, criada por Paul Dirac, chamada de notação bra-ket.

VETOR NORMALIZADO

Sabemos que um vetor unitário (versor) em um espaço vetorial normalizado possui comprimento 1. Já temos noções sobre a  definição de produto escalar (estudo guardado no disco virtual Scribd) entre dois versores. Como exemplo veremos que, dado um vetor unitário, podemos formar um vetor normalizado da seguinte maneira:

$$\hat{\alpha}=\frac{\vec{\alpha}}{\left\|\vec{\alpha}\right\|} =\frac{\vec{\alpha}}{\sqrt{\left\alpha\right\ }},$$

ou seja, qualquer vetor não nulo (no exemplo acima, o vetor unitário) dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado.

Sendo estes dois vetores paralelos (na origem 0), com angulo teta igual a zero, obteremos, por definição de produto escalar, um número (chamado escalar), veja:

$$\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}= \alpha \alpha cos\theta=1.1.1=1.$$

Vamos fazer uma analogia do vetor unitário, do exemplo acima, com o vetor de estado ket. Dado um ket

$$|\alpha\rangle\ $$

não nulo, podemos formar um ket

$$|\tilde{\alpha}\rangle$$

normalizado da seguinte forma:

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\left( \sqrt{\frac{1}{\langle \alpha|\alpha\rangle} } \right) |\alpha\rangle=\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle$$

que equivale a

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle=\frac{|\alpha\rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}} ,$$

com a propriedade

$$\langle \tilde{\alpha} |\tilde{\alpha}\rangle=1.$$

Em geometria euclidiana a definição de módulo ou norma do versor

$${\hat{\alpha}}$$

é dada por

$$\hat{\alpha} =\left| \hat{\alpha}\right| =\sqrt{\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}}=1.$$

Fazendo analogia com a definição acima, a norma do estado quântico (ket), representado pelo vetor unitário

$$|\alpha\rangle\ $$

é dada pela expressão

$$\left| |\alpha\rangle \right| =\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}.$$

Isso nos faz deduzir que, se a norma ou magnitude de um vetor unitário é igual a 1, então

$$\langle \alpha|\alpha\rangle=1.$$

Portanto, qualquer vetor não nulo dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado. No espaço ket, apenas a direção é importante na representação de um estado físico, por isso convém que os kets usados para representar os estados sejam normalizados.

Resumindo o que já aprendemos: Um sistema físico é estudado por meio de informações oriundas de suas medições. O conjunto de todas as informações possíveis do sistema, em um certo tempo, define o seu estado quântico e todos os estados quânticos são representados por vetores não nulos em um espaço vetorial chamado espaço de Hilbert (H) que é um generalização do espaço euclidiano. Um estado quantico é representado por um vetor unitário (ket) e a soma algébrica de dois estados também é um estado. Estudamos também que a norma de um vetor unitário é igual a 1. A norma de vetores de estado não possui significado físico, portanto, todos os vetores devem ser normalizados.

Em geometria euclidiana dois vetores distintos são ortogonais quando o seu produto escalar for igual a zero. Na postagem anterior foi dado noções sobre vetores ortogonais e vimos que

$$\langle\alpha|\beta\rangle\ = 0$$

e, isso nos faz deduzir que

$$\langle\beta| \alpha\rangle\ =0.$$

OPERADORES

Vamos estabelecer uma analogia entre o conceito de função f(x) e de operador. Uma função f(x) traduz uma regra de correspondência entre dois números, ou seja, entre o x (variável independente) e y = f(x) (variável dependente). Podemos aplicar esta regra de correspondência entre vetores usando operadores. Vamos estabelecer esta regra de correspondência no espaço H (de Hilbert) com o seguinte exemplo: O operador X, ao atuar sobre o vetor-H (vetor de estado no espaço de Hilbert) chamado ket alfa, transforma este vetor no vetor-H, chamado ket gama. Veja:

$$X|\alpha\rangle\ =|\gamma\rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM KETS

Sabemos que os observáveis, no espaço vetorial, são representados por operadores. No post anterior estudamos que os operadores atuam nos kets pela esquerda.

► OPERADORES IGUAIS

Se

$$X| \alpha\rangle\ =Y| \alpha\rangle\ ,$$

podemos dizer que os operadores X e Y são iguais.

► OPERADOR NULO

Se

$$X| \alpha\rangle\ =0,$$

podemos dizer que o operadores X é nulo.

► ADIÇÃO DE OPERADORES

Propriedade comutativa:

$$X+Y=Y+X.$$

Propriedade associativa:

$$X+(Y+Z)=(X+Y)+Z.$$

Obs: Já estudamos que um operador sempre atua em um ket pelo lado esquerdo resultando em outro ket, veja:

$$\left( X\cdot | \alpha\rangle\right) =X|\alpha\rangle\ .$$

OPERADOR LINEAR

Um operador é linear quando

$$X\left( c_{\alpha} | \alpha\rangle\ +c_{\beta } | \beta \rangle\ \right)=c_{\alpha}X | \alpha\rangle\ +c_{\beta} X|\beta \rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM BRAS

Um operador sempre atua em um bra pelo lado direito resultando em outro bra, veja:

$$\left(\langle \alpha|\cdot X\right)=\langle \alpha| X.$$

Já estudamos que

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|,$$

porém,  o ket

$$X|\alpha\rangle\ $$

e o bra

$$\langle \alpha|X$$

não são duais. Como fazê-los duais? Veremos.

OPERADOR HERMITIANO

Quantidades como energia, posição, spin, etc que podem ser medidas, são representadas por operadores chamados hermitianos (observáveis). X é denominado operador hermitiano quando

$$X=X^{\dagger},$$

onde

$$X^{\dagger}$$

é chamado adjunto de X ou adjunto hermitiano, a fim de que

$$X|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|X^{\dagger}$$

Continua com multiplicação de operadores. Não perca!

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ESTUDO SOBRE O ESPAÇO VETORIAL BRA DE DIRAC

Na pesquisa sobre férmions, guardada no disco virtual Scribd, aprendemos que elétrons são partículas de spin 1/2, que possuem momentum angular intrínseco e que os físicos Paul Dirac juntamente com Enrico Fermi, descobriram as leis estatísticas que regem estas partículas. A Física comprova que experimentos com partículas de spin 1/2 podem ser, matematicamente, mais facilmente descritos usando a notação de Dirac, chamada de BRA-KET. No estudo anterior sobre notação KET enfatizamos que um estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor do espaço desse estado, chamado KET, que contém todas as informações possíveis sobre o estado de um sistema físico.

Nas dicas desta postagem vamos enfatizar o elemento dual do espaço KET, chamado BRA. Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

O BRA é representado pelo símbolo

$$\langle \beta |.$$

Portanto, para todo vetor KET

$$|\beta\rangle,$$

existe um correspondende dual (CD) BRA, representado por

$$\langle \beta|.$$

► A correspondência dual (CD) dos autokets

$$|\ a' \rangle, |\ a'' \rangle,|\ a''' \rangle,...$$

equivale a

$$\langle \ a'|, \langle \ a''|,\langle \ a'''|,....$$

► A correspondência dual dos KETS

$$|\alpha\rangle+|\gamma\rangle$$

é igual

$$\langle \alpha|+\langle\gamma|.$$

► A correspondência dual do KET

$$|\alpha\rangle$$

equivale a

$$\langle \alpha|$$

e pode ser representada como:

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|.$$

► Como pode ser representado a correspondência dual do produto de um número complexo c por um KET alfa?

A CD Pode ser representada como

$$c|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c^*\langle \alpha|,$$

onde, c com asteristo é o conjugado complexo de c.

► Represente a correspondência dual (CD) da seguinte soma:

$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\ .$$

Sua correspondência dual é representada por

$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c_{\alpha}^*\langle \alpha|+c_{\beta}^*\langle \beta|.$$

O produto interno entre um BRA e um KET resulta em um BRAKET (à direita da igualdade abaixo) dado por:

$$\left( \langle \beta|\right)\cdot\left( |\alpha\rangle\right)=\langle \beta|\alpha\rangle\ .$$

Nesse produto interno, que geralmente é um número complexo, por definição o BRA fica pela esquerda e o KET fica pela direita. O produto interno entre um BRA e um KET obedece algumas propriedades:

► Primeira propriedade:

$$\langle \beta|\alpha\rangle\ =\langle \alpha|\beta\rangle\ ^*,$$

ou seja, são conjugados complexos um do outro.

► Segunda propriedade:

Dado o KET

$$|\alpha\rangle\ $$

e o KET

$$|\beta\rangle\, $$

os mesmos são ortogonais se

$$\langle \alpha|\beta\rangle\ =0.$$

► Terceira propriedade: o produto

$$\langle \alpha|\alpha\rangle\ = \langle \alpha|\alpha\rangle\ ^*$$

resulta em um número real.

► Quarta propriedade: a igualdade de

$$\langle \alpha|\alpha\rangle\geq0$$

só é válida se o KET

$$|\alpha\rangle\ $$

for nulo.

Para não ficar muito cansativo para o leitor, vamos dar continuidade sobre esta maravilhosa notação na próxima postagem. Não perca!

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NOTAÇÃO DE DIRAC - INTRODUÇÃO

Este estudo é dedicado aos nobres alunos do 6º período de Física que desejam revisar a notação de Dirac de uma maneira bem elementar, com algumas dicas de fácil aprendizado. Uma vez que já passaram pelas disciplinas Estrutura da Matéria, Mecânica Quântica I, Física Matemática I e II não terão dificuldades em revisar esse assunto.

Começaremos estudando noções sobre o vetor de estado ket. O próximo estudo será sobre o elemento dual do ket, ou seja, o bra e, em seguida, resolucionaremos exercícios relacionados com os brakets. Utilizamos para pesquisa e fonte o livro Modern Quantum Mechanics, cujo autor é J. J. Sakurai. Vamos tentar traduzir esta notação para uma linguagem mais acessível aos alunos. As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Um sistema em Física quântica pode se referir a um próton, a um elétron, a um sistema de partículas isolado ou que interagem entre si, a um grupo de moléculas, a um átomo de hidrogênio etc. O estado físico de um dado sistema são todas as informações possíveis que podemos obter desse sistema (exemplo de estado físico: um átomo com orientação de spin definida) e que pode ser representado por uma função complexa de onda ou por um vetor de estado, que é um vetor contido em um espaço vetorial complexo.

Experimentos de Física Quântica comprovam que spins, por exemplo, não podem ser representados por um espaço vetorial em três dimensões. A notação matemática usada para representar esses estados físicos foi  fundamentada em espaços vetoriais complexos chamados kets e introduzidas por Paul Dirac.

Portanto, para resumir o que foi exposto até agora, um estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor de estado, chamado ket, que contém todas as informações possíveis sobre o estado de um sistema físico.

O vetor do espaço dos estados, kets, é representado pelo símbolo

$$|\ \rangle\ $$

e um elemento do dual desse espaço, chamado de bra, é representado pelo símbolo

$$\langle\  |.$$

Exemplos: para cada estado ket,

$$| \alpha \rangle\,$$

existe um vetor estado, bra, representado por

$$\langle\alpha|.$$

E, o produto escalar desses estados é representado por

$$\langle\alpha|\alpha\rangle\ ,$$

sendo denominado de brakets. Percebemos que nesta notação não simbolizamos um vetor em negrito ou com uma seta em cima da letra, pois se tata de um espaço vetorial abstrato, cujos vetores  saõ os kets. Notamos também que, geralmente, os kets são representados por letras gregas.

Os operadores são ordens ou instruções matemáticas que podem ser aplicados em funções podendo ser representados por letras latinas maiúsculas, exemplos:os operadores observáveis(momento, componentes de spin etc) usualmente representados letras A, B, C, etc e os operadores da classe geral são representados pelas letras X, Y, Z, etc. Os operadores podem também ser representados por letras com acento cincunflexo, exemplos: Ê, Ô, Â, etc. Um operador sempre atua sobre um ket pelo lado esquerdo.

Um operador atuando em um ket resulta em outro ket, veja:

$$A.|\alpha \rangle\  =A|\alpha \rangle\ .$$

Nesta notação, os números complexos serão representados por letras latinas minúsculas, exemplos: a,  b, c, etc. O produto de um ket por um número complexo a resulta em um novo ket, veja:

$$a|\alpha  \rangle\ =|\alpha  \rangle\ a.$$

Se a = 0, temos como resultado um ket nulo.

Neste outro exemplo:

$$c|\alpha \rangle\ =|\gamma \rangle\ ,$$

se c = 0, também temos como resultado um ket nulo.

Se somarmos dois kets resultará um novo ket, veja:

$$|\beta \rangle\ +|\alpha \rangle\ =|\eta \rangle\ .$$

Os kets especiais, muito usados em situações problemas de Mecânica Quântica, são chamados de autokets do operador observável A e são representados por letras minúsculas com linhas da seguinte maneira:

$$|\ a' \rangle\,|\ a'' \rangle, |\ a''' \rangle\,...$$

com a seguinte propriedade

$$A|\ a' \rangle\ = a'|\ a' \rangle\,$$

$$A|\ a'' \rangle\ = a''|\ a'' \rangle\,$$

$$A|\ a''' \rangle\ = a'''|\ a''' \rangle\, ....$$

onde as letras a', a'' e a''' representam números. Convém notar que, quando aplicamos o operador A em autokets, resultam nos mesmos kets, porém com números (a', a'', a''') multiplicativos.

Os autovalores do operador A podem ser representados da seguinte maneira:

$$\left\{a', a'', a''',...\right\}$$

ou, mais compactadamente,

$$\left\{a'\right\}.$$

Assim como o estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor de estado, chamado ket, um estado fisico correspondente a um autoket é chamado autoestado.

Obs: qualquer ket arbitrário

$$| \alpha \rangle\,$$

pode ser escrito como

$$|\alpha \rangle\ =\sum \limits_{a'} c_{a'}| \ a' \rangle\ .$$

Para não sobrecarregar o blog com mais equações, vamos deixar o estudo do bra e as aplicações desta notação para a próxima postagem. Não perca!

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INTRODUÇÃO A EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Sejam bem vindos a mais um estudo maravilhoso da matemática. O assunto da aula de hoje é sobre equação de segundo grau, dando ênfase à forma incompleta. É importante dominar este assunto, pois o mesmo é muito usado em concursos, na resolução de sistemas de equações, em cálculos de dimensões de figuras geométricas, na Física em movimento uniformemente variado e nos lançamentos verticais para cima. Neste estudo objetivamos identificar a forma normal de uma equação do segundo grau e reconhecer seus parâmetros, reconhecer as formas incompletas de uma equação do segundo grau e identificar seus coeficientes, reconhecer o termo independente e sua importância na resolução de exercícios, enfatizar a forma incompleta ax² + c = 0 de uma equação de segundo grau através de resoluções (passo a passo) de sete exercícios, estudar e desenvolver um programa de computador que calcule uma equação do segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0.

Obs: As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Na forma geral (ou normal) de uma equação do segundo grau seus coeficientes (ou parâmetros) a, b e c são números reais. Se pelo menos um dos seus coeficientes, com exceção de a, for igual a zero a equação será chamada de incompleta. Veja a forma geral (completa):

$$ax^2+bx+c=0\qquad(1)$$

Exemplos: quando c = 0 a relação (1) é transformada na equaçao de forma incompleta

$$ax^2+bx=0.\qquad(2)$$

Quando b = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2+c=0.\qquad(3)$$

Quando b = c = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2=0.\qquad(4)$$

A seguir, vamos aplicar estes conhecimentos na resolução de exercícios.

1º) Resolver as seguintes equações incompletas:

$$a)\quad 4x^2-64=0$$

Resolver uma equação é achar seu conjunto verdade. Vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$4x^2-64=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -64. Obs: o termo c é chamado de constante ou termo conhecido ou termo independente.

Transpondo a constante c = -64 para o segundo membro da equação temos

$$4x^2=64.$$

Importante: se o segundo menbro é constituído por um número positivo (no caso, 64) o conjunto verdade terá dois elementos, ou seja, dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{64}{4}$$

ou

$$x^2 =16.$$

Portanto,

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois elementos:

$$V=\left\{ -4,4 \right\}.$$

Elaboramos um programa em JavaScript que calcula as raízes de uma equação de segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0. Os problemas aqui propostos devem ser feitos manualmente e suas respostas comparadas com as do programa. O programa é melhor visualizado com o navegador Firefox. No internet explorer o programa é visualizado sem muita estética. Quando você digitar números decimais use o ponto e não a vírgula. Nas próximas postagens teremos o código fonte do programa, mas com a equação da forma completa.

X²+-

Solução da equação (use o ponto no lugar da vírgula):

Digite os dados da questão acima no programa e compare as respostas.

$$b)\quad -3x^2+48=0$$

O coeficiente a deve ser sempre positivo, portanto vamos multiplicar a equação por (-1) e teremos

$$3x^2-48=0$$

Para determinar os coeficientes vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$3x^2-48=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 3, b = 0 e o termo c = -48. Transpondo a constante c = -48 para o segundo membro da equação temos

$$3x^2=48.$$

No segundo membro temos um número positivo (48), portanto, o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a teremos

$$\frac{3x^2}{3} =\frac{48}{3}$$

ou

$$x^2 =16.$$

Isolando x, temos

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-4,4 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$c)\quad x^2-1=0$$

A equação acima pode ser escrita como

$$1.x^2-1=0.$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$1.x^2-1=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = -1. Transpondo a constante c = -1 para o segundo membro da equação, temos

$$x^2=1.$$

No segundo membro temos um número positivo (1), então o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Isolando x, temos que

$$x =\sqrt{1}=\pm 1,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-1,1 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$d)\qquad 4x^2-9=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$4x^2-9=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -9. Transpondo a constante c = -9 para o segundo membro da equação, temos

$$4x^2=9.$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então já sabemos que o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Portanto, dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{9}{4}$$

ou

$$x^2 =\frac{9}{4}\cdot$$

Portanto,

$$x =\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2} = \pm 1,5.$$

O conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\}\cdot$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$e)\qquad 10x^2+10=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$10x^2+10=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 10 , b = 0 e o termo c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação temos

$$10x^2=-10.$$

Importante: quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -10), o conjunto verdade ficará vazio.

Dividindo os membros da equação acima pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{10x^2}{10} =-\frac{10}{10}$$

ou

$$x^2 =-1.$$

Isolando o x:

$$x =\sqrt{-1}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$f)\qquad x^2+16=0$$

Comparando a eq. acima com a eq. (3), temos:

$$x^2+16=0$$

e

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = 16. Transpondo a constante c = 16 para o segundo membro da equação, temos que

$$x^2=-16.$$

Quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -16), o conjunto verdade será vazio.

$$x =\sqrt{-16}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Podemos sim extrair esta raiz, mas no conjunto dos números complexos. A solução não pertence ao conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$g)\quad -5t^2+10=0$$

Desta vez não vamos multiplicar a equação por (-1) e veremos que a solução é a mesma. Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$-5t^2+10=0$$

e

$$at^2+c=0.$$

Note que, na comparação com a eq. (3), substituimos x² por t². Os coeficientes são: a = -5 , b = 0 e a constante c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação, temos

$$-5t^2=-10.$$

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{-5t^2}{-5} =\frac{-10}{-5}$$

ou

$$t^2 =2.$$

Isolando o t, temos que

$$t =\sqrt{2}\simeq \pm 1,41421....$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então o conjunto verdade da equação terá dois números reais relativos simétricos:

$$V= \left\{ -\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

Na próxima aula exercitaremos sobre equação do segundo grau incompleta da forma

$$ax^2+bx=0.$$

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