Quando iniciamos um curso superior novas disciplinas nos são ofertadas. Dentre elas temos o Cálculo I, que nos propõe o aprendizado dos limites, das derivadas e integrais. Neste estudo damos a você uma pequena noção das regras das derivadas. Após utilizar as técnicas aqui expostas, o aluno deve se aprofundar mais na leitura e nos exercícios sobre derivadas. No curso superior da área de ciências exatas, engenharias, economia e outros, sempre será exigido do aluno conhecimentos sobre derivadas. Portanto, faça bom proveito e bons estudos.
Objetivos desta aula:
- Calcular a derivada de uma função identidade;
- Calcular a derivada do produto de uma função por uma constante;
- Calcular a derivada de uma soma que resultará na soma das derivadas das parcelas;
- Calcular a derivada da função exponencial de base e que resultará na própria função exponencial.
DERIVANDO A FUNÇÃO IDENTIDADE
Já estudamos a regra para derivar potências com expoentes inteiros positivos, ou seja, se
n é um número inteiro positivo e
x é diferente de zero,
$$f(x)=x^{n},$$
então,
$$f'(x)=n.x^{n-1}.$$
Vamos à prática. Derive as seguinte funções:
$$a)\quad f(x) =x^{6}$$
Esta função pode ser escrita como
$$y = x^{6}.$$
Derivando-a em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(x^{6})=6x^{6-1}=6x^{5}.$$
Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
y. Assim:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{6})} }{\mathrm{d} x}}=6x^{6-1}=6x^{5}.$$
$$b)\quad f(x) = x$$
Esta função (identidade) pode ser escrita como
$$y = x^{1}.$$
Derivando-a em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(x^{1} )=1.x^{1-1}=1.x^{0}=1.1=1.$$
Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
y. Assim:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{1} )} }{\mathrm{d}x}}=1.x^{1-1}=1.x^{0}=1.1=1.$$
DERIVADA DE UM PRODUTO DE UMA FUNÇÃO POR UMA CONSTANTE
Se
v(x) é uma função derivável, c é uma constante e
f(x) é uma função definida por
$$f(x) =c.v(x),$$
então,
$$f'(x) =c.v'(x).$$
Em outras palavras: a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.
Vamos à prática. Derive as seguinte funções:
$$c)\quad f(x) = 3x^{4}$$
Esta função pode ser escrita como
$$y = 3x^{4}.$$
Derivando-a em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(3x^{4} )=3(4x^{3})=12x^{3}.$$
Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
y. Assim:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(3x^{4} )} }{\mathrm{d} x}}=3(4x^{4-1})=3(4x^{3})=12x^{3}.$$
$$d)\quad f(x)=5x$$
Esta função pode ser escrita como
$$y = 5x^{1}.$$
Derivando-a em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(5x^{1})=1(5x^{1-1} )} =1.(5.x^{0} )=1.(5.1)=1.5=5.$$
Ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
y. Assim:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(5x^{1}}) }{\mathrm{d} x}}\cdot$$
Resolvendo a expressão acima, temos:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(5x^{1}}) }{\mathrm{d} x}}=1(5x^{1-1} )} =1.(5.x^{0} )=1.(5.1)=1.5=5.$$
DERIVADA DA SOMA
Dada a função
$$f(x)=u(x)+v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)+v'(x).$$
Em palavras: a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas das parcelas.
Vamos à prática. Aplique as regras estudadas e derive as seguinte funções:
$$e)\quad f(x)=7x^{4}-2x^{3}+8x+5$$
Esta função pode ser escrita como
$$y =7x^{4} -2x^{3} +8x+5.$$
Derivando-a em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d}x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(7x^{4}-2x^{3}+8x^{1} +5)}}{\mathrm{d} x}}=7.(4x^{3})-2(3x^{2})+8+0.$$
Finalmente,
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=28x^{3}-6x^{2}+8.$$
Dada a função
$$f(x)=4x^{3}+x^{2},$$
Calcule
$$f)\quad\mathit{\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d}x}}$$
A função dada pode ser escrita como
$$y = 4x^{3} +x^{2}.$$
Derivando-a em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(4x^{3}+x^{2} )} }{\mathrm{d} x}}$$
$$=\mathit{\frac{\mathrm{d(4x^{3} )} }{\mathrm{d} x}}+\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{2} )} }{\mathrm{d} x}}$$
$$=4(3x^{2} )+2x^{1} =12x^{2}+2x.$$
Da questão anterior, calcule
$$g)\quad f'(1)$$
Fazendo
x = 1 na equação
$$f'(x)=12x^{2}+2x,$$
resulta que
$$f'(1)=12.1^{2}+2.1=12+2=14.$$
$$h)\quad f(x) = x+1$$
$$f'(x) = 1+0=1,$$
ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
$$y = x+1.$$
Assim:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x+1 )} }{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} x}}+\mathit{\frac{\mathrm{d(1)} }{\mathrm{d} x}}=1+0=1.$$
$$i)\quad f(x)=senx+cosx$$
A função dada pode ser escrita como
$$y = senx+cosx.$$
Obs: a derivada do
senx é igual a
cosx e a derivada do
cosx é igual a
-senx. Portanto,
$$f'(x) = cosx-senx,$$
ou, podemos calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
$$y = senx+cosx.$$
Derivando a função
y em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d}x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(senx +cosx )}}{\mathrm{d} x}}$$
$$=\mathit{\frac{\mathrm{d(senx )} }{\mathrm{d} x}}+\mathit{\frac{\mathrm{d(cosx )} }{\mathrm{d} x}}$$
$$=cosx-senx.$$
$$j)\quad f(x)=x^{2}-e^{x}$$
A função dada pode ser escrita como
$$y = x^{2}-e^{x}.$$
Obs: a derivada da função exponencial de base
e é a própria função exponencial, ou seja,
$$(e^{x})'=\mathit{\frac{\mathrm{d(e^{x})}}{\mathrm{d}x}}=e^{x}.$$
Portanto,
$$f'(x) =y'= 2x -e^{x}.$$
Podemos, também, calcular a derivada, aplicando o operador
$$\mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$$
na função
$$y = x^{2} -e^{x}.$$
Derivando a função
y em relação a
x e aplicando a regra, temos que:
$$\mathit{\frac{\mathrm{d(y)}}{\mathrm{d} x}}=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{2} -e^{x} )}}{\mathrm{d} x}}$$
$$=\mathit{\frac{\mathrm{d(x^{2})}}{\mathrm{d}x}}-\mathit{\frac{\mathrm{d(e^{x})} }{\mathrm{d} x}}$$
$$=2x-e^{x}.$$
