Os hidrocarbonetos alcanos: Uma jornada na química orgânica

Olá, quanto tempo hein? Estamos realizando um curso sobre Química Orgânica Básica. Vamos iniciar falando sobre os alcanos.

Na vastidão da química orgânica, os hidrocarbonetos alcanos se destacam como blocos fundamentais, formando a espinha dorsal de inúmeras moléculas que encontramos em nosso cotidiano. 

Nesta postagem vamos enfatizar a estrutura molecular desses compostos saturados, constituídos exclusivamente por átomos de carbono e hidrogênio. 

Hidrocarbonetos Alcanos 

Os hidrocarbonetos alcanos, conhecidos como parafinas, são uma classe de compostos caracterizados por ligações simples entre átomos de carbono, resultando em uma estrutura saturada. Isso significa que cada átomo de carbono está ligado a quatro outros átomos (ou grupos), preenchendo sua capacidade máxima de ligações. 

Principais Características 

 

Estrutura Molecular 

Os alcanos têm uma fórmula geral C_nH_2n+2, onde n representa o número de átomos de carbono. 

Nomenclatura 

A nomenclatura dos alcanos segue regras específicas, com a adição do sufixo "-ano" ao nome do hidrocarboneto, indicando que todas as ligações entre carbonos são simples. 

Ligações Simples 

Todas as ligações entre átomos de carbono nos alcanos são ligações simples (C−C). 

Propriedades Físicas

Os alcanos são geralmente não polares, com pontos de ebulição e fusão aumentando com o aumento do número de átomos de carbono na cadeia. 

Importância na indústria e na vida cotidiana 

Os hidrocarbonetos alcanos desempenham um papel crucial em várias indústrias, sendo a matéria-prima para a produção de combustíveis, como o gás natural e a gasolina. Além disso, muitos compostos orgânicos essenciais para o funcionamento do nosso cotidiano, como ceras e óleos, são baseados em alcanos. 

No vídeo 01 sobre o curso "Introdução à química orgânica" é ensinado como desenhar algumas moléculas de alcanos:

   

 Aula 01 - Como desenhar moléculas de hidrocarbonetos alcanos

Nesta jornada pelos hidrocarbonetos alcanos, mergulhamos nas bases da química orgânica, explorando suas estruturas, nomenclatura e contribuições essenciais para a nossa vida diária e para a indústria. À medida que desvendamos esses segredos, a compreensão dos alcanos amplia nossa percepção do mundo complexo e fascinante da química. 

Bons estudos!

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Curso de Mecânica Quântica passo a passo

Aqui está um template voltado para um estudo dirigido que facilitará muito a aprendizagem sobre Mecânica Quântica básica para professores, alunos iniciantes e veteranos nas áreas de Física, Matemática, Química, Engenharias e Ciências. O modelo (Lição 1) ensina passo a passo como chegar à Equação de Schrödinger independente do tempo, por meio de argumentos plausíveis e com alguns ingredientes. A técnica consiste em você poder refazer os mesmos procedimentos no modelo sem respostas (que vc pode fazer o download no link abaixo).

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Bons estudos!      

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Como determinar a resistência do resistor equivalente de uma associação em série

No final deste tópico o aluno, por meio de exercícios respondidos, será capaz de entender como os resistores são combinados em série e determinará a resistência do resistor equivalente da associação. Observará que numa associação em série as resistências são combinadas uma em seguida da outra e são percorridos pela mesma corrente. Perceberá que a diferença de potencial (ddp) de toda a associação será equivalente à soma das ddp´s em cada resistor.

1º) Determine a resistência do resistor equivalente (R_eq) da associação em série de três resistores, conforme a figura abaixo:

Note que os resistores do circuito são ligados um em seguida ao outro, ou seja, R₁ segue R₂ e R₂ segue R₃, formando uma fileira de resistores. Esse é o tipo que caracteriza a associação em série de resistores. Para esse exercício ficar bem mais simples não indicamos, por enquanto, nem a voltagem e nem a corrente elétrica do circuito. Indicamos apenas os terminais A e B.

Para determinar o R_eq (resistor equivalente) dessa associação é muito simples, basta somar as resistências dos resistores associados. Veja como:

$$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3}.$$

Daí, temos que,

$$R_{eq} = 3 + 5 + 7 = 15\Omega.$$

Redesenhando o circuito, obteremos o R_eq:

Portanto, a resistência do resistor equivalente é igual a 15 ohms.

Observação: esse resistor equivalente (R_eq), com apenas um resistor, é capaz de substituir a associação dada (com três resistores) na questão. Ele é capaz de produzir o mesmo efeito dos outros três resistores.

2º) Determine a resistência do R_eq da associação dos resistores, conforme a figura abaixo:

Às vezes, nos livros didáticos, não é indicado os terminais (A e B), mas apenas os pontos nas extremidades do circuito, conforme a figura acima.

Aplicaremos o mesmo procedimento do exercício anterior: basta somar as resistências dos resistores associados. Mas, antes é necessário transformar 3 miliohms em ohms e 4kilohms em ohms. Sabemos que a palavra 'mili' quer dizer 'milésima parte' ou dez elevado a menos 3 e a palavra 'kilo' quer dizer '1000 vezes' ou 10 elevado a 3, portanto,

$$3.10^{-3}\Omega=3.0,001\Omega=0,003\Omega.$$

e

$$4.10^{3}\Omega=4.1000\Omega=4000\Omega.$$

Somando as resistências dos resistores associados, obtemos

$$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3}.$$

Portanto,

$$R_{eq} = 0,003 + 4000 + 5 = 4005,003\Omega.$$

Redesenhando o circuito, temos o R_eq:

3º) Dada a associação de resistores, conforme figura abaixo, determine a resistência do R_eq e a intensidade da corrente elétrica em cada resistor.

Note que essa figura é a mesma o exercício 1. Aqui é indicado a corrente elétrica (i) e a voltagem ou diferença de potencial (U_A,B = 225 volts) entre os terminais A e B. Essa ddp (diferença de potencial) será útil para o cálculo da intensidade de corrente elétrica (i).

Sabemos do exercício 1 que o R_eq do circuito que equivale a 

$$R_{eq} = 3 + 5 + 7 = 15\Omega.$$ 

A corrente elétrica (i) que atravessa todos os três resistores será sempre a mesma. Isso é uma característica importante na para associação de resistores em série. Para calcular a corrente elétrica usaremos o termo oriundo da 1ª lei de Ohm (relembre-a em Lei de Ohm - Exercícios resolvidos):

$$U_{A,B}=R_{eq}.i.$$

Daí, obtemos

$$225=15.i\rightarrow i=\frac{225}{15}=15A.$$

Portanto, a intensidade de corrente elétrica do circuito (ou em todos os resistores) equivale a 15 amperes (em inglês) ou 15 ampères (em francês).

Redesenhando o circuito, temos

Note que todo aquele circuito composto por três resistores foi substituído pelo R_eq capaz de produzir o mesmo efeito dos outros três resistores. Perceba que a corrente elétrica que passa pelo R_eq é a mesma que passou por cada resistor.

4º) Da questão anterior, calcule a tensão entre os terminais de cada resistor.

Incrementaremos mais ainda nossa figura, pois precisamos visualizar os terminais de cada resistor e batizá-los com qualquer letra. Que tal com a letra C e D?

Sabemos que a intensidade de corrente elétrica é a mesma em todos os resistores. Aplicando o termo oriundo da 1ª lei de Ohm em cada resistor, obtemos

$$U_{A,C}=R_{1}.i\rightarrow U_{A,C}=3.15=45V.$$

 $$U_{C,D}=R_{2}.i\rightarrow U_{C,D}=5.15=75V.$$

  $$U_{D,B}=R_{3}.i\rightarrow U_{D,B}=7.15=105V.$$

Convém observar algo interessante:

$$U_{A,B}=U_{A,C}+  U_{C,D}+ U_{D,B},$$

ou seja, a tensão de toda a associação (no caso, 225V) é igual à soma das tensões em cada resistor (no caso, 45V + 75V + 105V = 225V). Isso é mais uma característica importante da associação de resistores em série.

Bons estudos!

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A derivada da função logarítmica natural

No século XVII o escocês Jonh Napier criou o conceito de logaritmo. A palavra “logaritmo” é originada dos termos gregos “lógos” e “arithmós” que significam, respectivamente, razão e número. O logaritmo de um número é o expoente a que a base, deve ser elevado para produzir este número. As ideias de Napier fundamentou a criação do número de Euler (e). A atual noção de logaritmo é oriunda de Leonhard Euler, que o relacionou com a função exponencial no século XVIII.

A função logarítmica natural é abreviada por ln(x) e chamada de logaritmo natural de x. Geralmente são utilizadas as notações ln(x) para significar log_e(x), significando o logaritmo natural de x. Portanto, em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo da seguinte maneira: log_e(x) = ln(x). A base e é um número irracional que equivale aproximadamente 2,718. Não existe logaritmo natural de zero ou de números negativos. Observação: para designar o logaritmo de x na base 10, escreve-se log₁₀(x) ou log(x). No link a seguir você pode aprender mais sobre os logaritmos:

Introdução aos logaritmos - Aprenda o que são logaritmos e como calculá-los.

Regra para derivar uma função logarítmica natural

Por definição, a derivada da função logarítmica natural f(x) = ln(x) equivale a f’(x) = 1/x e dado a função f(x) = ln(u), sua derivada será f'(x) = u'/u. Sendo a função logarítmica de base a,  f(x) = log_a(x), sua derivada será equivalente a  f’(x) = 1/(x . lna). 

1º) Derive a função de logaritmo natural  f(x) = ln(x).

A derivada de

$$f(x)=ln(x)$$

é definida como

$$f'(x)= \frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x} \cdot$$

Portanto, a derivada da função natural ln(x) equivale a 1/x, sendo que x > 0.

2º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x + 2).

Para resolver o problema podemos usar a fórmula (I):

$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \cdot$$

Ou podemos, também, usar a fórmula (II) semelhante:

$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{u}=\frac{u'}{u}\cdot$$

Em ambas as fórmulas, oriundas da Regra da Cadeia, é exigido que u > 0.

Para resolver o problema, atribuímos a u o seguinte valor:

$$u=4x+2.$$ 

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(4x+2)}{dx}= \frac{d(4x)}{dx}+ \frac{d(2)}{dx}=4+0=4.$$

Substituindo o valor de u (4x + 2) e de du/dx (4) na fórmula (I), obteremos:

$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{1}{4x+2} \cdot4 = \frac{4}{4x+2} \cdot$$

Podemos simplificar o resultado, dividindo o numerador e o denominador por 4 e obter

$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{2}{2x+1}\cdot$$

3º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x/7).

Atribuímos a u o seguinte valor:

$$u=\frac{4x}{7}\cdot$$

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d( \frac{4x}{7})}{dx}= \frac{4}{7}.$$

Substituindo o valor de u (4x/7) e de du/dx (4/7) na fórmula (I), obteremos:

$$ \frac{d[ln(\frac{4x}{7})]}{dx}= \frac{1}{\frac{4x}{7}} \cdot \frac{4}{7} =\frac{7}{4x}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{x}\cdot$$

4º) Derive a seguinte função: f(x) = ln (x²).

Atribuímos a u o seguinte valor:

$$x^{2}.$$ 

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(x^{2})}{dx}= 2x.$$

Substituiremos, dessa vez, o valor de u (x²) e de du/dx (2x) na fórmula (II):

 $$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{\frac{du}{dx}}{u}= \frac{u'}{u}\cdot$$

Portanto, obteremos:

$$ \frac{d(ln (x^{2}))}{dx}= \frac{2x}{ x^{2}}= \frac{2}{x}\cdot$$

5º) Derive a seguinte função: f(x) = y = ln (x² + 3).

Atribuímos a u o seguinte valor:

$$x^{2}+3.$$ 

Portanto,

$$f(x) = y=ln (u).$$

Para resolver o problema, podemos também usar diretamente a fórmula da regra da cadeia:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\cdot$$

Substituiremos os valores atribuídos a y e a u na regra para obtermos as suas respectivas derivadas:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{d[ln (u)]}{du}\frac{d[x^{2}+3]}{dx}=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{u}=\frac{2x}{x^{2}+3}\cdot$$

Portanto,

$$ \frac{d[ln(x^{2}+3)]}{dx}= \frac{u'}{u}= \frac {2x}{x^{2}+3}\cdot $$

Derive as seguinte funções:

• f(x) = ln(2x + 1).

• f(x) = ln(2x/3).

• f(x) = ln (x¹⁰).

• f(x) = y = ln (x⁵ + 2).

Bons estudos.

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Obtenha um curso de Cosmologia gratuito e com certificado

O Observatório Nacional (ON) sempre disponibiliza à sociedade cursos on-line gratuitos e com certificados em áreas de Astronomia, Astrofísica, Geofísica, etc. O ON se esforça e participa efetivamente do movimento de Inclusão Social no Brasil por meio da popularização da ciência. A Divisão de Atividades Educacionais (DAED) do Observatório é o setor que planeja, organiza, elabora e implementa projetos por meio de divulgação e de produção de materiais didáticos. Mediante a DAED, pesquisadores do ON colaboram com a transmissão de seus conhecimentos científicos nas áreas de Cosmologia e Astronomia a várias escolas por meio de palestras e cursos e com o intuito de maior integração entre professores e alunos.

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A boa novidade do Observatório Nacional para esse mês (março de 2015) é a inscrição para o curso on-line, gratuito e à distância intitulado: "Cosmologia: Da origem ao fim do universo". Ao final do curso o aluno pode receber um certificado.

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INSCRIÇÃO NO CURSO DE COSMOLOGIA

Mais informações neste SITE.

Inscreva-se e bons estudos!

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Aprenda a magnífica técnica de derivar um vetor

Antes de aprendermos a magnífica técnica de derivar um vetor em relação a uma dada variável é necessário que o aluno recorde alguns tópicos bem fáceis do Cálculo Vetorial. Tentaremos revisar esses tópicos de maneira bem interessante para que o aluno se sinta seguro em prosseguir neste interessante tema. Os assuntos tratados aqui, sobre vetores, não são novidades, apenas recordaremos algumas técnicas que os envolvem, pois com o passar do tempo o estudante, devido a outras atividades profissionais, pode esquecê-los.

Portanto, resumiremos sobre alguns tópicos importantes sobre vetores no espaço bidimensional e tridimensional, componentes escalares e vetoriais, vetores unitários ou versores, produto escalar ou produto interno. Depois, chegaremos na magnífica técnica de derivação de um vetor em relação a uma variável x e da derivação do produto escalar. No final do estudo são lançados e respondidos quatro questões para fixar mais o aprendizado do aluno sobre o tema.

Sabemos que os vetores são assuntos presentes em todos os estudos que envolvem as Ciências Exatas, por isso abra sua mente e tenha um profundo interesse e dedicação neste tema. Os leitores deste blog residentes no Brasil, Angola, Portugal, Índia, França, nas Américas e em toda a Europa que recebem estes estudos via e-mail não conseguirão ver as equações em um formato elegante, por isso precisam acessar as postagens pelos seus navegadores Firefox, IE, Chrome e outros. Bons estudos!

VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM DUAS DIMENSÕES

As figuras a seguir foram inseridas apenas para você visualizar e recordar sobre um vetor e suas componentes. Inicialmente, vamos considerar um vetor A, no espaço bidimensional, de acordo com a figura abaixo. O vetor A possui componentes escalares, dadas por A_x e A_y e componentes vetoriais, dadas por A_xi e A_yj, que atuam nas direções positivas dos versores i e j. Os versores são vetores unitários e ortogonais. Possuem características interessantes de serem fixos no espaço e não variar com o tempo.

Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é dada por

$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}.$$

VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM TRÊS DIMENSÕES

Agora, vamos considerar um vetor A, no espaço tridimensional, de acordo com a figura abaixo. Dessa vez, o  vetor A possui componentes escalares, dadas por  A_x e A_y e A_x e componentes vetoriais dadas por A_xi, A_yj e A_yz. Observe que as componentes do vetor A também são atuantes nas direções positivas dos versores cartesianos unitários e positivos i, j, k.

Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é expressada por

$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}+A_{z}}{\hat{k}}.$$

O PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES

Já estamos um pouco familiarizados com o conceito de produto escalar ou produto interno entre dois vetores: obtemos um pequena noção sobre produto interno no estudo intitulado O Delta de Kronecker, a partir da página 2.

Para iniciarmos nosso trabalho com os vetores vamos optar por representá-los por duas letras gregas, no caso, pela letra alfa e por beta. Sabemos que o produto escalar é definido como:

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|cos\theta.$$

Igualando o ângulo a 0º, seu cosseno se igualará a 1 e a expressão acima torna-se

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|.$$

Vimos, de acordo com a última figura, que no sistema de coordenadas cartesianas os vetores podem ser especificados pelas suas respectivas componentes vetoriais, nesse caso, por:

$$\vec{\alpha} =\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k}$$

e por

$$\vec{\beta} =\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}.$$

PRODUTO ESCALAR EM FUNÇÃO DAS COMPONENTES VETORIAIS

O cálculo do produto escalar destes vetores em função das suas componentes pode ser efetuado da seguinte maneira:

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}).$$

Utilizando as seguintes propriedades dos versores

$$\hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$$

e

$$\hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=0,$$

podemos multiplicar cada termo das componentes vetoriais do vetor alfa

$$(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})$$

por cada termo das componentes vetoriais do vetor beta

$$(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}),$$

com o intuito de obter a expressão do produto interno como um número real (um escalar) e obtermos para o espaço tridimensional a seguinte expressão:

$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}+\alpha_{z}\beta_{z}.$$

E, para o espaço bidimensional, a relação acima se reduz a

$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}.$$

CÁLCULO DA DERIVADA DE UM VETOR

Dado um vetor

$$\vec{\alpha}=\alpha_{x}\vec{i}+\alpha_{y}\vec{j}++\alpha_{z}\vec{k},$$

sua derivada em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}+\frac{d\alpha_{z}}{dx}\vec{k}.$$

Para o espaço bidimensional a relação acima se reduz a

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}.$$

A seguir, vamos praticar o que aprendemos até aqui por meio de exercícios.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1

Derive o seguinte vetor em relação a x:

$$\vec{\alpha}= 2x^{2}\vec{i}+x^{2}\vec{j}.$$

A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d(2x^{2}\vec{i}+{x^{2}\vec{j})}}{dx}=4x\vec{i}+2x\vec{j}.$$

Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.

Basta substituir o x por 1 e temos que

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}= 4.1\vec{i}+2.1\vec{j} =4\vec{i}+2\vec{j}.$$

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2

Derive o seguinte vetor em relação a x:

$$\vec{\beta}= 6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k}.$$

A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=\frac{d(6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k})}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}.$$

Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.

Basta substituir o x por 1 e temos que

$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}=18\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}.$$

CÁLCULO DA DERIVADA DE UM PRODUTO ESCALAR

Já estudamos um pouco sobre a derivada do produto usando o método usual no estudo intitulado  Como calcular facilmente a derivada do produto. Pois bem, o método usual para a derivada do produto é análoga à da derivada de um produto escalar e pode ser obtida mediante a seguinte regra:

$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}$$

A seguir, vamos praticar o que aprendemos na teoria por meio de exercícios.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3

Considere os vetores

$$\vec{\alpha}= 2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}$$

e

$$\vec{\beta}= 3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}.$$

Derive o produto escalar entre esses vetores.

Aplicando a regra de derivação de um produto escalar, temos que

$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}.$$

Calculando a derivada do vetor alfa

$$\frac{{d\vec{\alpha}}}{dx}=2\vec{i}+4x\vec{j}.$$

Calculando a derivada do vetor beta

$$\frac{{d\vec{\beta}}}{dx}=6x\vec{i}+4x\vec{j}.$$

Substituindo esses valores na expressão da regra do produto interno, temos

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot \vec{\beta}.$$

Portanto,

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}) \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot (3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}),$$

equivale a:

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=18x^{2}-16x^{3}.$$

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4

Calcule por outro método o produto escalar dos vetores do exercício anterior.

Podemos fazer esta operação do seguinte modo:

Inicialmente, fazer o produto escalar do vetor alfa com o vetor beta:

$$(\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j})(3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j})=6x^{3}-4x^{4}.$$

Depois, derivar o resultado em relação a x e encontraremos novamente o resultado

$$\frac{d(6x^{3}-4x^{4})}{dx}=18x^{2}-16x^{3}.$$

CONTINUE APRENDENDO

Viu como foi fácil derivar um vetor? Agora é sua vez de fazer a sua parte, repetindo os cálculos feitos por aqui no seu caderno, lendo mais nos livros didáticos ou na rede sobre vetores unitários, regras de derivação de vetores, componentes vetoriais e produto escalar. Espero que este estudo ajude você de alguma maneira. Se ajudou comente aí. Se você estiver gostando do meu trabalho, recomende-o para os colegas e amigos de escolas e de universidades. Obrigado pela paciência e sucesso para você.

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Calcule quantos números pares existem entre 100 e 1000

É muito fácil quantificar os números pares existentes, por exemplo, de 4 até 10. Basta raciocinar um pouco e percebemos os quatro números: 4, 6, 8 e 10, cuja soma resulta em 28. Agora, se quisermos obter a quantidade de pares existentes entre 4 e 10 vamos perceber que existem apenas dois pares: 6 e 8, cuja soma resulta em 14. Porém, se nos perguntarem quantos pares existem entre 0 e 100 ou entre 100 e 1000 ou mesmo entre 0 e 1 trilhão? Aí precisamos usar um recurso muito importante da matemática, a Progressão Aritmética (PA). Sabemos que uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se a razão (r) ao termo anterior. Ao final desta aula o aluno deverá ser capaz de identificar a quantidade e a soma dos números pares existentes entre 0 e 8, 0 e 10, 0 e 20, 0 e 100 e entre 100 e 1000 (com elaboração de um algoritmo). Neste estudo vamos utilizar nossos conhecimentos sobre Progressão Aritmética por meio de aplicação de algumas fórmulas oriundas do estudo de sequências numéricas.

IDENTIFICAÇÃO DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA ENTRE ZERO E DEZ

Para identificarmos as partes de uma Progressão Aritmética (PA) vamos, inicialmente, considerar a sequência com os seguinte números pares:

$$(0,2,4,6,8).$$

Queremos trabalhar com uma sequência que contém apenas os pares que estão entre 0 e 8:

$$(2,4,6).$$

O primeiro termo (a₁) equivale a 2. A razão (constante r) também equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4 = 2). O último (terceiro) termo (a_n = a₃) equivale a 6. O número de termos (n), conferindo-os, equivale a 3.

Também podemos identificar o terceiro e último termo (a_n = a₃) usando a seguinte fórmula:

$$a_{3}=a_{1}+2.r,$$

que resulta em

$$a_{3}=2+2.2=2+4=6.$$

Se a sequência for muito grande, impossibilitando-nos de conferir a quantidade de números da mesma, pode-se determinar o número de termos (n = 3) da sequência usando a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$6=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$6=2+2n-2\rightarrow 6-2+2=2n\rightarrow 6=2n\rightarrow n=3.$$

Para obtermos a soma de todos os três pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que resulta em 

$$S_{3}= \frac{(2+6).3}{2}=\frac{8.3}{2}=12.$$

Portanto, entre 0 e 8 temos 3 pares e somando-os obteremos 12.

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E DEZ

Vamos considerar uma sequência apenas com os pares que estão entre 0 e 10, veja:

$$(2,4,6,8).$$

O primeiro termo (a₁) equivale a 2. A razão (constante r) equivale a 2. Contando o número de termos (n) obtemos 4. O quarto termo (a_n = a₄) equivale a 8. Podemos, também, identificar o quarto termo usando a seguinte fórmula:

$$a_{4}=a_{1}+3.r,$$

que resulta em

$$a_{4}=2+3.2=2+6=8.$$

Se a sequência for muito grande, impossibilitando-nos de conferir a quantidade de números da mesma, pode-se determinar o número de termos (n = 4) da sequência usando a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$8=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$8=2+2n-2\rightarrow 8-2+2=2n\rightarrow 8=2n\rightarrow n=4.$$

 Para obtermos a soma de todos o quatro pares da sequência, podemos usar a seguinte fórmula:

$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos forneceria

$$S_{4}= \frac{(2+8).4}{2}=\frac{10.4}{2}=20.$$

De fato, 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

Portanto, entre 0 e 10 temos 4 pares e somando-os obteremos 20.

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E VINTE

Vamos considerar a sequência apenas com os pares que estão entre 0 e 20, veja:

$$(2,4,6,8,10,12,14,16,18).$$

O primeiro termo (a₁) equivale a 2. A razão (constante r) equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4  = 2). O último (nono) termo (a_n = a₉) equivale a 18. O número de termos (n), conferindo-os, equivale a 9.

Outra maneira de identificar o nono termo - usando a seguinte fórmula:

$$a_{9}=a_{1}+8.r,$$

que resulta em

$$a_{9}=2+8.2=2+16=18.$$

Se não quisermos conferir os números da sequência para determinar o número de termos (n = 9) da PA, basta usar a fórmula do termo geral:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores dados na expressão acima, temos que

$$18=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$18=2+2n-2\rightarrow 18-2+2=2n\rightarrow 18=2n\rightarrow n=9.$$

Para obtermos a soma de todos os nove pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{9}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos fornece

$$S_{9}= \frac{(2+18).9}{2}=\frac{20.9}{2}=90.$$

De fato, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90.

Portanto, entre 0 e 20 temos 9 pares e somando-os obteremos 90.

Agora você está apto para obter a

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E CEM

Esse foi um dos desafios proposto na postagem Aprenda a executar algoritmos básicos, onde foi ensinado a escrever um algoritmo bem simples e interessante que determina a soma dos números pares compreendido entre 0 e 8 (que está resolvido no início deste estudo). O algoritmo ensinado na referida postagem é semelhante ao algoritmo que vamos propor no final deste tópico.

Vamos considerar a sequência apenas com os pares que estão entre 0 e 100. O primeiro par depois de zero é 2 e o último par antes de 100 é 98. Portanto, nossa PA pode ser escrita da seguinte maneira:

$$(2,4,6,...,98).$$

O primeiro termo (a₁) equivale a 2. A razão (constante r) equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4 = 2). O último termo (a_n = a₉₈) equivale a 98. O número de termos (n) da PA é muito grande para conferirmos, portanto, para achá-lo, podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$98=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$98=2+2n-2\rightarrow 98-2+2=2n\rightarrow 98=2n\rightarrow n=49.$$

Note que a PA dada possui 49 termos pares, portanto a_n = a₄₉ equivale a 98.

Outra maneira de identificar o quadragésimo nono termo da PA é com o auxílio da  seguinte fórmula:

$$a_{49}=a_{1}+48.r,$$

que resulta em

$$a_{49}=2+48.2=2+96=98.$$

Para obtermos a soma de todos os 98 pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{98}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos fornece

$$S_{98}= \frac{(2+98).49}{2}=\frac{100.49}{2}=2450.$$

Portanto, entre 0 e 100 temos 49 pares e somando-os, obteremos 2450.

Finalmente, já estamos apto a resolver o desafio de obter a

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE CEM E MIL

Esse foi o principal desafio proposto na postagem anterior. Vamos considerar a sequência apenas com os pares que estão entre 100 e 1000. O primeiro par depois de cem é 102 e o último par antes de 1000 é 998. Portanto, nossa PA será escrita da seguinte maneira:

$$(102,104,...,998).$$

O primeiro termo (a₁) equivale a 102. A razão (constante r) equivale a 2 (pois, 104 - 102 = 2). O último termo (a_n = a₉₉₈) equivale a 998. O número de termos (n) da PA é muito grande para conferirmos, portanto, para achá-lo, podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$998=102+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$998=102+2n-2\rightarrow 998-102+2=2n\rightarrow 898=2n\rightarrow n=449.$$

Note que a PA dada possui 449 termos pares, portanto a_n = a₄₄₉ equivale a 998.

Uma outra maneira de identificar esse último termo (998) da PA é utilizando a seguinte fórmula:

$$a_{449}=a_{1}+448.r,$$

que resulta em

$$a_{449}=102+448.2=102+896=998.$$

Para obtermos a soma de todos os 449 pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos fornece

$$S_{998}= \frac{(102+998).449}{2}=\frac{1100.449}{2}=246950.$$

Portanto, entre 100 e 1000 temos 449 pares e somando-os, obteremos 246950. Estude, copie, cole e execute o algoritmo abaixo no seu VisualG, comparando-o com o modelo de algoritmo da postagem anterior.

algoritmo "Soma de números pares entre 100 e 1000"
// Função : Escrever um algoritmo para determinar a soma
// dos pares compreendido entre 100 e 1000
// Autor : Elísio
// Data : 23/02/2015
// Sessão de Declarações
var
a1: real
an: real
n: real
r: real
sn: real
inicio
// Sessão de Comandos
a1 <- 102 // Primeiro termo a1 torna-se 102.
an <- 998 // Último termo an torna-se 998.
r <- 2 // Razão r torna-se 2.
n <- (an - a1)/r + 1 //Fórmula do termo geral da PA ==> n isolado
sn <- (a1 + an)*n/2 //Fórmula da soma dos pares
escreval("A Quantidade de pares entre 100 e 1000 equivale a: ", n)
escreval("A soma dos pares entre 100 e 1000 equivale a: ", sn)
fimalgoritmo

Espero que tenham gostado deste tópico. Obrigado pela paciência. Se este trabalho o ajudou, comente e compartilhe com os colegas. Bons estudos!

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